УП_Г.Я.Горбовцов 2009

Управление стоимостью проекта

Математическая модель для решения задачи минимизации затрат

Обозначения:

A – множество работ проекта,

Pi – множество предшественников для работы i, yi – величина сокращения времени работы i, T0 – желательное время выполнения проекта,

ai – удельные затраты на сокращение работы i (наклон), din – нормальное время выполнения работы i,

dic – критическое время выполнения работы i.

При данных обозначениях модель линейного программирования принимает сле- дующий вид:

Теперь, для нашего примера, получим:

F(Y ) = 580 + (100 yA +100 yB +40 yC +140 yD +50 yE +30 yF) + 145 ES FIN → min

1. Для определения длительности проекта, при нормальной длительности всех операций, решим сначала следующую задачу:

81

Управление проектом

Параметры поиска решения: (нажмите кнопку Параметры)

В результате получим:

По значению ES FIN = 18 устанавливаем, что длительность проекта при нормаль-

ных длительностях всех операций составляет 18 дней. Теперь будем решать общую зада- чу при различных значениях T0 ={18,17,16 ...}пока не будет получено сообщение «Поиск не

может найти подходящего решения».

2. Общая задача:

82

Управление стоимостью проекта

Например, при T0 ={18}получим:

Пошаговые решения:

При T0 ={10}получаем сообщение Поиска решений:

Следовательно, наша задача имеет решение в диапазоне от 18 до 11 дней. При T0 ={12}получаем оптимальный календарный план с общими затратами = 3080.

3. Минимизация общих затрат

Изменим знак ограничения на T0 , т.е. сделаем ES Fin ≤ 18:

83

Управление проектом

Заново решим нашу общую задачу:

Теперь сразу получаем оптимальное решение.

84

Управление рисками проекта

Тема 6.

Управление рисками проекта

В предыдущих разделах не учитывались вероятностные соображения, а предпола- галось, что продолжительность работы точно известна. На практике сроки выполнения операций обычно являются довольно неопределенными. Часто можно лишь выдвинуть некоторые предположения о том, сколько времени потребуется для выполнения каждой работы. Нельзя предусмотреть возможные трудности или задержки выполнения. Неоп- ределенность сроков выполнения операций означает, что общая продолжительность проекта также подвержена неопределенности. Выбор метода, позволяющего учесть эту неопределенность, зависит от типа проекта и природы неопределенности.

6.1. Метод PERT

Алгоритм, получивший наиболее широкое применение, называется методом оценки и пересмотра проектов (Project Evaluation and Review Technique – PERT).

Для каждой работы проекта принимаются три оценки продолжительности вы- полнения:

1)наиболее вероятное время выполнения m,

2)оптимистическая оценка времени а,

3)пессимистическая оценка времени в.

Наиболее вероятная (нормальная) оценка, характеризует усредненные условия выполнения операции и определяется как время выполнения работы при нормальных условиях.

Оптимистическая (минимальная) оценка, соответствует наиболее благоприятным условиям выполнения операции, когда все идет по плану.

Пессимистическая (максимальная) оценка, соответствует самым неблагоприят- ным условиям выполнения операции (нехватка рабочей силы, перебои в снабжении, ме- ханические поломки).

Оптимистическая и пессимистическая оценки задают размах колебаний продол- жительности работы под влиянием неопределенности. Поскольку обе эти оценки явля- ются лишь приемлемыми предположениями, фактическая продолжительность работы может лежать за пределами этого интервала, но вероятность такого события очень мала. В методе PERT принимается бета-распределение продолжительности работ с модой в точке m и концами в точках a и b.

85

Этот расчет основан на статистической концепции β-распределения, согласно ко- торой наиболее вероятная оценка продолжительности операции m весит в 4 раза больше, чем оптимистическая a и пессимистическая b оценки продолжительности.

Поскольку фактическая продолжительность может отличаться от ожидаемой, не- обходимо знать дисперсию продолжительности работы. У большинства распределений крайние значения отстоят на три среднеквадратических отклонения от математического ожидания. Таким образом, размах распределения равен шести среднеквадратическим

Вметоде PERT с помощью оценок продолжительности a, b, m по формулам (1) и

(2)вычисляется математическое ожидание и дисперсия для каждой работы. Так как про-

должительности работ являются случайными величинами, то и продолжительность про-

екта также является случайной величиной, и можно говорить о математическом ожидании продолжительности проекта и ее дисперсии.

В предположении, что сроки выполнения операций не зависят друг от друга, рас- пределение времени выполнения проекта в целом является нормальным (в силу цен-

тральной предельной теоремы), математическое ожиданиие (МО) нормального распре-

деления определяется как сумма математических ожиданий продолжительности крити- ческих операций, а дисперсия – как сумма их дисперсий.

Полученное нормальное распределение можно использовать для оценки вероят- ности завершения проекта к заранее установленной дате.

