Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

Михайлов ТФКП практикум2013

.pdf

Скачиваний:

1704

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 259 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

4) z = R eiφ , dz = Rieiφdφ; Ln R = ln R + i0 + 2πki = ln R + 2πi k =1. Интегрируется ветвь: Ln z = ln R +iφ+ 2πi :

2π

∫Ln zdz = ∫ (ln R +iφ+ 2πi)Rieiφdφ =

2π

= Ri ln R 1 eiφ

+i ∫

φeiφdφ+2πi ∫ eiφdφ

ln R

−

ln R

eiϕ

2π

−

2π

2πi

eiφ

2π

= Ri

∫

eiφdφ

=Ri 2π− R 1 eiφ 2π +0 = 2πiR.

Пример 6.10. Вычислить интегралы:

	−e3
1)	∫		Ln zdz		в плоскости с разрезом по спирали ρ = φ φ ≥ 0 при
	1
условии Ln 1 = 2πi ;
	27	dz
2)	∫	dz		в плоскости с разрезом по спирали ρ = φ φ ≥ 0 при ус-
2)	∫	3		в плоскости с разрезом по спирали ρ = φ φ ≥ 0 при ус-
	1		z
	1
ловии	3 1 = − 1				+ i	3	;
ловии	3 1 = − 1				+ i	2	;
				2		2
	220		dz
3)	∫		dz	в плоскости с разрезом по логарифмической спирали
3)	∫		4	в плоскости с разрезом по логарифмической спирали
	1		z

ρ = eφ (−∞ < φ< +∞) при условии

4 −

= −

(1−i) .

Решение.

1) Выделим ветвь из условия (рис.

6.2). В точке z =1

=1,

=0 , ϕ = 0 Ln 1 = 2πki = 2πi k =1.

Интегрируем

ветвь

Ln z = ln z +iφ+2πi по частям (так как

выделенная в данной области ветвь – однозначная аналитическая функция):


		∫ Ln zdz = zLn z − z .
По формуле Ньютона–Лейбница:
Рис. 6.2	∫ Ln zdz =[zLn z − z]−e3 .
	C	1
Учтем, что интегрируется ветвь	Ln z = ln		z	+iφ+2πi .

В начальной и конечной точках интегрирования z =1 , z = −e3 , а

Ln z соответственно

–

Ln 1 = 2πi

Ln (−e3 ) = 3 +5πi + 2πi =

= 3 +7πi . Следовательно,

∫ Ln zdz = −e3 (3 +7πi) +e3 −2πi +1 =1 −2e3 −iπ(2 +7e3 ).

φ+2πk

2) По определению корня 3 z = 3 ρ ei

(k = 0,1, 2) . Выделя-

ем ветвь: в точке z =1 ρ =1 ; φ = 0 ,

2 πk

3 1 = ei

= −1 +i

k =1 ,

так как

2π

ei 3

= cos

+i sin

= −

2 π

Интегрируется ветвь 3

z = 3 ρ ei 3 ei

3 .

Так как в области с ука-

занным разрезом выделенная ветвь представляет собой однозначную аналитическую функцию, то применима формула Ньютона– Лейбница. При этом в точке z =1 ρ =1, φ = 0, а в точке z = 27

ρ = 27 , а угол φ при движении точки интегрирования от z =1 до z = 27 по пути, определяемому разрезом, приобретает значение 8π.

Таким образом,	i	8π i 3	i 4π	1	3
	i	8π i 3	i 4π	1	3
		2 π
3 27 = 3e 3 e = 3e			3 = −3 +i			,
3 27 = 3e 3 e = 3e			3 = −3 +i			,
					2
				2	2

