Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

5.10. Доказать, что существует единственное преобразование трехмерного пространства, переводящего векторы a1, a2 , a3 соответственно в b1,b2 ,b3 , и найти матрицу это-

го преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов.
a1 = (2, 0, 3),	a2 = (4, 1, 5),					a3 = (3, 1, 2),
b1 = (1, 2, −1),	b2 = (4, 5, −2),					b3 = (1, −1, 1).
5.11. Линейное преобразование ϕ в базисе e1, e2 , e3 , e4						имеет матрицу
		1	2	0	1
		3	0	−1	2

		2	5	3	1

		1	2	1	3

Найти матрицу этого же преобразования в базисе:

e1, e1 + e2 , e1 + e2 + e3 ,					e1 + e2 + e3 + e4 .
5.12. Линейное преобразование ϕ в базисе
a1 = (8, −6, 7),	a2 = (−16,				7,	−13),	a1 = (9, −3, 7)
имеет матрицу	1		−18		15
	1		−18		15
	−1		−22		20
	−1		−22		20
	1		−25		22
	1		−25		22
Найти его матрицу в базисе								b1 = (2, 1, 2).
b1 = (1, −2, 1),		b2 = (3, −1, 2),						b1 = (2, 1, 2).
5.13. Найти канонический вид B ортогональной матрицы A и ортогональную мат-
рицу Q такую, что B = Q−1 AQ
	2		−	1	2
	3		−	3	3
	3			3	3
	2		2		− 1
	3		3		3
	− 1		−	2	2
	− 1		−	2	2
	3			3	3

5.14. Доказать, что для выполнения равенства αx + βy = βx +αy , где α, β – числа и x, y векторы, необходимо и достаточно, чтобы было или α = β , или x = y .

5.15. Доказать теорему: для того чтобы две линейно независимые системы с одинаковым числом векторов x1, x2 ,..., xk , y1, y2 ,..., yk n-мерного пространства Rn были эквива-

лентны (или порождали одно и то же подпространство), необходимо и достаточно, чтобы в любом базисе соответствующие друг другу миноры матриц А и В из координатных строк векторов этих систем были пропорциональны.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Глава 6. Линейные операторы

6.1. Определение линейного оператора

в век-

Определение. Оператором А, отображающим векторное пространство Rn

торное пространство Rm , называется функция, которая каждому вектору х Rn

ставит в

соответствие единственный

вектор

y Rm , что символически записывается

виде

y называется образом вектора

– про-

y = A(х) . Вектор

x при отображении А, а вектор x

образом вектора y .

Оператор

А называется линейным, если:

, x2 из Rn (условие аддитивности);

А(x1 + x2 ) = А(x1 ) +

А(x2 ) для любых x1

для любого

х Rn , где λ – произвольное число (условие одно-

А(λx) = λА(x)

родности);

При λ =0

имеем

= 0 , т.е. линейный оператор преобразует нулевой вектор в

А(0)

нулевой. Рассмотрим связь между координатами вектора х Rn

и координатами вектора

y R

. Для этого выразим векторы х

и y

соответственно через базис е , е

,..., е

про-

странства Rn и базис g1, g2 ,..., gm пространства Rm :

x = x1е1 + x2е2 +... + xnеn

(6.1.1)

Тогда имеем

y = y1g1 + y2 g2 +... + ym gm

(6.1.2)

(6.1.3)

y = A(x) =

A(x1е1 + x2е2 +... + xnеn ) = x1 A(е1 )

+ x2 A(е2 ) +...

+ xn A(еn )

Из выражения (6.1.3) следует, что для задания оператора

достаточно задать об-

разы базисных векторов А(ei ),i =1,n .

Разложим каждый вектор

=1,n по базису g1, g2 ,..., gm

пространства Rm :

А(ei ),i

= a11g1

+ a21g2 +... + am1gm ,

А(e1 )

= a12 g1

+ a22 g2 +... + am2 gm ,

А(e2 )

(6.1.4)

.....................................................

