расчетка 3
.pdf
ИрГУПС |
Кафедра “Высшая математика” |
10.4.7. |
Кратные и криволинейные интегралы |
___________________________________________________________________________
Вариант 20
5 |
25−x2 |
1. Вычислить повторный интеграл ∫dx |
∫x( y + 2)dy . |
00
2.Изменить порядок интегрирования ∫1 dx4−∫x2f (x, y)dy .
|
|
0 2 x+1 |
3. |
Вычислить ∫∫( y2 +2 y −3)dxdy , где областьD ограничена линиями |
|
|
|
D |
|
y2 = x , |
y2 = x −2 , y = 2 и осью OX . |
4. |
Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной |
|
|
линиями |
x + y = 2 , x2 = 4(1 − y) . |
5. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями x =1− z2 , y = x , |
|
y= −x .
6.Найти момент инерции относительно оси OX фигуры, ограниченной линиями y = −x2 +4 , 2x + y −4 = 0 .
7. Вычислить ∫2xdy + ydx вдоль параболы x = y2 от A(1;1) до B(4;2) .
L
8. Убедиться, что заданное выражение
x2 yy2 +1 −5 dx + 2 y + x2 yx2 +1 dy
есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и
восстановить её.
ИрГУПС |
Кафедра “Высшая математика” |
10.4.7. |
Кратные и криволинейные интегралы |
___________________________________________________________________________
Вариант 21
|
0 |
4−y2 |
1. |
Вычислить повторный интеграл ∫dy |
∫(4x − y)dx . |
|
−2 |
−2−y |
|
2 |
4−y2 |
2. |
Изменить порядок интегрирования ∫dy ∫ f (x, y)dx . |
|
|
0 |
4−2 y2 |
3. |
Вычислить ∫∫xy3 dxdy , где область D ограничена линиями y = 4 , |
|
|
D |
|
y = 
25 − x2 и осями координат.
4.Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r = asin 3ϕ.
5. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями |
y2 + z2 = 4ax , |
|||
|
y2 = ax , x = 3a (вне цилиндра). |
|
|
|
|
6. |
Найти момент инерции относительно оси OY фигуры, ограниченной |
||||
|
линиями y = x2 , y = 4 . |
|
|
|
|
|
( 2, 4 ) |
|
|
|
|
7. |
Вычислить интеграл ∫(2xy3 − 4)dx + (3x2 y2 + 2 y)dy . |
||||
|
(1;2) |
|
|
|
|
8. |
Убедиться, что заданное выражение |
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
|
(6xln( y −1) + 4 y3 )dx + |
|
+12xy2 dy |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
y −1 |
|
|||
|
есть полный дифференциал некоторой функции |
u = u(x, y) , и |
|||
|
восстановить её. |
|
|
|
|
ИрГУПС |
Кафедра “Высшая математика” |
10.4.7. |
Кратные и криволинейные интегралы |
___________________________________________________________________________
Вариант 22
1. |
Вычислить повторный интеграл ∫3 |
dx ∫x (x − y)dy . |
||
|
1 |
|
x2 |
|
|
Изменить порядок интегрирования ∫3 |
25−y2 |
||
2. |
dy |
∫ f (x, y)dx . |
||
|
|
0 |
|
9−y2 |
3. |
Перейдя к полярным координатам, вычислить ∫∫ x2 + y2 dxdy , где |
|||
|
|
|
|
D |
|
областьD ограничена окружностями |
x2 |
+ y2 = 2x и x2 + y2 = 6x . |
|
4.Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x −5, y = 6x − x2 .
5. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y2 , y = x2 ,
y =1, z = 0 .
6. Найти массу фигуры, ограниченной линиями y = −x2 +4 ,
2x + y −4 = 0 , если ее плотность ρ = xy .
7. Вычислить ∫(x2 y + 2)dx + ydy , где L - отрезок AB от A(1;2) до
L
B(2;6) .
8. Убедиться, что заданное выражение
(sin 2 y − y sin 2x)dx +(x sin 2 y +cos2 x +3)dy
есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и
восстановить её.
