ЭКТ-ДУ-Занятие-1-2014 г

Ответ: уравнение: , =8, =6; фокусы =, =; эксцентриситет =; директрисы : =–, : =, асимптоты: –1 = ± .

☺☺

Парабола: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до заданной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до заданной прямой, называемой директрисой.

В соответствии с определением параболы, отметим на плоскости точку – фокус и прямую : = – директрису:

Используя принятые на рисунке обозначения, в соответствии принятым определением параболы , легко получают каноническое уравнение параболы . Для параболы:– эксцентриситет.

Замечание: рисунок и расположение директрисы и фокуса соответствуют случаю, когда и осью параболы является ось .

••• ≡ •••

Пример 5–285: Построить параболы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Найти параметр для каждой параболы.

Решение:

1). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось , её параметр =, ветви параболы направлены вправо.

2). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =, ветви параболы направлены вверх.

3). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =2, причём график заданной параболы – это график параболы , симметрично отображённый относительно оси , ветви параболы направлены влево.

4). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =, причём график заданной параболы – это график параболы , симметрично отображённый относительно оси , ветви параболы направлены вниз.

Ответ: 1) =; 2) =; 3) =2; 4) =.

Пример 6–288: Установить, что каждое заданное уравнение: 1) ; 2) ; 3) определяет параболу. Найти координаты вершины и параметр для каждой параболы.

Решение:

1). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =, ветви параболы направлены вниз. График заданной параболы – это график параболы , смещённый вверх на 2: имеем .

2). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =3, ветви параболы направлены вниз. График заданной параболы – это график параболы , смещённый вправо на 6 и вниз на 1: имеем .

3). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =, ветви параболы направлены влево. График заданной параболы – это график параболы , смещённый влево на 4 и вверх на 3: имеем .

Ответ: 1) = и ; 2) =3 и ; 3) = и .

☺☺

* * * * * * * * * *

Домашнее задание

Дома

Л-3. Гл. 1

№ 241, 249 а), в), 266, 269 а), в), 286, 288 а), в), д).

6

Пример 1–241: Установить, что каждое заданное уравнение: 1) ; 2) ; 3) определяет окружность. Найти координаты центра и радиус для каждой окружности.

Решение:

1). Перепишем уравнение окружности: . Значит: и =4.

2). Перепишем уравнение окружности: . Значит: и =4.

3). Перепишем уравнение окружности: . Значит: и =2.

Ответ: 1) и =4; 2) и =4; 3) и =2.

☺☺

Пример 2–249: Установить, что каждое из заданных уравнений а): и в): определяют эллипс. Найти его центр , полуоси, и уравнения директрис для каждого из них.

Решение:

1). Перепишем заданное уравнение а): , или – это каноническое уравнение эллипса с центром . Полуоси эллипса: =3, . Вычислим: =–=4. Вычислим эксцентриситет: ==. Вычислим параметр директрисы: ==. Уравнения директрис : =–, : = или : и : .

2). Перепишем заданное уравнение в): , или – это каноническое уравнение эллипса с центром . Полуоси эллипса: =4, : фокусы расположены на оси . Вычислим: =–=4. Вычислим эксцентриситет: ==. Вычислим параметр директрисы: ==8. Уравнения директрис : =–8, : =8 или : и : .

Ответ: а): центр ; полуоси: =3, ; директрисы : , : ;

в): центр ; полуоси: =4, ; директрисы : , : .

☺☺

Пример 3–266: Задано уравнение линии второго порядка: . Показать, что линия есть гипербола, записать её каноническое уравнение. Найти: а) полуоси, б) координаты фокусов, в) эксцентриситет, г) уравнения директрис и асимптот.

Решение:

1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение гиперболы с фокусами, расположенными на оси .

2). Полуоси гиперболы: =4, =3. Вычислим: =+=25. Это значит: = – левый фокус, = – правый фокус. Вычислим эксцентриситет: ==. Вычислим параметр директрисы: ==. Уравнения директрис : =–, : =. Уравнения асимптот выражением: = ± = ± .

Ответ: а) уравнение гиперболы , =4, =3; б) фокусы =, =; в) эксцентриситет =; г) директрисы : =–, : =, асимптоты: = ± .

Пример 4–269 а): Задано уравнение линии второго порядка. Показать, что линия есть гипербола, найти её центр и записать её каноническое уравнение. Найти: полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот.

Решение:

1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение гиперболы с фокусами, расположенными на прямой линии =3, с центром в точке (2,–3).

2). Воспользуемся параллельным переносом системы координат: , . Тогда уравнение принимает канонический вид, для которого все величины можно записать, используя простейшие формулы. Полуоси гиперболы: =3, =4. Вычислим: =+=25. Это значит: = – левый фокус, = – правый фокус. Вычислим эксцентриситет: ==. Вычислим параметр директрисы: ==. Уравнения директрис : =–, : =. Уравнения асимптот выражением: = ± = ± .

3). Учитывая , , запишем уравнения для старой системы координат: для директрис : =, : = и для асимптот +3 = ± . Фокусы: =, =.

Ответ: уравнение: , =3, =4; фокусы =, =; эксцентриситет =; директрисы : =, : =, асимптоты: +3 = ± .

Пример 4–269 в): Задано уравнение линии второго порядка. Показать, что линия есть гипербола, найти её центр и записать её каноническое уравнение. Найти: полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот.

Решение:

1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение гиперболы с фокусами, расположенными на прямой линии =2, с центром в точке (2,–1).

2). Воспользуемся параллельным переносом системы координат: , . Тогда уравнение принимает канонический вид, для которого все величины можно записать, используя простейшие формулы. Полуоси гиперболы: =4, =3. Вычислим: =+=25. Это значит: = – нижний фокус, = – верхний фокус. Вычислим эксцентриситет: ==. Вычислим параметр директрисы: ==. Уравнения директрис : =–, : =. Уравнения асимптот выражением: = ± = ± .