= a1n g1

+ a2n g2 +... + amn gm .

А(en )

Матрица A' из коэффициентов разложений имеет вид:

...

a12

a22

...

am2

(6.1.5)

A'=

... ... ...

...

Из равенства (6.1.3) и (6.1.5) получаем:

y1g1 + y2 g2 +... + ym gm = (a11x1 + a12 x2 +... + a1n xn )g1 +

+ a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn )g2 +... +(am x1 + am2 x2 +... + amn xn )gm

откуда в силу единственности разложения вектора y по базису g1, g2 ,..., gm следует, что

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

y1 = a11x1 +a12 x2 +... +a1n xn ,

y2 = a21x1 +a22 x2 +... +a2n xn ,

(6.1.6)

..........................................

или в матричном виде

ym = am x1 +am2 x2 +... +amn xn

Y=АХ

(6.1.7

где

...

a21

a22

a2n

Y =

A =

...

, X =

... ...

am2

...

am1

amn

Матрица А называется матрицей линейного оператора

А.

Рассмотрим случай, когда оператор

задается в пространстве

Rn и отображает

это пространство на себя.

Тогда уравнения (6.1.4) принимают вид:

+ a21g2

+... + an1gn ,

А(e1 ) = a11g1

+ a22 g2

+... + an2 gn ,

А(e2 ) = a12 g1

.....................................................

+ a2n g2 +... + ann gn .

А(en ) = a1n g1

и матрицей оператора

является квадратная матрица A = (aij )n,n .

Формулы (6.1.6) принимают вид:

y1 = a11x1 + a12 x2 +... + a1n xn ,

y2 = a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn ,

..............................................

yn = an x1 + an2 x2 +... + ann xn

в пространстве Rn при вы-

Отсюда следует, что всякому линейному оператору А

бранном базисе соответствует некоторая квадратная матрица A = (aij )n,n .

Справедливо и обратное утверждение: всякой матрице A = (aij )n,n

при заданном ба-

зисе соответствует некоторый линейный оператор

А.

Таким образом, можно установить взаимно однозначное соответствие между ли-

нейными операторами

в пространстве Rn

и матрицами А порядка n.

Если | A|≠ 0 , то

– невырожденный оператор.

−1

Оператор А

называется обратным по отношению к оператору А, если:

~−1

А = E

где ~ – тождественный оператор, матрицей которого является единичная матрица порядка n.

Рассмотрим, как изменяется матрица линейного оператора ~ при переходе к ново-

му базису в пространстве Rn .

Пусть в пространстве Rn заданы два базиса е1, е2 ,..., еn и е1*,е2 *,...,еn *, связь между которыми задается невырожденной матрицей перехода T = (tij )n,n . Тогда связь между

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

координатами векторов х и y в новом и старом базисах можно выразить в виде следую-

щих матричных уравнений:

Х=ТХ*, Y=ТY*.

Учитывая, что Y=АХ, получим

ТY*=АТХ,

откуда Y*=Т-1АТХ*.

Обозначив матрицу оператора А в новом базисе через А*=Т-1АТ, получим

Y*=А*Х*.

Матрица А* называется преобразующей матрицей.

Отметим, что матрица А и А* описывают действие одного и того же оператора ~ в

разных базисах.

Покажем, что матрицы А и А* подобны, то есть |А*|=|А|. Действительно,

|A*|=|Т-1АТ|=|Т-1||A||T|=|A|.

Из выведенного соотношения следует, что определитель матрицы А линейного

преобразования А не зависит от выбора базиса в Rn .

Примеры линейных операторов.

1. Если для каждого вектора х Rn

, то оператор

является линейным и

А(x) = 0

называется нулевым оператором

. Так как для любого базиса е1, е2 ,..., еn А(ei ) = 0,i =1,m ,

то матрицей нулевого оператора

является нулевая матрица.

2. Если для каждого вектора х Rn

, то оператор

является линейным и

А(x) = x

. Очевидно,

что матрицей тождественного опе-

называется тождественным оператором E

ратора является единичная матрица Е.

