Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

bardushkin

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Лекция № 20

§ 6. Оценки параметров распределения

Пусть неизвестная функция генеральной совокупности зависит от некоторого параметра наблюдениям оценить параметр.

Для построения оценок используются статистики – функции от выборочных значений.

Примеры статистик.

~	1	n
		xi x	2
D X				.
	n
		i 1

Эта оценка

. Нужно по

~	~
n n x1,..., xn .
Будет рассматриваться, как приближенное значение параметра .
Замечание.
Как правило, для оценки параметра			можно использовать несколько статистик, получая при этом раз-
личные значения параметра .
	~	к истинному значению ? Как определить качество оценки?
Как измерить «близость» оценки

Комментарий:

Качество оценки определяется не по одной конкретной выборке, а по всему мыслимому набору конкретных выборок, т.е. по случайному выборочному вектору X1,..., X n , поэтому для установления качества

следует во всех этих формулах заменить конкретные выборочные

полученных оценок моментов S ,

значения

на СВ Xi.

x X

X i

i 1

D X

X i X .

i 1

Качество оценки устанавливают, проверяя, выполняются ли следующие три свойства (требования).

Требования, предъявляемые к точечным оценкам:

1. Несмещенность, т.е. ~n .

Это свойство желательно, но не обязательно. Часто полученная оценка бывает существенной, но ее можно поправить так, что она станет несмещенной.

Иногда оценка бывает смещенной, но асимптотически несмещенной, т.е.	~
	lim M n
	n
~
2. Состоятельность, т.е. lim P n 1 .
n

Это свойство является обязательным. Несостоятельные оценки не используются.

3. Эффективность.

а) Если оценки

(1)

(2)

(1)

(2)

– несмещенные, то D n

и D n

(1)

(2)

более эффективна, чем

(1)

Если D n

D n

, то оценка n

n .

б) Если оценки

(1)

(2)

– смещенные, тогда

(1)

(2)

и n

(1)

(2)

(1)

Если n

, то оценка n

более эффективная, чем n .

Где n

M n

D n

– средний квадрат отклонения оценки.

Рассмотрим использование этих свойств на примерах выбора оценок МО и дисперсии:

1. Выборочное среднее

X i

является

несмещенной

состоятельной

оценкой МО генеральной совокупности

i 1

X1,..., X n , причем каждое Xi совпадает с m и 2.

а) Несмещенность.

M X i m

По определению выборочного вектора

D X i

, причем Xi – независимые в совокупности СВ, тогда вычислим

M X M

M X

n m m

;

M X m

D X D 1

D X

б) Состоятельность

Воспользуемся неравенством Чебышева:

X mX

Применим это неравенство к X

P X m		1	D
P X m	X	1
	X

X 2

		2
P X m	1	2
P X m	1	n	2
		n	2

При n

lim P X m 1	, что и доказывает состоятельность X .
n

2. Выборочная дисперсия

Докажем, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой для дисперсии генеральной совокупности.

X i

i 1

Выполним следующие преобразования

X i m X m

i 1

X i

2 X i m X m X m

m 2

2 X m

m n X m 2

m 2

2 X m X m n n X m 2

m 2

2n X m 2 n X m 2

1			X	i	m 2	n X m 2
n				i
n
			2
X m ;
~	1	X i m					2	2
DX	n	X i m						X m
	n

Найдем МО для дисперсии:

1 X i m 2 n

M DX				1	M X i m				M		X m
	~			1				2						2
				n
	1	D Xi D X					1	n					2				2
													2				2
										2					2	.
										2					2
	n						n					n				n
	~				2	2
M D			X		2	.
			X			n
						n

МО не совпадает с 2, а отличается на 2 – смещение. n

Таким образом эта оценка занимает в среднем истинное значение дисперсии на величину n , правда это смещение сходит на нет при n .

Чтобы устранить это смещение надо «исправить» дисперсию.

M D

n 1

S 2

n 1

X i

2 .

S 2

n 1

Можно доказать, что статистика S2 является и состоятельной оценкой для дисперсии генеральной совокупности.

Замечание.

К сожалению, на практике при оценке параметров не всегда оказывается возможным одновременное выполнение требований: несмещенности, эффективности и состоятельности.

§ 7. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительная вероятность

В ряде задач требуется не только найти для параметра		~	, но и указать к каким
В ряде задач требуется не только найти для параметра		подходящую оценку	, но и указать к каким
	~
ошибкам может привести замена параметра	его оценкой	, т.е. требуется оценить точность и надежность
ошибкам может привести замена параметра	его оценкой	, т.е. требуется оценить точность и надежность
оценки.

~
Для определения точности оценки в статистике пользуются доверительными интервалами.
~	в статистике пользуются доверительной вероятностью.
Для определения надежности оценки	в статистике пользуются доверительной вероятностью.
О п р е д е л е н и е .
Доверительным интервалом для параметра		называется интервал 1; 2 , содержащий истинное
Доверительным интервалом для параметра		называется интервал 1; 2 , содержащий истинное
значение параметра с заданной вероятностью	p 1 .

P 1 2 1 .

О п р е д е л е н и е .

Число p 1 называется доверительной вероятностью, а значение – уровнем значимости.

Замечание.

Нижняя 1 и верхняя 2 граница доверительного интервала определяется по результатам наблюдений и следовательно является СВ. Поэтому так и говорят, что доверительный интервал «накрывает» оцениваемый параметр с вероятностью 1 .

