Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Вычислим координаты xc, yc центра тяжести С всего сечения по (2.6).

Получаем координаты центра тяжести сечения: С(xс; yс) = С(3,46; 9,12). Поставим эту точку на чертѐж сечения и проведѐм центральные оси (xc, yc) всего сечения (рис. 2.5).

71

где ai и bi – расстояния между центральными осям i-го элемента и всего сечения, которые вычислим по (2.7) как ai = yi - yC, bi = xi - xC (рис. 2.5, б):

Тогда центральный момент инерции всего сечения I xc относительно оси xс получает значение:

I xc = 617 7,372 49,8 5010 ( 9,12)2 40, 2 11676 см4.

Значение центрального момента инерции всего сечения Iyс относительно оси yс равно:

Iyс = 2026 2,792 49,8 260 3,46 2 40,2 3155 см4.

Значение центробежного момента инерции Ixсyс:

Ixсyс = 2775 7,37 2,79 49,8 0 ( 9,12) ( 3,46) 40,2 5068см4.

4. Определение положения главных осей и значений главных моментов инерции

Найдем положение главных осей, используя формулу (2.4):

отрицательным, поэтому главные оси (u, v) покажем поворотом центральных осей (xс, yс) на угол 23,250 по часовой стрелке (причѐм ось u всегда наклонена к оси x под углом α0). Нанесѐм главные оси (u, v) на сечение (рис. 2.5).

72

Главные моменты инерции по (2.5) равны

Моменты инерции Iu, Iv − это экстремальные моменты, т. е. один из них

– Imax, другой – Imin. Сумма моментов инерции относительно всех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через данную точку, есть величина постоянная:

Iu + Iv=Imax + Imin=14036+795= Ixc + Iyc=11676+3155=14831 cм4.

И так, получаем Imax =14036см4, Imin =795см4.

Окончательным пунктом вычисления геометрических характеристик является назначение оси максимальных Imax и оси минимальных моментов Imin инерции, что очень важно для рационального расположения сечения по отношению к плоскости нагрузки. Установить назначение этих осей можно после получения значений Imax, Imin и угла αo. Существует правило: ось максимальных моментов инерции Imax наклонена под меньшим углом к той оси (оси xc, или оси yc), относительно которой момент инерции имел наибольшее значение (это Ixс или Iyс).

В нашем случае Ixс=11676см4 > Iyс=3155см4, тогда

Imax=Iu=14036см4, Imin=Iv=795см4,

поэтому подписываем ось u как ось максимальных моментов инерции I max – ось max, а ось v как ось минимальных Imin – ось min.

2-й вариант схемы: сечение из 3-х элементов.

Рассмотрим вычисление главных моментов инерции и определение положения главных осей для несимметричного сечения, составленного из двутавра, швеллера и уголка (рис. 2.6). Сечение состоит из 3-х профилей (говорим: из 3-х элементов): двутавра №16, швеллера №14 и уголка №5/3,2. При вычислении выполняем все пункты, указанные выше.

1. Выполнение чертежа сечения

73

Присвоим индексы элементам сечения: i=1, 2, 3. Габаритные размеры, расстояния до центров тяжести, площадь и моменты инерции выбираем для двутавра из ГОСТ 8239-89, для швеллера – из ГОСТ 8240-93, для уголка – из ГОСТ 8510-97 (см. табл. 4, 5, 7 Прил.). Пользуясь таблицами, запишем следующие значения в собственных осях элементов.

Для 1-го элемента (двутавра № 16) высота h=16см, ширина полки b=8,1см; площадь F1=20,2см2, осевые и центробежный моменты инерции Ix1=873см4, Iy1=58,6см4 и запишем, учитывая симметрию двутавра, Ix1y1=0.

Для 2-го элемента (швеллера № 14) высота h= 14см, ширина полки b=5,8см, расстояние до центральной оси z0=1,67см; площадь F2=15,6см2, осевые и центробежный моменты инерции Ix2=51,5см4, Iy2=493см4 и, как результат симметрии швелллера, Ix2y2=0.

Для 3-го элемента (уголка № 5/3,2) ширина полок B=5см, b=3,2см, расстояния до центральных осей x0=0,76см, y0=1,65см; площадь F3=3,17см2, осевые и центробежный моменты инерции Ix3=7,98см4, Iy3=2,56см4 и Ix3y3=2,59см4. Необходимо помнить, что знак центробежного момента инерции Ixy уголка зависит от расположения его в сечении и направления собственных осей (знак может быть и положительным, и отрицательным). Для этого знака составлена табл. 8 Приложения. В нашем случае будет знак ‹+›.

На чертѐже всего сечения, выполненном в масштабе, ставим габаритные размеры (рис. 2.6), наносим центры тяжести Сi профилей, через которые проведѐм собственные оси элементов. На чертѐже показаны собственные оси всех 3-х элементов сечения.

2. Определение положения центра тяжести

Исходя из удобства, выберем исходные оси (x, y) и укажем в этих осях координаты xi, yi центров тяжести (т. е. точек Сi) всех профилей:

C1(x1, y1)=C1(4,05; 8), C2(x2, y2)=C2(7; 1,8), C3(x3, y3)=C3(13,24; 1,65).

