лабы по оптике

Оно не совпадает со средним значением средних по сериям измерений в два приёма:

Значение x из (36) можно рассматривать средним по десяти измерениям, в результате которых было получено семь раз одинаковое значение x1 и три

На практике чаще встречается случай непрерывного распределения величины z и при N измерениях получается N значений zi, каждое со своей среднеквадратичной ошибкой:

Чтобы получить наилучшее значение ~z из этих измерений, необходимо приписать каждому значению zi статистический вес ωi, выраженный через σ

(zi).

Предположим, что значение zi есть среднее из ni измеренных значений. В этом случае вес ωi пропорционален ni. Будем считать, что первоначальные значения являются равноточными, следовательно, они обладают одинаковыми весами и принадлежат одному и тому же распределению. Пусть среднеквадратичная ошибка распределения есть σ, тогда по (7) имеем:

490

При одинаковых погрешностях измерений σ(z1) = σ(z2) = =…= σ(zN)

~

наилучшее значение z из (41), называемое средневзвешенным, переходит в среднее арифметическое, а среднеквадратичная ошибка величины σ~z переходит в среднеквадратичную ошибку среднего значения σz .

Приборные погрешности

Возникновение приборных погрешностей обусловлено свойствами измерительных приборов. Погрешность каждого конкретного прибора является систематической, но ее значение и знак обычно неизвестны, а значит, ее невозможно исключить введением в результат измерения соответствующей поправки. В паспорте прибора принято указывать предел допустимой погрешности Θ, означающий максимально возможную погрешность при рекомендованных условиях работы прибора. Если бы приборная погрешность была распределена по нормальному закону, то из такого определения Θ следовало бы, что распространение характеризуется средним квадратичным отклонением

Стрелочные электроизмерительные приборы по величине допустимой погрешности делятся на классы точности, которые обозначаются на шкале прибора цифрами 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс точности прибора показывает величину допустимой погрешности в процентах от значения измеряемой величины, при отклонении стрелки прибора до последнего деления шкалы.

Цифровые приборы (электроизмерительные и прочие) имеют, как правило, погрешность, составляющую 1-2 единицы последнего индицируемого разряда.

Если сведений о допустимой приборной погрешности не имеется, то в качестве нее можно принять половину наименьшего деления шкалы прибора. Например, при измерении длины линейкой с миллиметровыми делениями за допустимую погрешность принимается 0,5 мм.

Окончательный результат многократного измерения содержит в себе как случайную, так и приборную погрешность:

491

С увеличением числа измерений случайная погрешность все время уменьшается, а приборная погрешность остается неизменной. Отсюда следует правило: количество измерений должно быть таким, чтобы выполнялось неравенство

Если при многократных измерениях получается одно и то же значение измеряемой величины, то это означает, что случайная погрешность измеряемой величины много меньше приборной и результат измерений будет определяться только точностью используемого прибора. В таком случае, по возможности, следует заменить прибор более точным.

Погрешности табличных значений

Если в формулы для вычисления величины, измеряемой косвенно, входят величины, значения которых берутся из математических или физических таблиц, то их вклады в погрешность искомой величины учитываются на общих основаниях, наряду с погрешностями величин, полученных прямыми измерениями.

Для физических величин, приводимых в справочниках, иногда указываются погрешности. В этом случае под погрешностями подразумеваются стандартные отклонения для доверительной вероятности 0,68. Если погрешность величины, приводимой в справочнике, не указана, то следует, что погрешность не превышает половины единицы последнего разряда числа.

В случаях, когда для расчетов используется калькулятор, погрешность математических величин (значения тригонометрических функций, число и других) учитывать не следует – они пренебрежимо малы по сравнению с погрешностями измеряемых величин.

Учет погрешности в записи окончательного результата измерения

Завершением обработки данных многократного прямого измерения при заданной доверительной вероятности являются два числа: среднее значение измеряемой величины и его доверительный интервал. Оба этих числа и есть результат проведенного измерения, стандартная форма записи которого имеет следующий вид:

где – величина заданной доверительной вероятности, а k – число проведенных измерений. Устно выражение (46) звучит так: истинное

492

значение величины х с вероятностью после k измерений лежит в интервалеx около среднего значения x .