3. Если для каждого вектора х Rn

является линейным и

А(x) = λx , то оператор

называется оператором подобия. Так как для любого базиса е1, е2 ,..., еn А(ei ) = λei ,i =1,n ,

то матрица оператора подобия равна λE .

6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение

Рассмотрим квадратную матрицу

...

a21

a22 ...

a2n

A =

...

... ... ...

an2 ...

an1

ann

Как было показано(6.1.), все матрицы, подобные матрице А, т.е. все матрицы вида А*= Т-1АТ, где Т – любая невырожденная матрица (квадратная), обладают одним и тем же определителем |A|=|A*|.

Подобные матрицы обладают еще одной общей для всех них характеристикой. Наряду с матрицей А рассмотрим матрицу

a			−	λ
	11
		a21
A − λE =
...
		an1
		an1

a	...	a
12		1n
a22 − λ	...	a2n	,
...	...	...
...	...	...
an2	...
an2	...	ann − λ

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

которая образована из А заменой диагональных элементов aij элементами aii − λ , где λ – произвольное число. Определитель этой матрицы

a			− λ	a	...	a
	11			12		1n
		a21		a22 − λ	...	a2n
∆(λ) =\| A − λE \|=				...	...	...
...				...	...	...
		an1		an2	...
		an1		an2	...	ann − λ

представляет собой многочлен степени n относительно λ (коэффициент при λn равен (-1)n). Многочлен ∆(λ) =| A − λE | называется характеристическим многочленом матрицы А.

Покажем, что все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, т.е. что | A * −λE |=| A − λE |= ∆(λ) , где А*=Т-1АТ.

Для этого воспользуемся тождеством Е*= Т-1ЕТ. Тогда, заменяя в матрице A* −λE матрицы А* и Е соответственно на Т-1АТ и Т-1ЕТ, получаем:

| A * −λE |=| T −1 AT − λT −1ET |=| T −1 ( A − λE)T |=| T −1 | | A − λE | | T |=| A − λE |.

Таким образом, все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен ∆(λ) =| A − λE | .

Алгебраическое уравнение n-й степени ∆(λ) = 0 называется характеристическим

уравнением матрицы А, а его корни – характеристическими числами. Характеристическое уравнение имеет вид

λn −α1λn−1 +α2λn−2 +... + (−1)n−1αn−1λ + (−1)n αn = 0

где αk – след k-го порядка матрицы А.

Следом k-го порядка αk называется сумма возможных

главных миноров

k-ого порядка:

k!(n − k)!

α1 =a11 +a22 +...+ann =tr(A),

α2 =

a11

a12

a11

a13

+...,

a21

a22

a31

a33

.............................................

αn =| A|.

имеет n

Характеристическое уравнение

не обязательно

различных корней

λ1,λ2 ,...,λn . Каждому характеристическому корню соответствует собственный вектор с

точностью до постоянного множителя.

Сумма характеристических корней равна следу матрицы А:

λ1 + λ2 +... + λn = tr( A) ,

а произведение характеристических корней равно определителю матрицы А:

λ1 λ2 ... λn =| A |

Число ненулевых корней совпадает с рангом матрицы линейного оператора. Одним из методов для нахождения коэффициентов αi (i =1,n) характеристического

уравнения является методом Фаддеева. Пусть линейный оператор ~ задан матрицей А.

Тогда коэффициенты αi вычисляются по следующей схеме:

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

A1 = A,α1 =tr(A1),B1 = A1 −α1E,

A = AB ,α

tr(A ),B = A −α

............................................................

= AB

,α

tr(A

),B

= A

−α

n −1

n−1

n−2

n−1

A = AB

,α

tr(A ),B = A −α

n−1

Пример. Найти собственные значения линейного оператора

А, заданного матрицей

− 4

А=

− 4

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

λ3 −α1λ2 −α2λ −α3 = 0

где α1 =tr(A) =14+12+10=36,

14 −4

−22

−4

−4 12

−4 −24

−4

= A =

−

4 ;B1 = A1

−α1E =

−4

−4 −26

−292

40 −256

= AB1 =

−244

α2

(−292−256−244) =−396,

α3 =| A|=

−4

=1296.

