Бесов

f0(y0) = f−0 (y0).

Аналогично можно продолжить и функцию ϕ, если она задана лишь в полуокрестности. После возможных доопределений функций f, ϕ указанным способом, остается лишь применить к ним теорему 1.

Покажем, как находить производную параметрически заданной функции, т. е. функции y(x), заданной в виде

(

x = ϕ(t), y = ψ(t).

Будем считать, что ϕ непрерывна и строго монотонна

на U(t0) и что существуют производные ϕ0(t0), ψ0(t0). То-

гда t = ϕ−1(x0), где x0 = ϕ(t0), y = ψ(t) = ψ(ϕ−1(x)).

Применяя формулу дифференцирования сложной функции,

Рассмотрим теперь неявно заданную функцию. Пусть задано уравнение F (x, y) = 0, имеющее для каждого xU(x0) решение y = f(x), так что

F (x, f(x)) = 0 x U(x0).

При этом говорят, что функция f неявно задана уравне-

нием F (x, y) = 0.

Предполагая, что f дифференцируема на U(x0) и что левая часть тождества F (x, f(x)) ≡ 0 представляет дифференцируемую функцию, продифференцируем это тождество почленно. Иногда оказывается (это зависит от вида

F ), что продифференцированное тождество может быть разрешено относительно f0. Выразив f0, мы найдем тем самым производную неявно заданной функции.

Пример. Пусть F (x, y) = x2 + y2 − 1. Пусть y = f(x)

— одно из решений уравнения x2+y2−1 = 0 при x (−1, 1). Тогда x2 + (f(x))2 − 1 ≡ 0 является тождеством на (−1, 1). Предполагая, что f дифференцируема на (−1, 1), продиф-

ференцируем это тождество. Получим 2x + 2f(x)f0(x) = 0,

т. е. f0(x) = − f(xx) .

§ 5.6. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f определена на U(x0) и имеет там производную f0(x), x U(x0). Производная f0(x) сама является функцией переменного x. Если она в точке x0 имеет производную (f0)0(x0), то эту производную называют второй производной в точке x0 и обозначают f00(x0).

Вообще, производная порядка n функции f определя-

ется равенством

f(n)(x0) = (f(n−1)(x))0 (n > 1).

x=x0

Из него видно, в частности, что, если существует производная f(n)(x0), то производная f(n−1) должна быть определена в некоторой окрестности U(x0) точки (x0).

Производные порядка n обозначают символами f(n)(x0)

или dnf(x0) . dxn

Удобно считать, что f(0)(x) B f(x).

Теорема 1 (свойства производных высших по-

рядков). Пусть существуют f(n)(x0), g(n)(x0). Тогда

в точке x0

1.◦ (f ± g)(n) = f(n) ± g(n).

§ 5.6. Производные и дифференциалы высших порядков 83

2.◦ (Формула Лейбница)

(cf)(n)(x0) = xf(n)(x0), если f(n)(x0).

Д о к а з а т е л ь с т в о формулы Лейбница проведем по индукции. В случае n = 1 она была установлена раньше. В предположении, что она верна для производной порядка n, установим ее для производной порядка n + 1.

Имеем

X

=Cnk f(n−k+1)g(k) + f(n−k)g(k+1) =

Введем теперь понятие дифференциалов высших порядков.

Если функция f такова, что ее производная f0 существует на некоторой окрестности U(x0) точки x0, то ее диф-

ференциал

df(x) = f0(x) dx, x U(x0),

является функцией аргумента x (помимо этого дифференциал является линейной функцией аргумента dx, но в данном случае будем считать dx фиксированным). Если f0 дифференцируема в точке x0 (т. е. f00(x0)), то можно рассмотреть дифференциал от df(x), т. е. δ(df(x)). Этот дифференциал обозначается новым символом δ, чтобы отличить его от ранее построенного дифференциала df. Соответственно дифференциал независимого переменного в выражении дифференциала δ будем обозначать через δx.

Определение. Вторым дифференциалом функции f в

точке x0 называется

δx=dx

В этой цепочке равенств содержится не только определение второго дифференциала (первое равенство), но и его выражение через f00(x0).

Определение. n-м дифференциалом функции f в точке x0 называется

dnf(x0) B δ(dn−1f)(x0) .

δx=dx

Легко убеждаемся, применяя метод математической индукции, что если f(n)(x0), то

Последняя формула при n > 2 (в отличие от n = 1) верна лишь в случае, когда x — независимая переменная. Покажем это в случае n = 2. Найдем выражение второго дифференциала, считая, что функция y = f(x) дважды дифференцируема в точке x0, а ее аргумент x является дважды

§ 5.6. Производные и дифференциалы высших порядков 85

дифференцируемой функцией x = x(t) некоторой независимой переменной t. Имеем

d2f(x) = (f(x))00tt(dt)2 = (f0(x)x0)0t(dt)2 =

= (f00(x)x02 + f0(x)x00)(dt)2 = f00(x)(dx)2 + f0(x) d2x. Итак, d2f(x) = f00(x)(dx)2 + f0(x)d2x.