Возможности вычислительной техники позволяют при определении величин x и x получить числа с любым количеством цифр. Но заблуждением было бы считать, что количество цифр, полученных вычислением, отражает точность проведенных измерений. Математические расчеты показывают, что погрешность вычисления среднеквадратичной ошибки (x) при n измерениях составляет примерно (n 1) 0,5 . Для n = 10

относительная ошибка (x) достигает 30%. При такой ошибке бессмысленно приводить в погрешности лишние цифры, так как они окажутся

руководствуясь следующими правилами:

1)погрешность округляется до одной значащей (ненулевой) цифры слева, если эта цифра больше 2, или до двух первых цифр в противном случае;

2)если цифра, расположенная за оставляемой меньше 5, то ее просто отбрасывают, иначе цифру увеличивают на единицу;

3)если же отбрасываемая цифра равна 5, то округляют до ближайшего четного числа (правило Гаусса);

4)при округлении среднего значения x справа оставляют цифры тех

разрядов, которые сохранились в погрешности x после ее округления;

5) порядковые множители (вида 10k, где k – целое число), одинаковые для среднего и погрешности среднего, выносятся за общую скобку.

Например, стандартная форма записи окончательных результатов

Порядок действий при вычислении окончательных результатов измерений

Прямые многократные измерения

1.По результатам эксперимента найти среднее значение измерений величины по (2).

2.Вычислить выборочное среднеквадратичное отклонение S результатов отдельных измерений от среднего по (10).

3.Отбросить измерения, в которых отклонение от среднего больше 3δ.

4.Повторить вычисления пунктов 1 и 2 для оставшихся результатов.

5.Оценить среднеквадратичное отклонение окончательного результата по (12), если n≥5. При числе измерений n<5 сначала нужно найти

493

выборочное отклонение среднего, затем, используя коэффициенты Стьюдента из табл.1 для доверительной вероятности α = 0,68, вычислить стандартное отклонение среднего.

6.Определить полное стандартное отклонение с учётом приборной погрешности по (34) и (33).

7.Для заданной доверительной вероятности найти коэффициенты Стьюдента по табл.1 и вычислить границы доверительного интервала.

8.Записать окончательный результат в стандартной форме (36) и (37), предварительно проведя его округление.

Косвенные измерения

1.Рассчитать и записать в стандартной форме окончательные результаты прямых измерений величин, необходимых для искомой величины. Пользоваться доверительной вероятностью α = 0,68.

2.Найти среднее значение искомой величины по средним значениям прямых измерений.

3.Вывести формулу для расчёта погрешности результата косвенного измерения и вычислить значения погрешности по (31) или воспользоваться табл. 2.

4.Привести окончательный результат косвенного измерения к стандартной форме записи.

Пример расчёта погрешностей

В качестве примера рассчитаем погрешность при определении длины волны излучения, пропускаемого светофильтром в интерференционном опыте с бипризмой Френеля. Расчётная формула для длины волны λ имеет вид

В (1*) x – ширина интерференционной полосы, определяемая экспериментально с помощью измерительного микроскопа; d – расстояние между мнимыми источниками, определяемое также с помощью микроскопа; a и b –расстояние от источника света до бипризмы и от бипризмы до экрана с интерференционной картиной соответственно. По табл. 2 определим, исходя из функциональной связи λ с измеренными величинами, что удобнее всего расчёт погрешности проводить по формуле для относительной погрешности в частном случае имеющей вид:

Определение среднего значения ширины интерференционной полосы х проводим следующим образом: совмещаем крест нитей измерительного микроскопа с серединой тёмной полосы (интерференционный минимум) в левой части поля зрения микроскопа и снимаем отсчёт А1.Обработку

494

интерференционной картины проводим по тёмным полосам, они в два-три раза уже светлых полос, поэтому совмещение на глаз креста нитей с серединой полосы (наиболее тёмным местом) можно осуществить более точно. Далее перемещаем крест нитей окулярного микроскопа в правую часть поля зрения, считая при этом количество пересеваемых тёмных полос, и через n полос снимаем отсчёт А2 (в соответствии с инструкцией по эксплуатации окулярного микроскопа). Значение n следует выбирать по возможности большим, так как относительная погрешность δ(n) при этом

где α – цена деления измерительного микроскопа. Она определяется предварительно путём наблюдения через микроскоп объект-микрометра, представляющего собой эталонную линейку длиной 1 мм нанесённую на стеклянную пластинку. Совместив крест нитей микроскопа с нулевым делением объект-микрометра, получим отчёт В1, совместив же крест нитей с последующим делением линейки, получим отсчёт В2. Цену деления определим по соотношению

Структура формулы (5*) показывает, что расчёт погрешности х удобнее начать с определения относительной погрешности. Тогда по

формуле (2) из табл.2 запишем

δ2 ( х) = δ2(А2-А1)+ δ2(n)+ δ2(1мм)+ δ2(В2-В1). (6*)

По определению

495

Повторные измерения отрезков (А2-А1) и (В2-В1) показали, что разности (А2-А1) и (В2-В1) остаются неизменными, то есть погрешности отрезков определяются погрешностью микроскопа.

