num-meth

где x — произвольная, а ξ — некоторая фиксированная точка интервала (−h/2, h/2). Подставим в (3.9)

−h/2

где ξ0 (−h/2, h/2) — некоторая точка, несовпадающая с точкой ξ.

Слагаемое hf(0) в выражении (3.10) интеграла I0 можно расценивать как приближение к I0 по формуле прямоугольников в случае всего одного элементарного отрезка. Слагаемое

f′′(ξ0)h3 есть остаточный член (локальная погрешность) простейшей форму-

24

лы прямоугольников I0 ≈ hf(0).

Согласно обобщенной теореме о среднем значении непрерывной функции, существует ξΠ

Подставив это выражение в предыдущее равенство, приходим к окончательному виду остаточного члена (глобальной погрешности) квадратурной формулы прямоугольников:

3.1.2Семейство квадратурных формул Ньютона-Котеса

∫b

Подстановка в интеграл f(x)dx вместо функции f(x) ее интерполяционного многочлена

a

Лагранжа той или иной степени n приводит к семейству квадратурных формул, называемых формулами Ньютона-Котеса.

Если система узлов интерполирования {xi}ni=0 совпадает с точками разбиения (3.4) отрезка [a, b] с шагом h, то замена переменной x = x0 + qh трансформирует многочлен Лагранжа к виду

изменить границы интегрирования (значению x = a соответствует значение q = 0, а x = b

— значение q = n) и учесть, что dx = hdq. Таким образом, получаем

0i=0

Это равенство

— коэффициенты Котеса.

Формулы (3.14)–(3.15) определяют семейство квадратурных формул. Параметром этого семейтсва является число n—степень интерполяционного многочлена.

Рассмотрим несколько простейших случаев, соответсвтующих небольшим значениям

1) Пусть n = 1, т.е. имеется всего две точки x0 и x1 = x0 + h. Этим значениям соответствуют значения 0 и 1 переменной q.

Получена простейшая квадратурная формула трапеций.

Остаточный член этой формулы найдем интегрированием остаточного члена R1(x) формулы линейной интерполяции, преобразованного к виду

R1(x0 + qh) = f′′(ξ)h2q(q − 1).

2

Таблица 3.1: Параметры частных формул Ньютона-Котеса вида (3.22)

При разбиении исходного промежутка интегрирования [a, b] на n частей по свойству аддитивности расчленяется исходный интеграл. Применяя к каждой его части формулу (3.23), получим

Отсюда следует, что искомое значение интеграла можно приближенно найти по формуле

которую в дальнейшем будем называть формулой трапеции. Тогда остаточный член формулы трапеции есть

Аналогично, на основе простейшем формулы Симпсона (3.19) и ее остаточного члена (3.21) запишем равнство:

Выполнив разбиение (3.4) так, чтобы число элементарных промежутков n = 2m было четным, исходный интеграл представляем суммой m интегралов вида (3.27):

Отсюда получается формула численного интегрирования

снекоторой точкой ξC из интервала (a, b).

Витоге можно сказать, что замена подынтегральной функции f(x) на промежутке интегрирования (a, b), разбитом на части, кусочно-линейной функцией приводит к его приближенному значению IT с ошибкой, убывающей по квадратичному закону при h → 0. Если сделать кусочно-квадратичную интерполяцию подынтегральной функции со сдвоенными элементарными промежутками, то ошибка получаемого приближенного равенства I ≈ IC будет убывать пропорционально h4.

Посмотрев на строку табл.3.1 для k = 3, легко понять, что применение кусочнокубической интерполяции на основе формулы Ньютона-Котеса не даст значительного улучшения по сравнению с формулой Симпсона.

3.1.4Соотношения между формулами прямоугольников, трапеций и Симпсона

Изучим связи, которые возникают между приближенными значениями Itext, IT и IC интеграла I в процессе его вычисления по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона с шагом h.

Если h = H/2, то

На базе этих связей можно строить эффективные алгоритмы вычисления интегралов. Дроблением шага H пополам мы последовательно уточняем искомое значение.

где RT (h) = 13(IT (h) − IT (H)) — так называемая поправка Ричардсона. Вычисление

поправки Ричардсона позволяет уточнить приближенное значение IT (h) интеграла I, вычисленное по формуле трапеций.

