vektor1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 30

1. Построить векторы a = 2m −n и b = 3m −n в аффинном базисе m, n , если длины

2.Проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторыa = 2c −d иb = 5c +3d , построенные по векторам с = (−2;4;1) и d = (1;−2;7) .

3. Найти длину вектора c = a −5b , заданного в аффинном базисе a, b : a =9,

b=1/3, (a , b) = π6 .

4.Найти скалярное произведениеa b , a =(−4;1;−4) , b =(1;−6;8) .Указать его механический

смысл. Найти проекцию вектора a на вектор b .

5. Даны точки A(8;-4; 1), B(2; 6; 4), C(-1;-3; 2), D(8; 6; 7).

а)Найти векторное произведениеAB × AC и указать его физический и механический смысл.

б)Найти смешанное произведение AB AC AD и указать его геометрический смысл . в)Лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости?

6.Найти площадь и длину одной из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a, b (см. задание 1).

7.Даны вершины пирамиды A(3; 1; 4), B(-1; 6; 1), C(-1; 1; 6), D(0; 4;-1). Найти:

а) угол между ребрами AB и AC; б) площадь грани ABC;

в) объем пирамиды ABCD;

г) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D. 8. При каких значениях параметров α и β векторы a и b :

а) коллинеарны, если a = (4;1;−4), b = (−2;α; β) ;

б) величину и направление момента силы F = i + 2 j + 7k , приложенной в точке A( 3; 1; 4) относительно точки В(2; 6; 4).

10.Найти орт a ×b , где a =(−4;1;4) , b =(1;−6;8) .

11.В параллелепипеде ABCD A’B’C’D’: AB = b, AC = c, AM = m , где М - середина ребра А’B’. Найти: A′C, CC′, AD, B′D′.