Определим предельную погрешность микроскопа величиной, равной половине минимального деления микроскопа Θ = 0,005, тогда среднеквадратичная погрешность по микроскопу будет σ(А) =1/3Θ ≈ 0,002 деления.

Обратимся к величине n. Можно предположить, что погрешность в определении числа n равна нулю, однако если считать точку А1 за начало отсчёта интерференционных полос, то точка А2 соответствует концу n-й полосы с какой-то погрешностью. Положение А2 определено на глаз, по минимуму освещённости. Глазом же более или менее уверенно можно определить 1/10 небольшого интервала, поэтому предположим σ(n)=0,1.

В соответствии с (6*) необходимо определить погрешность эталонной линейки в 1 мм. Минимальное деление эталонной линейки 0,01 мм. Примем за предельную погрешность 0,5 деления, тогда среднеквадратичная погрешность 1 мм линейки будет σ(1мм) = ⅓·0,5·0,01 = 0,002 мм, а относительная погрешность составит

496

Из вычислений видно, что основной вклад в ошибку определения ширины интерференционной полосы вносит неопределённость в измерение числа интерференционных полос n.

Рассчитаем d – среднее расстояние между мнимыми источниками и ошибку этой величины. По заданию нужно было несколько раз менять положение фокусирующей линзы и определять d для каждого положения линзы. Было получено 3 значения d: d1=3,47 мм; d2=3,60 мм; d3=3,55 мм.

полученное при расчёте ошибки ширины интерференционной полосы. Такая оценка σпр(d)= σ( х), следует из того, что измерения d и х проводились одним и тем же прибором. За полную погрешность d примем среднеквадратичную ошибку σ(d), определяемую по правилу

По табл. 1 найдём коэффициент Стьюдента для трёх измерений и доверительной вероятности α=0,68. Этот коэффициент равен t =1,4. Найдём

Определим среднеквадратичную ошибку среднего значения (a+b). Измерения проводились металлической линейкой, следовательно, можно предположить, что среднеквадратичная ошибка отсчёта равна 1/3·0,3 = 0,1

497

Величины, по которым определили среднее значение λ, имеют погрешность с доверительной вероятностью 0,68, поэтому и абсолютная погрешность λ имеет ту же доверительную вероятность и является среднеквадратичной погрешностью:

Итак, с вероятностью 68 % истинное значение длины волны излучения

δлежит в интервале (540 ± 10) нм.

Свероятностью 99 % доверительный интервал составит ± 3σ и длина волны будет лежать в пределах (540 ± 30) нм.

Линейная зависимость

Часто встречаются ситуации, когда известна функциональная связь двух физических величин у и х, и требуется найти значение третьей величины, которая присутствует в функции в виде параметра. Например, при рассмотрении интерференционного опыта «Кольца Ньютона» диаметр интерференционного кольца Dк связан с порядком интерференции k соотношением

Dk A k , (48)

где А – известный коэффициент пропорциональности, а – длина волны излучения, используемого в опыте. Из (38) видно, что, возведя обе части в квадрат, мы получим линейную функцию относительно k типа у =Вk. Искомая величина будет входить в коэффициент при переменной k. Параметры линейной зависимости и их погрешности могут быть надежно оценены стандартным методом математической статистики, называемым

методом наименьших квадратов (МНК). Определив параметр В и его погрешность, можно найти и его ошибку.

Суть МНК в следующем. Допустим, имеется n пар измеренных значений (х1, у1), (х2, у2), …, (хn, уn). Предположим, что ошибки содержат

498

лишь величины у. Если величины у и х связаны с параметрами m и с линейной зависимостью у = mx + c, то отклонение в i-м измерении составляет

Таблица 3

Формулы для нахождения параметров прямой линии методом наименьших квадратов

Принцип минимизации суммы квадратов отклонений впервые предложен Лежандром в 1806 г.

499