Сравнивая полученное выражение с (1) при n = 2, убеждаемся, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы.

Упражнение 1. Используя формулы для производных (f ± g)(n), (fg)(n), получить с помощью (1) формулы для дифференциалов dn(f ± g), dn(fg).

Глава 6 СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ

ФУНКЦИЙ

§ 6.1. Теоремы о среднем

Теорема 1 (Ферма). Пусть функция f определена на U(x0) и в точке x0 принимает наибольшее или наименьшее

значение среди ее значений на U(x0). Пусть f0(x0). Тогда f0(x0) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности f(x0) = min f. Тогда fx > 0 при x > 0 и fx 6 0

при x < 0. Переходя в этих неравенствах к пределу при x → 0, получаем соответственно f0(x0) > 0, f0(x0) 6 0.

Отсюда следует, что f0(x0) = 0.

Теорема 2 (Ролля). Пусть функция f:

1.◦ непрерывна на [a, b];

2.◦ дифференцируема на (a, b);

3.◦ f(a) = f(b).

Тогда ξ (a, b): f0(ξ) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай f ≡ const тривиален. Будем считать далее, что f 6≡const. По теореме Вейерштрасса в некоторых точках отрезка [a, b] функция f принимает максимальное и минимальное значения. По крайней мере, одна из этих точек лежит на интервале (a, b), так как min f < max f. Но тогда по теореме Ферма производная

f0 в этой точке равна нулю, что и требовалось доказать.

Теорема 3 (Лагранжа). Пусть функция f:

1.◦ непрерывна на [a, b],

2.◦ дифференцируема на (a, b).

Тогда ξ (a, b): f(b) − f(a) = f0(ξ)(b − a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства построим вспомогательную функцию F (x) = f(x) − λx, в которой число λ выберем так, чтобы F удовлетворяла условию 3◦ теоремы Ролля: F (a) = F (b).

Отсюда

f(a) − λa = f(b) − λb, т. е. λ = f(b) − f(a) . b − a

Очевидно, для F выполнены и условия 1◦, 2◦ теоремы Ролля. По теореме Ролля для функции F получаем, что

f(b) − f(a)

где λ = − . Отсюда и следует утверждение тео- b a

ремы Лагранжа. Формулу

f(b) − f(a) = f0(ξ)(b − a), ξ (a, b),

называют формулой конечных приращений Лагранжа. Пе-

с помощью которого легко усмотреть геометрический

f0(x0) = lim f0(x). Каков аналог для односторонних пре-

x→x0

делов? Может ли производная f0 иметь скачок?

Теорема 4 (Коши). Пусть функции f, g: 1.◦ непрерывны на [a, b];

2.◦ дифференцируемы на (a, b);

3.◦ g0 6= 0 на (a, b).

которое называется формулой Тейлора функции f в точке

x0. При этом f(k)(x0) (x −x0)k называется k-м членом фор- k!

мулы Тейлора, Pn(f, x) — многочленом Тейлора, rn(f, x) —

остаточным членом формулы Тейлора (после n-го члена). Часто вместо Pn(f, x), rn(f, x) пишут соответственно

k=1

Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть n N и f(n)(x0). Тогда справедлива формула (1), в которой rn(f, x) = o((x − x0)n) при x → x0.

Д о к а з а т е л ь с т в о будем проводить по индукции. При n = 1 утверждение теоремы верно. В самом деле, в этом случае функция f дифференцируема в точке x0. Следовательно,

f(x) − f(x0) = f0(x0)(x − x0) + o(x − x0), x → x0,

что совпадает с утверждением теоремы.

Предположим, что утверждение теоремы верно при n − − 1 (> 1) вместо n и покажем, что оно верно тогда в приведенной форме. Используя теорему Лагранжа о конечных приращениях и лемму, имеем (считая, для определенности, x > x0)

rn(f, x) = rn(f, x) − rn(f, x0) = rn−1(f0, ξ)(x − x0),

ном в форме Лагранжа). Пусть x > x0 (x < x0), n

N0, f(n) непрерывна на отрезке [x0, x] ([x, x0]), f(n+1) на интервале (x0, x) ((x, x0)). Тогда справедлива формула (1), в которой

rn(f, x) = f(n+1)(x0 + θ(x − x0)) (x − x0)n+1 = (n + 1)!

f(n+1)(ξ)

= (n + 1)! (x − x0)n+1,

где 0 < θ < 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о будем проводить по индукции, считая x > x0. При n = 0 теорема утверждает, что при некотором θ (0, 1)

f(x) = f(x0) + f0(x0 + θ(x − x0))(x − x0).

Это утверждение верно, так как оно совпадает с доказанной ранее формулой конечных приращений Лагранжа.

Предположим, что утверждение верно при n − 1 (> 0) вместо n и установим, что оно верно тогда в приведенном виде. Используя теорему Коши о среднем и лемму, имеем

где x0 < η < ξ < x, а предпоследнее равенство написано в силу предположения индукции.