−4

В итоге получаем следующее характеристическое уравнение:

λ3 − 36λ2 − 336λ					−1296 = 0
или (λ − 36)(λ −12)(λ − 6) = 0, откуда		λ1 =18, λ2			=12, λ3 = 6 – собственные значения ли-
~
нейного оператора А.
Теорема Гамильтона-Кэли. Каждая квадратная матрица является корнем своего
характеристического многочлена.
Доказательство. Рассмотрим многочлен
∆(λ) =\| A −λE \|= λn +αnλn−1 +... +αn .									(6.2.1)
Пусть матрица В является присоединенной к матрице A − λE . Тогда имеем									(6.2.2)
(A	− λ	E)В \| A		− λ		E \| Е	.		(6.2.2)
	− λ	=		− λ			.
Элементами матрицы В являются многочлены от λ степени не выше (n-1). Поэто-
му матрицу В можно представить в следующем виде:
В = В + λВ + λ2 В			2	+... + λn−1В				n−1	(6.2.3)
0		1	2					n−1

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подставляя выражения матрицы В из (6.2.3) и многочлена | A − λE | из (6.2.1) в равенство (6.2.2), получим

( А− λЕ)(В + λВ + λ2

+... + λn−1В

n−1

) = (λn

+α λn−1 +α

λn−2 +... +α

)Е

или

(АВ − В ) +... + λn−1

) − λn В

(АВ + λ(АВ − В ) + λ2

(АВ

− В

1 0

2 1

n−1

n−2

n−1

(6.2.4)

= λn E + λn−1α1E + λn−2α2 E +... +αn Е

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ в обеих частях равенства

(6.2.4), получим

− Вn−1 = E,

AВn−1 − Вn−2 =α1E,

.................................

AВ1 − В0 =αn−1E,

AВ0 =αn E.

Умножим равенства (6.2.5) соответственно на An , An−1,..., A, E и сложим полученные результаты:

− An В	+ An−1В	− An−2	В		+... + A2 В − AВ + AВ =
n−1	n−1			n−2		1	0	0
= An +α1 An−1 +... +αn−1 A +αn
или	An +α1 An−1 +... +αn−1 A +αn = 0 ,
	An +α1 An−1 +... +αn−1 A +αn = 0 ,
откуда следует, что ∆(λ) = 0. Теорема доказана.
Пример. Линейный оператор		~
Пример. Линейный оператор		А задан матрицей
		А=		1	2
		А=				.
				5	4
				5	4

Найти ∆(λ) и показать, что ∆(λ) = 0. Решение. Составим матрицу

			1	− λ	2
		А− λЕ =
				5	4 − λ
				5	4 − λ
Многочлен ∆(λ) =\| A − λE \| имеет вид
		1 − λ	2	= λ2 −5λ − 6 .
		1 − λ	2	= λ2 −5λ − 6 .
		5	4 − λ
Тогда			1 2 2
			1 2 2		1 2	1	0	0	0
∆(λ) = A2 −5A − 6E =				−5		− 6		=	.

			5 4		5 4	0	1	0	0
6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора
						~
Пусть в пространстве Rn задан линейный оператор А.
Определение.	Ненулевой вектор			х Rn ,		удовлетворяющий соотношению
~
А(x) = λx , называется собственным вектором, а соответствующее число λ – собственным
значением оператора	~
значением оператора	А.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Из данного определения следует, что образом собственного вектора x является коллинеарный ему вектор λx .

Отметим некоторые свойства собственных векторов оператора ~ .

1. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное число.

Предположим обратное: пусть собственному вектору x оператора		~	соответствуют два
		А	соответствуют два
собственных числа λ1 иλ2 . Это значит, что
~
А(x) = λ1x ,
~
А(x) = λ2 x .
Но отсюда следует, что
λ1x − λ2 x =
λ1x − λ2 x =	0

(λ1 − λ2 )x = 0

Так как по условию x – ненулевой вектор, то λ1 = λ2 .