27	dz		3		27		3			3	2		3	2

∫		=		(3 z )2		=		(−3)2	21 +i		− −	12 +i			=
	3 z		2		1		2			2			2
1

								3											3												15	3
							=		9 −1 +i															=12 +i									.
							=	2	9 −1 +i										2					=12 +i							2		.
								2											2												2
															4 z = 4 ρ ei													φ+2πk				(k = 0,1, 2,3) . Ветвь
3) По определению корня															4 z = 4 ρ ei															4		(k = 0,1, 2,3) . Ветвь
выделяется условием 4 −										1	=					2				(1−i) . В точке z = −																1
выделяется условием 4 −										16	=				4					(1−i) . В точке z = −																16
										16					4																					16
										ρ =				z			=				1			;	φ = π,
																					1

							i π+2πk												16
																			16
	1		1		e						1				i	π			e			i	πk				1				2			2		k = 3 ,
4 −		=						4		=			e			4							2 =									−i
4 −	16	=	2					4		=	2		e			4							2 =				2				2	−i	2
	16		2								2																2				2		2
так как при k = 3
		1			i	π		3iπ				1							2								2					2	(1	−i) .
				e		4 e 2				= −					i									+i							=
		2		e		4 e 2				= −		2			i				2					+i			2				=	4
		2										2							2								2					4
																													4 z = 4 ρ ei						φ		3π
Таким образом, интегрируется ветвь																													4 z = 4 ρ ei						4 e 2 i . Чтобы
попасть из точки						z =		1		, где								z		=				1		; φ = 0 ; 4 z = −1 i , в точку
								1																1

								16															16													2
								16															16													2

z = 220 , угол ϕ должен совершить три оборота вокруг начала коор-

динат против часовой стрелки,																т.е. будет φ = 6π , и в этой точке
		4				20					i	6π				3π	i				3π			3π
		4		2		20					i	4					i	= −32i			3π	+i sin		3π	= −32 .
				2				= −32 i e				4	= −32ie 2					= −32i		cos	2	+i sin			= −32 .
																					2			2
		Таким образом, по формуле Ньютона–Лейбница получаем
220			dz				4		3	220	4			3				1	3	4			3		i	3
									3

	∫				=			3 z 4			= 3 (4 220 )				− 4					= 3 (		−32)		− −			=
	∫		4 z		=			3 z 4			= 3 (4 220 )				− 4			16		= 3 (		−32)		− −	2		=
1
										1
16										1
16								16
								16

=	4	−32768	−	i	= −	131072	−	i	.

	3			8		3		6

Интегральная формула Коши.		dz
Пример 6.11 ([3], № 3.27). Вычислить интеграл ∫			, если:
	z	2
C		+9

1)точка 3i лежит внутри контура С, а точка −3i – вне его;

2)точка −3i лежит внутри контура С, а точка 3i – вне его;

3)точки ±3i лежат внутри контура С.

Решение.

1) Согласно интегральной формуле Ко-

ши (рис. 6.3):

f (z0 ) =

v∫

f ( z)dz

2πi

z − z

где контур С охватывает точку z0 , а функ-

ция f (z)

– аналитическая внутри

этого

Рис. 6.3

контура.

В интеграле

точкой z0

является точка

3i , а

v∫ ( z +3i )( z −3i )

f (z) =

. Поэтому

z +

v∫

= 2πif (3i) = 2πi

( z +3i)( z −3i)

2) В качестве точки

теперь надо брать

−3i , а f (z) =

z −3i

(рис. 6.4). Тогда

v∫

= 2πi f (−3i ) =

( z −3i )( z +

3i )

= 2πi

= −

−6i

3) Исключим из области внутри контура

Рис. 6.4

С точки 3i и –3i, окружив их соответствен-

но контурами С1 и С2 (рис. 6.5). Тогда по теореме Коши для многосвязной области, внутри контура, состоящего из внешнего

контура С, проходимого в положительном

направлении (т.е. против часовой стрелки),

и двух контуров C −

и C −

, проходимых в

отрицательном

направлении,

функция

аналитична,

и интеграл по этому

Рис. 6.5

составному контуру равен 0, т.е

= 0

C∫

+ C∫1−

+ C∫2−

z2 +9

C∫

= C∫

+C∫

−

= 0.

z2 +9

Пример 6.12 ([3], № 3.28). Вычислить все возможные значения

интеграла ∫

при различных положениях контура С. Пред-

z(z2

−1)

полагается, что контур С не проходит ни через одну из точек 0,1 и –1.