ИрГУПС |
Кафедра “Высшая математика” |
10.4.7. |
Кратные и криволинейные интегралы |
___________________________________________________________________________
Вариант 23
|
|
|
2 |
y2 +2 |
|
|
|
|
1. |
Вычислить повторный интеграл |
∫dy |
∫(x + y)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
25−x2 |
|
|
|
|
2. |
Изменить порядок интегрирования ∫dx ∫ f (x, y)dy . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
3. |
Вычислить ∫∫xy2 dxdy , где областьD ограничена линиями |
x = |
p |
и |
||||
2 |
|
|||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
y2 = 2 px ( p > 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной |
|
||||||
|
линиями |
y = 4 − x2 , y = 4 −2x2 , |
y = 0 . |
|
|
|
|
|
5. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями z2 |
= (x −a)2 , |
||||
|
x2 + y2 = a2 . |
|
|
|
|
|
6. |
Найти массу фигуры, ограниченной линиями y = x2 , |
y = 4 , если |
||||
|
плотность ρ = x + y . |
|
|
|
||
7. |
Вычислить ∫ |
y2 +1 |
dx − |
x |
dy , где L - отрезок AB от A(1;2) до |
|
|
2 |
|||||
|
L |
y |
y |
|
||
8. Убедиться, что заданное выражение
ydxx +( y3 +ln x +6)dy
есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и
восстановить её.
ее
B(2;4) .
ИрГУПС |
Кафедра “Высшая математика” |
10.4.7. |
Кратные и криволинейные интегралы |
___________________________________________________________________________
Вариант 24
π |
|
1. Вычислить повторный интеграл ∫4 |
dx3∫x cos(2x + y)dy . |
00
2.Изменить порядок интегрирования ∫2 dy2 ∫y f (x, y)dx .
|
|
0 1 y2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3. Вычислить ∫∫ |
dxdy |
, где областьD ограничена линиями |
y = |
1 |
, |
2 |
2 |
||||
D |
1+ x |
|
|
||
x= 2 y , x = 0 .
4.Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x3 , y = 0 , x + 2 y = 3.
5. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y2 , |
x =1 , |
|||
|
x + y = 2 , x = 0 , y = 0 , z = 0 . |
|
|||
6. |
Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями |
x = 0 , |
|||
|
x = 2 , y = x2 , y = 2x2 относительно оси OX . |
|
|||
7. |
Вычислить ∫xdy − ydx , где L - верхняя половина эллипса x = a cos t , |
||||
|
L |
|
|
|
|
|
y = bsin t и прямая y = 0 . |
|
|
|
|
8. |
Убедиться, что заданное выражение |
|
|||
|
2x + y3 |
dx + |
y2 −3x2 |
dy |
|
|
y3 |
|
|
||
|
|
y4 |
|
||
есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и
восстановить её.
ИрГУПС |
Кафедра “Высшая математика” |
10.4.7. |
Кратные и криволинейные интегралы |
___________________________________________________________________________
Вариант 25
|
2 |
x |
||
1. |
Вычислить повторный интеграл ∫dx ∫y ln xdy . |
|||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
x |
||
|
4 |
|
2−y |
|
2. |
Изменить порядок интегрирования ∫dy ∫ f (x, y)dx . |
|||
|
0 |
|
1 |
y+1 |
|
|
2 |
||
|
|
|
||
3. |
Вычислить ∫∫cos 3xdxdy , где областьD ограничена линией y = sin 2x |
|||
|
D |
|
|
|
и осью OX .
4.Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x2 + y2 =16x , x2 + y2 =16 y .
5. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 0 , y2 = 4x ,
y2 = x , x + 2z = 4 .
6.Найти полярный момент инерции фигуры, ограниченной линиями
x+ 4 y = 8, y = 0 , x = 0 .
7. Вычислить ∫x cos ydx − y sin xdy , вдоль прямой OA от O(0;0) до
L
A(4;2) .
8. Решить дифференциальное уравнение
|
2x |
|
1 |
y |
|
1 |
x |
|
x |
2 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
y |
2 |
dx + |
2 |
y |
y |
2 dy =0 . |
|||
|
|
x |
|
|
|
|||||
ИрГУПС |
Кафедра “Высшая математика” |
10.4.7. |
Кратные и криволинейные интегралы |
___________________________________________________________________________
Вариант 26
|
|
|
|
|
|
|
4 16−x2 |
|
|
|
|
1. |
Вычислить повторный интеграл |
∫dx |
∫x2 dy . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4−y2 |
|
|
|
2. |
Изменить порядок интегрирования ∫dy ∫ f (x, y)dx . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 y |
|
|
|
3. |
Вычислить ∫∫(x + 2)dxdy , где областьD ограничена линиями y = ln x , |
||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 4 и осью OX . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной |
||||||||||
|
линией |
r 2 = 4sin 2ϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями |
z = 1 − y , y = x2 . |
|||||||||
6. |
Найти массу тела, ограниченного координатными плоскостями и |
||||||||||
|
плоскостью 2x +3y + 2z = 6 , если плотность в каждой его точке равна |
||||||||||
|
ординате |
y этой точки. |
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Вычислить ∫ |
ydx2 |
+ xdy2 , вдоль прямой AB от A(1;2) до B(3;6) . |
||||||||
|
|
L |
x |
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Убедиться, что заданное выражение |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y − x2 |
|
|
|
x +3y |
|
|
|
|
|
ln y + |
|
dx + ln x + |
|
|
dy |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
есть полный дифференциал некоторой функции |
u = u(x, y) , и |
|||||||||
|
восстановить её. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ИрГУПС |
Кафедра “Высшая математика” |
10.4.7. |
Кратные и криволинейные интегралы |
___________________________________________________________________________
Вариант 27
|
π |
π |
−y |
|
4 |
4 |
∫(cos 2x +sin y)dx . |
1. |
Вычислить повторный интеграл ∫dy |
||
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
4−y2 |
2. |
Изменить порядок интегрирования |
∫dy ∫ f (x, y)dx . |
|
|
|
0 |
3 y |
3. |
Вычислить ∫∫xydxdy , где область D ограничена линиями y = 2 − x , |
||
|
D |
|
|
y= 
2x − x2 .