2. Если x1 и x2 – собственные векторы оператора				~
2. Если x1 и x2 – собственные векторы оператора				А с одним и тем же собственным
числом λ , то их сумма x1 + x2 также является собственным вектором оператора					~
					А с соб-
		~		~
ственным числом λ . Действительно, так как А(x1 ) = λx1 и А(x2 ) = λx2 , то
~	~	~	+ λx2	= λ(x1 + x2 ) .
А(x1	+ x2 ) = А(x1 ) +	А(x2 ) = λx1	+ λx2	= λ(x1 + x2 ) .
3. Если x – собственный вектор оператора			~
3. Если x – собственный вектор оператора			А с собственным числом λ , то любой
					~
вектор αx , коллинеарный вектору x , также является собственным вектором оператора А
с тем же самым собственным числом λ .
Действительно,	~	~
	~	~
	А(αx) =α( Аx) =α(λx) = λ(αx) .

Таким образом, каждому собственному числу λ соответствует бесчисленное множество коллинеарных собственных векторов. Из свойств 2 и 3 следует, что множество

собственных векторов оператора ~ , соответствующих одному и тому же собственному

числу, образует пространство, которое является подпространством пространства Rn .

Докажем теорему о существовании собственного вектора.

Теорема. В комплексном линейном пространстве Rn каждый линейный оператор

~ имеет, по крайней мере, один собственный вектор.

Доказательство. Пусть

А – линейный оператор, заданный в пространстве Rn , а x –

собственный вектор этого оператора с собственным числом λ , т.е.

А(x) = λx . Выберем

произвольный базис е1, е2 ,..., еn

и обозначим координаты вектора x

в этом базисе через

х , х

,..., х

. Тогда, если A = (a

)

,..., е

, то, записы-

n,n

– матрица оператора А в базисе е , е

вая соотношение в матричной форме, получим

AX = λEX

или(A − λE)X = 0

}T .

(6.3.1)

где X ={x , x

,..., x

В координатной форме матричное уравнение (6.3.1) имеет вид

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

	(a11 − λ)x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0,
	a21x1 + (a22 − λ)x2 +... + a2n xn = 0,	(6.3.2)
	......................................................	(6.3.2)
	......................................................

an1x1 + an2 x2 +... + (ann − λ)xn = 0.

Для отыскания собственного вектора необходимо найти ненулевые решения системы (6.3.2), которые существуют тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю, т.е. когда | A −λE |=0. Отсюда следует, что собственное число линейного опера-

тора ~ является его характеристическим числом, которое всегда существует. Подставляя

это число в систему (6.3.2), найдет ненулевое решение этой системы, которое определяет искомый собственный вектор. Теорема доказана.

Из данной теоремы следует, что нахождение собственного числа линейного опера-

~
тора А и соответствующего ему собственного вектора x сводится к решению характери-
стического уравнения \| A −λE \|=0. Пусть λ1,λ2 ,...,λm (m ≤ n)	– различные корни характе-
ристического уравнения. Подставив какой-нибудь корень λi	в систему (6.3.2), найдем все

ее линейно независимые решения, которые и определяют собственные векторы, соответствующие собственному числу λi . Если ранг матрицы A − λi E равен r и r<n, то существу-

ет k=n-r линейно независимых собственных векторов, отвечающих корню.

Пример. Найти собственные векторы линейного оператора ~ , заданного матрицей

	2	1	1
	1	2	1
A =				.
	1	1	2

Решение. Составим характеристическое уравнение

2 − λ	1	1	= 0,
2 − λ	1	1
1	2 − λ	1
1	1	2 − λ

или (λ −1)2 (4 − λ) = 0, откуда λ1 = λ2 =1, λ3 = 4 .