Решение. Если контур охватывает точку 0, то

			∫	dz			= 2πi f (0) ,
			∫	z(z2	−1)		= 2πi f (0) ,
			C
	1						dz
где	f ( z ) =		и I =		∫			= −2πi
где	f ( z ) =	z2 −1	и I =		∫	z(z2 −1)		= −2πi
					C

Если контур охватывает только точку –1, то I = 2πif (−1) , где

f ( z ) =	1	и I = πi . Если контур охватывает только точку 1, то
f ( z ) =	z(z −1)	и I = πi . Если контур охватывает только точку 1, то
	z(z −1)
I = 2πif (1) , где		f (z) =	1	и I = πi . Если контур охватывает
I = 2πif (1) , где		f (z) =	z(z +1)	и I = πi . Если контур охватывает
			z(z +1)

только две из этих точек, то как показано в предыдущем примере,

f (z)dz

интеграл равен сумме соответствующих интегралов, и поэтому I может принимать значения 2πi и −πi . Если контур охватывает все 3 точки, то, соответственно, интеграл равен 0. Также он равен 0, если контур не охватывает ни одной из данных точек. Таким образом, все возможные значения интеграла сводятся к числам: −2πi ,

−πi , 0, πi , 2πi .

Пример 6.13 ([3], № 3.30). Вычислить интеграл	∫		zdz	, а >1.
			z4 −1
Решение. Знаменатель можно разложить	z−a	=a
	на		множители:

z4 −1 =(z −1)(z +1)(z −i)(z +i) . Контур – окружность радиуса a >1 с

центром в точке a (рис. 6.6).

Таким образом, внутри контура находится только точка z = 1. По интегральной формуле Коши

∫

zdz

= 2πif (1) ,

z4 −1

z−a

где f ( z )

= 1

инте-

(z2 +1)(z +1)

z=1

Рис. 6.6

πi

грал равен

Пример 6.14 ([3], № 3.32). Вычислить интеграл

C∫

zez dz

2πi

(z −a)3

если точка a лежит внутри контура С.

Решение. Так как n-я производная интеграла Коши вычисляется по формуле

f (n) (z0 ) = n! ∫ − n+1 ,

2πi C (z z0 )

то, воспользовавшись этой формулой при n = 2, получим

2! ∫ f (z)dz =

2πi C (z −a)3 f ''(a) ,

где f (z) = zez . Вычислим эту производную:

f '(z) = zez +ez ; f "(z) = zez +2ez =ez (z +2) .

Искомый интеграл равен ea	1 + a	.
	2

Пример 6.15 ([3], № 3.34). Функция f (z) аналитическая в об-

ласти, ограниченной простым замкнутым контуром С, содержащим внутри себя начало координат. Доказать, что при любом выборе ветви Ln z

21πi C∫ f '(z)Ln zdz = f (z0 ) − f (0) ,

где z0 – начальная точка интегрирования.

Решение. Выбрав в качестве начала интегрирования произвольную точку z0 ≠ 0 и интегрируя какую-либо ветвь логарифма:

Ln z = ln z +iφ+i2πk , воспользуемся формулой Ньютона–Лейб- ница. Учтем при этом, что при обходе начала координат и возвра-

щении в исходную точку z0

возвратится к первоначальному

значению, а

arg Ln z = φ приобретет приращение 2π, не изменит

своего значения аналитическая функция f (z) . Первообразная

∫ f '(z)Ln zdz = f (z)Ln z − ∫

f (z)

dz .

Искомый интеграл равен

f '(z)Ln zdz = f (z0 )[ln | z0 | +i(φ0 + 2π) +i2πk −ln | z0 | −

2πi C∫

−iφ0 −i2πk] +

f (z)

dz =f (z0 ) − f (0) ,

2πi C∫

так как

C∫

f (z)dz

=f (0) по формуле Коши.

2πi

Пример 6.16. Вычислить интегралы по замкнутому контуру, пользуясь интегральной формулой Коши:

sin πz dz

1) ∫ 4 , где C : x2 + y2 −2x =0;

C z2 −1

2)	C∫	eπz dz	, где C : 4x	2	+ y	2	−2y =0 .
		(z2 +1)2

Решение.