4.Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями y2 = x , y2 = 4x , y = ±2 .
5. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 0 , x = 0 , y = 0 ,
y + z =1, y2 = x −1.
6. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 = z , z = 3 .
7. |
Вычислить ∫ |
dx |
− |
dy |
, |
вдоль эллипса |
x = acost, |
, обходя его против |
|||
y |
x |
|
|
||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
y = asin t, |
|
|||
|
часовой стрелки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Убедиться, что заданное выражение |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(cos2 |
y + |
2 |
)dx +( y − x sin 2 y)dy |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
есть полный дифференциал некоторой функции |
u = u(x, y) , и |
|||||||||
|
восстановить её. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИрГУПС |
Кафедра “Высшая математика” |
10.4.7. |
Кратные и криволинейные интегралы |
___________________________________________________________________________
Вариант 28
1. |
Вычислить повторный интеграл ∫1 |
dx∫x |
|
dy |
. |
||
|
2 |
||||||
|
|
|
0 |
0 1+ y |
|||
|
|
|
|
2 |
|
y2 +2 |
|
2. |
Изменить порядок интегрирования ∫dy |
∫ f (x, y)dx . |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
y2 |
|
3. |
Вычислить ∫∫ |
x2 + y2 dxdy , где областьD ограничена линией |
|||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
y2 + x2 =8x . |
|
|
|
|
|
|
4. |
Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной |
||||||
|
линиями |
y2 |
= 4x , y2 = x , x =1, 2 y = x . |
||||
5. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 , x + y , y = 0 , |
||||||
z= 0 .
6.Найти момент инерции однородной пирамиды, ограниченной
координатными плоскостями и плоскостью x + y + z =1, относительно оси OZ .
7. Вычислить ∫3xdx + 2xydy от A(1;1) до B(2;4) вдоль параболы
L
y= x2 .
8.Убедиться, что заданное выражение
( y2 −2sin 2x)dx +(2xy + 4 y3 )dy
есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и
восстановить её.
ИрГУПС |
Кафедра “Высшая математика” |
10.4.7. |
Кратные и криволинейные интегралы |
___________________________________________________________________________ |
||||||
|
Вариант 29 |
|||||
|
0 |
2−y2 |
|
|||
1. |
Вычислить повторный интеграл ∫dy |
∫xy2 dx . |
||||
|
−1 |
−y |
|
|||
|
|
|
3 |
y+4 |
||
|
4 |
2 |
||||
|
|
|
∫ f (x, y)dx . |
|||
2. |
Изменить порядок интегрирования ∫dy |
|||||
|
0 |
|
1 |
y+1 |
||
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|||
3. |
Перейти к полярным координатам и расставить пределы |
|||||
интегрирования в ∫∫ f (x, y)dxdy , где область D ограничена линиями
|
|
|
|
|
D |
|
|
y2 |
+ x2 =1 , x + y =1. |
||
4. |
Двойным интегралом вычислить площадь, ограниченную эллипсом |
||||
|
|
x2 |
+ |
y2 |
=1. |
|
4 |
|
|||
|
36 |
|
|||
5. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 0 , z = 2 − x − y , |
||||
y= x2 .
6.Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями
|
z =1 − x2 − y2 , z = 0 . |
|
|
||
7. |
Вычислить |
∫(2a − y)dx − (a − y)dy |
вдоль циклоиды |
||
|
|
L |
|
|
|
|
x = a(t −sin t), |
от A(0;0) |
до B(2πa;0) . |
||
|
L : |
|
|||
|
y = a(1 −cost), |
|
|
|
|
8. |
Убедиться, что заданное выражение |
( y −sin x )dx +(x +1)dy |
|||
есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и
восстановить её.