Подставляем корни λ1 = λ2 =1, λ3 = 4 в систему (6.3.1). Найдем собственные векто-

ры оператора ~ .

При λ1 = λ2 =1 имеем

	(A − λE)X = 0
1 1		1	x		0
1	1	1	x1	=		0	.
			2
	1					0
1	1	1	x3			0

Получим однородную систему трех линейных уравнений, из которых только одно (любое) является линейно независимым. Общее решение системы имеет вид x1 = −x2 − x3 .

Найдем два линейно независимых решения:

x1(1) = (−1,1,0)T , x1(2) = (−1,0,1)T .

Тогда собственные векторы, соответствующие собственным значениям λ1 = λ2 =1, имеют вид

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

	−1			−1
x(1) = с	1	, x(2)	= с	0	,

	0			1
	0			1

где с – произвольное действительное число, отличное от нуля. При λ3 = 4 имеем

− 2		1	1	x		0
	1	− 2 1		1		0
	1	− 2 1		x2	=	0	.
	1	1	− 2	x		0
				3

Общее решение данной системы имеет вид

х1 = х3 , х2 = х3 , х1 = х2

Собственный вектор, соответствующий собственному значению λ3 = 4, равен

1
x (3) = с 1 .

1									~
Теорема. Пусть собственные значения λ ,λ		,...λ			( p ≤ n)			оператора	~	попарно раз-
Теорема. Пусть собственные значения λ ,λ	2	,...λ	p		( p ≤ n)			оператора	А	попарно раз-
1	2		p
личны. Тогда отвечающие им собственные векторы х , х				2		,..., х	p	линейно независимы.
		1		2			p

Доказательство. Используем метод индукции по числу переменных. Так как х1 –

ненулевой вектор, то при p=1 утверждение теоремы справедливо.

Пусть утверждение теоремы справедливо для m<p векторов х1, х2 ,..., хm . Присоединим к этим векторам вектор хm+1 и допустим, что имеет место равенство

m∑+1αk xk = 0 k=1

Используя свойство линейного оператора, получим

m+1 ~

∑αk А(хk ) = 0

k=1

Так как хk , k =1, m +1, -собственные векторы, то

во (6.3.4) можно переписать следующим образом:

m∑+1αk λk хk = 0 k=1

				(6.3.3)
				(6.3.4)
~				и поэтому равенст-
~
А(хk ) = λxk
				(6.3.5)


Умножим (6.3.3) на λm+1 и вычтем из (6.3.5), получим
	m∑+1αk (λk −λm+1)			=		(6.3.6)
			хk		0
	k =1
По условию все λk ,k =		, различны, поэтому λk − λm+1 ≠ 0 .				Система векторов
	1, p

х1, х2 ,..., хm – линейно независимая. Поэтому из (6.3.6) следует, что α1 = 0,α2 = 0,...,αm = 0 . Тогда из (6.3.3) и из условия, что хm +1 – собственный вектор ( хm+1 ≠ 0 ), получаем λm+1 = 0 . Это означает, что х1, х2 ,..., хm +1 – система линейно независимых векторов. Индукция про-

ведена. Теорема доказана.

Следствие: если все собственные значения λ1,λ2 ,...λn попарно различны, то отвечающие им собственные векторы х1, х2 ,..., хn образуют базис пространства Rn .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.11.20192 Мб10Лизинговые операции.rtf
#
12.11.2018977 Кб23Линал - задачник.docx
#
12.11.20181 Мб44Линал - пособие.docx
#
01.03.20255 Мб7Линейная алгебра_часть1.doc
#
05.06.20153 Мб109Линейная алгебра.DOC
#
05.06.20151 Мб58Линейная алгебра.pdf
#
05.06.20153 Мб28Личный кабинет студента мэси.pdf
#
05.06.201534 Кб20Логика Завражин.docx
#
05.06.201520 Кб56ЛОГИКА тест1 мэси 2013г.docx
#
05.06.201521 Кб68ЛОГИКА тест2 мэси 2013.docx
#
05.06.2015153 Кб138логика, тесты.doc