Определим координаты xc, yc центра тяжести (точки С) всего сечения по (2. .), используя здесь и далее для сокращения записи матричную форму, более удобную при i>2:

74

С(xс; yс)=С(5,97; 3,56).

Поставим эту точку на чертѐж сечения и проведѐм центральные оси (xc, yc) всего сечения.

75

3. Вычисление центральных моментов инерции

Далее нужно вычислить в осях (xc, yc) центральные моменты инерции Ixс, Iyс, Ixсyс. Вычисление выполняем по (2.2.), записывая в матричной форме,

где по (2.7) аi = (yi) - yc =

20,2 7,272) 15,6 =812,7см4,

3,17

76

4.Определение положения главных осей и значений главных моментов инерции

Найдѐм угол αo наклона главных осей, используя формулу (2.4):

Отсюда угол αo наклона главных осей αo =15,760. Угол получен положительным, поэтому главные оси (u, v) покажем поворотом центральных осей (xс, yс) на угол 15,80 против часовой стрелки (причѐм ось u всегда наклонена к оси x под углом αo). Нанесѐм главные оси (u, v) на сечение.

Главные моменты инерции определяем по (2.5).

Моменты инерции Iu, Iv − это экстремальные моменты, т. е. один из них – Imax, другой – Imin , а сумма моментов инерции относительно всех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через данную точку, есть величина постоянная:

Iu+Iv=Imax+Imin=1875+ 728= Ixc I y ñ =1790,4+812,7=2603см4.

Получаем Imax =1875см4, Imin = 728 см4.

Окончательным пунктом вычисления геометрических характеристик является назначение оси максимальных Imax и оси минимальных моментов Imin инерции, что очень важно для рационального расположения сечения по отношению к плоскости нагрузки. Установить назначение этих осей можно после получения значений Imax, Imin и угла α0. Используем правило: ось максимальных моментов инерции Imax наклонена под меньшим углом к той

77

оси (оси xc, или оси yc), относительно которой момент инерции имел наибольшее значение (это Ixс или Iyс).

В нашем случае Ixс=1790,4см4 > Iyс=812,7см4, тогда

Imax=Iu=1875см4, Imin=Iv= 728см4,

поэтому подписываем ось u как ось максимальных моментов инерции Imax – ось max, а ось v как ось минимальных Imin – ось min.

Задача 11. Вычисление геометрических характеристик несимметричных сечений из простых фигур

Дана схема сечения (рис. 2.7, а), составленного из 2-х простых фигур: прямоугольника а 4а, т. е. высотой а и шириной 4а, и четверти круга радиуса r=1,7а. Значение отрезка a равно a=3 мм.

Решение:

1. Выполнение чертежа сечения

Используя заданное значение a =3см, найдѐм высоту прямоугольника как h=3см, ширину прямоугольника b=12см, и радиус четверти круга r=5см.

Выполним чертѐж сечения и проставим числовые размеры фигур (рис. 2.7, б). Сечение состоит из 2-х элементов: прямоугольника и четверти круга. Присвоим им индексы i=1, 2, укажем их на чертеже сечения.

2. Определение положения центра тяжести всего сечения

Найдем положение центра тяжести всего сечения, взяв вспомогательные координатные оси (х, у). Для удобства вычислений оси х и у проведены так, что они совпадают с основаниями четверти круга.

Укажем координаты хi и уi центров тяжести каждого элемента сечения относительно осей хоу (рис. 2.7, б):

C1( х1; у1) = C1 (-1; -1,5) , C2 (х2; у2) = C2 (2,12; 2,12).

Определим координаты xc, yc центра тяжести (точки С) всего сечения по (2.6).

78

Рис. 2.7

Получаем координаты центра тяжести (точки С) всего сечения:

С(xс; yс)= =С(0,1; -0,22).

Поставим эту точку на чертѐж сечения и проведѐм центральные оси (xc, yc) всего сечения.

3. Вычисление центральных моментов инерции

В начале найдѐм геометрические характеристики элементов: центральные оси, площадь, осевые и центробежный моменты инерции. Для удобства изобразим отдельно элементы (рис. 2.7, в), нанесѐм центры тяжести каждого как Сi (см. табл. 10 Прил.). Для прямоугольника центр тяжести С1 расположен на расстоянии h/2 =1,5см и b/2=6см от его сторон, а для четверти круга удалѐн от оснований на 0,424·r=0,424·5=2,12см. Через точки Сi проведѐм собственные оси каждого элемента (xi, yi).

Площади и моменты инерции элементов (осевые Ixi, Iyi и центробежный Ixiyi) относительно собственных осей элементов (xi, yi), подсчитаем по известным формулам, которые можно найти в справочниках или взять из табл. 10 Приложения.

79

Для 1-го элемента (прямоугольника): площадь F1=12∙3=36 см2; моменты инерции относительно своих центральных осей: осевые

Центральный момент инерции всего сечения относительно оси xС принимает значение:

27 ( 1,282 36 34,4 2,342 19,6 227,7 см4.

Вычислим центральный момент инерции всего сечения относительно оси yс:

432 ( 1,1)2 36 34,4 2,022 19,6 590 см4.

80