Пример 6.1. Рассмотрим проект, состоящий из девяти работ с отношениями предшествования и оценками продолжительности, показанными в табл. 6.1.

Вначале вычислим среднюю продолжительность и дисперсию для каждой работы. Полученные данные приведены в табл. 6.2.

86

Управление рисками проекта

Таблица 6.2

Рис. 6.2. Сетевая модель проекта

С помощью ожидаемых продолжительностей работ выполняется расчет сети.

Критический путь определяется как (A, B, D, F, H, I). Обозначим через Т продол- жительность проекта. Тогда ожидаемая продолжительность проекта равна сумме ожи- даемых продолжительностей критических работ A, B, D, F, H, I:

E(T) = 5 + 9 + 4 + 13 + 6 + 8 = 45 (дней).

87

Управление проектом

Дисперсия продолжительности проекта равна сумме дисперсий продолжительно- сти критических работ A, B, D, F, H, I:

D(T) = 1 + 1 + 1 + 4 + 1 + 1 = 9.

Среднеквадратическое отклонение продолжительности проекта равно σ(T) = 3 .

Вероятность завершения проекта

Внашем примере продолжительность проекта Т имеет нормальное распределение

сЕ(Т) = 45 и σ(T) = 3. В случае нормального распределения вероятность того, что значение случайной величины отличается от м.о. не более чем на одно среднеквадратическое от- клонение, равна 0,68. Следовательно, с вероятностью 0,68 продолжительность проекта со- ставит от 42 до 48 дней. Аналогично с вероятностью 0,997 продолжительность проекта Т

будет отличаться от среднего значения не более чем на три σ (от 36 до 54 дней).

Можно также вычислить вероятность завершения проекта к определенному сроку. Например, руководителю нужно знать вероятность осуществления проекта за 50 дней, т.е. требуется вычислить Р (Т ≤ 50). Эту вероятность можно найти с помощью таблицы для нормированного нормального распределения с нулевым м.о. и σ = 1. Согласно тео-

рии вероятностей случайная величина Z = T −E(T) имеет нормальное распределение с

σ(T)

Таким образом, вероятность того, что проект будет закончен за 50 дней, составляет 0,9522. Допустим, что необходимо знать вероятность завершения проекта на 4 дня рань- ше, чем ожидается. Это означает, что требуется вычислить

Следовательно, вероятность того, что проект будет закончен через 41 день, состав- ляет всего 0,0912.

Пример 6.2

88

Управление рисками проекта

Критические пути: {A→C→F→G} и {A→B→D→F→G}.

Поскольку в данном примере два критических пути, необходимо принять реше- ние, какие дисперсии следует использовать, чтобы максимально точно определить веро- ятность выполнения проекта в заданный срок. Традиционный подход заключается в ис- пользовании пути с наибольшей суммарной дисперсией, поскольку в этом случае внима- ние управленческого персонала будет направлено на операции, которые имеют большой разброс оценок продолжительности.

Так как в нашем примере для критического пути {A→C→F→G} ∑σ2ср = 11,89 , а для

критического пути {A→B→D→F→G} ∑σ2ср = 10,22 , то для определения вероятности за- вершения проекта должны быть использованы дисперсии операций A, C, F и H.

89

Управление проектом

Предположим, что менеджер хочет узнать, насколько вероятно завершить проект за 35 недель.

Это означает, что менеджер проекта имеет лишь 19%-й шанс выполнить проект в 35-недельный срок. Обратите внимание, что данная степень вероятности характеризует, по сути, только критический путь {A→C→F→G}. Поскольку в сетевом графике есть еще один критический путь, а также другие пути, которые в ходе реализации проекта тоже могут стать критическими, фактическая вероятность выполнения проекта за 35 недель будет меньше 0,19.

6.2. Имитационное моделирование

Цель имитационного моделирования – создать среду или устройство, позволяющие путем эксперимента получить нужную информацию об объектах окружающего мира, не общаясь непосредственно с этими объектами. При проведении количественного анализа имитация является основой экспериментов, проводимых на математических моделях.

Имитационные модели часто используются для анализа решений, принимаемых в условиях риска, т.е. для анализа моделей, в которых поведение (или значение) некоторых факторов заранее не известно. Такие факторы называются случайными величинами (пе- ременными). Поведение случайных величин описывается распределением вероятностей. Этот тип имитации иногда называют методом Монте-Карло.

Предположим теперь, что продолжительность задачи является случайной величи- ной, подчиненной нормальному распределению. Нормальное распределение играет большую роль в имитационных моделях. В Excel есть встроенная функция НОРМОБР, которая позволяет получить значение нормально распределенной случайной величины. Например, чтобы получить значение нормально распределенной случайной величины со средним 1000 и стандартным отклонением 100, надо применить формулу Excel =

НОРМОБР(СЛЧИС(); 1000; 100).

Пример 6.3. «Снеси – Построй»

90