3.1.5Последовательное уточнение интеграла алгоритмом Ромберга

Пусть к приближенному вычислению значения I данного интеграла применяется некая квадратурная формула p-го порядка точности Ip из семейства составных формул НьютонаКотеса. При условии непрерывности p-ой производной подынтегральной функции это означает существование такой постоянной C, что

Считая, что при малом h постоянные C и C1 близки, из (3.33) и (3.34) имеем

Ip(h) + Chp = Ip(h/2) + C1(h/2)p ≈ Ip(h/2) + C(h/2)p

получаем возможность хотя бы грубо контролировать точность численного интегрирования на основе двойного счета (с шагом h и с шагом h/2). В этом и заключается широко применяемый принцип Рунге практического оценивания погрешностей. Его применение считается правомочным, если выполняется неравенство

С другой стороны, второе слагаемое в формуле (3.35) позволяет уточнить “дешевым” способом приближенное значение IP (h/2) интеграла I. При p = 2 формула (3.33) есть формула трапеций

I= IT (h) + Ch2,

ивыражение (3.36) в этом случае совпадает с определенной в предыдущем параграфе поправкой Ричардсона RT (h/2) , а правая часть формулы (3.35) есть значение IC (h/2) , соответствующее формуле Симпсона. Обобщенная поправка Ричардсона получаемая с помощью двойного счета величин

Следовательно, заложив процесс деления шага пополам и выполнив первоначальный подсчет приближенного значения интеграла I по формуле трапеций, дальнейшие его уточнения можно производить рекуррентно путем прибавления обобщенных поправок Ричардсона к предыдущим приближениям к I.

Алгоритм Ромберга определяется следующей совокупностью формул :

Чебышева (она хороша тем, что минимизирует вероятную ошибку, если значения ϕ(ti) имеют нормально распределенную случайную ошибку).

Считая, что равенство (3.41) должно быть непременно точным для постоянной функции, подставим в него ϕ(t) ≡ 1. Имеем

Вернувшись к более общему виду квадратурной формулы (3.40). Подберем параметры данной формулы так, чтобы равенство

было точным для многочленов степени 2n − 1 или, что то же, для 2n степенных функций ϕ(t) = 1, t, t2, ..., t2n−1. В этом случае построение квадратурной формулы наивысшего алгебраического порядка точности вида (3.42), называемой квадратурной формулой Гаусса.

Запишем теперь общую формулу для квадратур Чебышева и Гаусса применительно к исходному Интегралу по промежутку [a, b] на основе преобразования (3.39):

Значения узлов ti и весов Ai, округленные до шести знаков после запятой, при n = 2, 3, 4, 5 приведены в табл. (3.2).

Таблица 3.2: Узлы и веса квадратурных формул Чебышева и Гаусса

Проблема корректного использования формул Чебышева и Гаусса (3.43) — в трудности оценивания модулей производных высоких порядков (если они еще существуют!). Полезную роль на этом пути может сыграть изучение квадратурных формул Маркова. Алгебраическая точность таких формул ниже, чем у соответствующих формул Гаусса, но зато какие-то узлы могут произвольно фиксироваться.

3.2Аппроксимация производных

Посредством дифференцирования интерполяционных формул выводятся формулы для приближенного вычисления производных. Остаточные члены полученных приближенных формул находятся с помощью формулы Тейлора и дифференцированием соответствующих остаточных членов интерполяционных формул. Особая роль придается простейшим аппроксимациям первого и второго порядков точности первой и второй производных в узлах сетки, что существенно используется в последующих главах. Обращается внимание на существование таких шагов аппроксимации производных по формулам различных порядков точности, при которых ограниченная точность вычисленных значений функции наименьшим образом влияет на точность результата.

3.2.1Вывод формул численного дифференцирования

Численное дифференцирование, т.е. нахождение значений производных заданной функции f(x) в заданных точках x, в отличие от рассмотренного численного интегрирования, можно считать не столь актуальной задачей в связи с отсутствием принципиальных трудностей с аналитическим нахождением производных. Однако имеется ряд моментов, не позволяющих обходить эту задачу стороной. Это и типичное для прикладных задач незнание аналитического вида функции f(x), и возможное сильное усложнение функции при ее аналитическом дифференцировании (что затрудняет нахождение ее значений с высокой точностью), и желательность получения значений производных с помощью однотипных вычислительных процессов без привлечения аналитических выкладок. Главным же для дальнейшего является потребность в простых формулах, с помощью которых производные в заданных точках можно аппроксимировать несколькими значениями функции (быть может, неизвестной) в этих и близких к ним точках.

Источником формул численного дифференцирования, как и большинства квадратурных формул, является полиномиальная интерполяция.

Зная в точках xi = x0 + ih (i = 0, 1, . . . , n) при некотором h > 0 значения yi = f(xi) данной функции f(x), можно найти конечные разности ∆kyi; и записать для нее, например, первый интерполяционный многочлен Ньютона Pn(x). Дифференцируя приближенное равенство f(x) ≈ Pn(x), будем строить формулы приближенного дифференцирования разной точности в зависимости от степени n используемого интерполяционного многочлена.

Отсюда получаем конечноразностную формулу численного дифференцирования