1) Запишем уравнение контура С в виде (x −1)2 + y2 =1 - окруж-

ность с центром в точке с координатами х = 1, у = 0 и радиусом 1. Интеграл можно представить в виде

πz

sin

f (z)dz

∫

+1)(z −1)

−1

C (z

πz

sin

где точка

z =1

находится внутри контура,

f (z) =

анали-

z +1

тическая внутри контура функция.

По формуле Коши:

f (z)dz

sin

πi 2

C∫

= 2πif (1) =

2πi

z −1

2) Уравнение контура С запишем в виде

4x2 +(y −1)2 =1 – эл-

липс, внутри которого находится точка

z0 = i . Представим инте-

грал в виде

C∫

eπz dz

= C∫

f (z)dz

(z +i)2 (z −i)2

(z −i)2

где f (z) =

eπz

(z +i)2

По формуле Коши (один раз продифференцированной)

C∫

f (z)dz

= 2πif '(i) ,

(z −i)2

f '(z) =

(z +i)2

πeπz −eπz

2(z +i)

eπz (π(z +i) −2)

;

(z +i)4

(z +i)3

f '(i) =

eπi (2iπ−2)

1−iπ

(2i)3

−4i

Таким образом, искомый интеграл равен π2 (iπ−1) .

Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:

6.1 ([3], № 3.2 (1)); 6.2 ([3], № 3.3 (вычислить интеграл I1)); 6.3 ([3], № 3.4 (1, 2)); 6.7 (1); 6.8 ([3], № 3.8 (1, 4));

6.9 ([3], № 3.9 (1)); 6.10 (1); 6.11 ([3], № 3.27); 6.13 ([3], № 3.30);

6.14([3], № 3.32); 6.16 (1).

Резерв:

6.4([3], № 3.5); 6.5 ([3], № 3.6); 6.6 ([3], № 3.7); 6.10 (3);

6.15([3], № 3.34).

Для самостоятельной работы дома:

6.1 ([3], № 3.2 (3)); 6.2 ([3], № 3.3 (вычислить интеграл I2)); 6.3 ([3], № 3.4 (3, 4)); 6.7 (2); 6.8 ([3], № 3.8 (2, 5)); 6.9 ([3], № 3.9 (2, 3, 4)); 6.10 (2); [3], № 3.33; 6.16 (2).

7. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯД ТЕЙЛОРА

Ряд

∞

a1 + a2 + ... + an + ... = ∑an ,

n=1

где аk = αk + iβk – комплексные числа, называется комплексным числовым рядом. Ряд сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды из действительных и, соответственно, мнимых частей членов

∞	∞
этого ряда, то есть действительные числовые ряды ∑αk	и ∑βk ,
k =1	k =1

что определяет сохранение основных свойств действительных числовых рядов применительно к рядам комплексным. Суммой ряда

называется	lim Sn ,	где частичная сумма ряда Sn	n
называется	lim Sn ,	где частичная сумма ряда Sn	= ∑ak . Если ряд
	n→∞		k =1
	∞		∞
из модулей	∑\| ak \|	сходится, то сходится и ряд	∑ak . Обратное,
	k =1		k =1

вообще говоря, неверно. В случае сходимости ряда из модулей

∞	∞
∑\| ak \| ряд	∑ak называется абсолютно сходящимся.
k =1	k =1

Абсолютная сходимость ряда определяется по признакам Да-

ламбера и Коши. Соответственно, если lim | an+1 |= q < 1 , то ряд аб-

n→∞ an

солютно сходится, если q > 1 – ряд расходится (признак Даламбе-

ра). Если lim n | an | = q < 1 , то ряд сходится, если q > 1 – ряд расхо-

n→∞

дится (признак Коши).

Необходимое условие сходимости ряда: lim an = 0 .

n→∞

∞

Если ряд из функций ∑un (z) сходится в каждой точке области,

n=1

то он называется сходящимся в этой области.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в не-

которой области его сходимости, если	ε > 0 N (ε) : n > N (ε) и
для всех z из данной области	выполняется неравенство
\| S (z) − Sn (z) \|< ε , где S ( z) – сумма ряда.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 259 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>