Выбор доверительной вероятности каждый раз определяется конкретной постановкой задачи. Обычно

р = 0,9; р = 0,95; р = 0,99.

Часто применяют односторонние доверительные интервалы P 2 1 (левосторонний), P 1 1 (правосторонний).

Лекция № 21

						~
	В простейших случаях метод построения доверительных интервалов состоит в следующем –оценка
~	~	X1, X 2 ,..., X n . Предположим, что существует непрерывная и монотонная функция Y, зависящая от
,
~		но такая, что ее распределение не зависит от				и других параметров. Для нахождения границ дове-
и ,		но такая, что ее распределение не зависит от				и других параметров. Для нахождения границ дове-
рительного интервала 1, 2 по заданной доверительной вероятности p 1 . В этом случае можно ис-
пользовать неравенство y1 Y y2 , где числа y1 и y2						, определяются из условия
	P y		Y y	2	1
		1		2

Рассмотрим нахождение доверительного интервала для среднего и дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

1) Доверительный интервал для оценки МО при известной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

Пусть X1, X 2 ,..., X n – выборочный вектор n–наблюдений СВ Х, где X ~ N m, . В качестве оценки

для m возьмем	X . Предположим, что		2	известна. Рассмотрим статистику

Y ~ N 0;1 .
По таблице нормального распределения найдем квантили	u / 2	и u	.
		1	2
			2

X m

. Статистика


P
P	u

	u
	1
		2


	1
	1

u	X m	u	.

2		1	2

	n

X m

m X

u .

ной

X ~

Учитывая, что u	u		получаем
2	1	2
2		2

X		u		m X		u	.
	n				n
		1	2			1	2

2) Доверительный интервал для оценки МО при неизвестной дисперсии нормально распределен-
генеральной совокупности. Пусть	X1, X 2 ,..., X n	– выборочный вектор n–наблюдений СВ

N m, . В качестве оценки для m возьмем

X . Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна,

то по выборке определяем статистику

		1	n
S	2	1	X i
	2
		n 1
		n 1	i 1
			i 1

X 2

. Доверительный интервал для m в этом слу-

чае находится с помощью статистики Y X m .

В литературе по статистике показано, что Y имеет распределение Стьюдента с n–1 степенью свободы

Y ~ t n 1 .

По заданной доверительной вероятности 1 , используя таблицы распределения Стьюдента с n–1 сте-

пенью свободы, находим t	и t	.
2	1	2
2		2


P			Y
P	t		Y

		2
		2

t		X m
t		S

	2
	2
		n

t		t
		1
	2		2



t	1
	1	2
		2

	t
	1
		2

ной

X ~

Y ~

X	S	t		n 1 m X	S	t		n 1 .
	n				n
		1	2			1	2

3) Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном МО нормально распределен-

генеральной

совокупности. Пусть

X1, X 2

,..., X n

– выборочный

вектор n–наблюдений СВ

N m, . В этом случае в качестве оценки дисперсии

используют S

n 1 S

литературе

по математической статистике

доказано,

что Y

имеет распределение

n 1 .

По таблице распределения

	2	n 1
	2

определяются квантили

n 1

		2
		1

			2
			2

		2
		2
P
		2
		2
	2	n
		n

	2

2 n

2n 1

n 1

2 n


n 1 Y										n						1
n 1 Y							2			n			1			1
						1
						1			2
									2
1		n 1 S						2			2			n 1
		n 1 S

				2							1


												2
												2
1						2				n 1
1						1				n 1
		1
									2
															.

	2		2		n 1 S							2
S	2		2									2
S
S	2		2		n 1 S 2										.
	1				2					n 1					.
	1				2					n 1
					1
								2

§ 8. Проверка статистических гипотез

Часто результаты наблюдений используются для проверки гипотез относительно тех или иных свойств распределения генеральной совокупности.

Пусть Х – наблюдаемая СВ. Она может быть дискретной, а может и непрерывной.

О п р е д е л е н и е .

Статистической гипотезой Н называется предположение относительно параметров или вида распределения СВ Х. Гипотеза Н называется простой, если она однозначно определяет распределение СВ Х, иначе Н называется сложной.

Если распределение СВ Х известно и по выборке наблюдений необходимо проверить предположение о значении параметров этого распределения, то такие гипотезы называются параметрическими. А гипотезы о виде распределения – непараметрические.

Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается Н0. Обязательно на ряду с Н0 рассматривают одну из альтернативных гипотез Н1. При этом имеются различные ситуации для Н1.

H1(1) : 0

H1(2) : 0

H1(3) : 0

H	(4)	:		,	где
	1		1			1

Выбор альтернативной гипотезы Н1 определяется конкретной формулировкой задачи.

О п р е д е л е н и е .

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Н0, называется критерием К. Так как решение принимается на основе выборки наблюдений СВ Х, то необходимо выбрать подходящую статистику, которую мы будем называть статистикой Z критерия К.

Замечание.

При проверке простой параметрической гипотезы Н0: 0 в качестве статистики критерия выбирают

~ ту же статистику, что и для оценки параметра , т.е. .

Основной принцип при проверке статистической гипотезы:

Маловероятные события считаются невозможными, а события, имеющие большую вероятность, считаются достоверными. Реализация этого принципа на практике. Перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность , называемая уровнем значимости.

Пусть V множества значений статистики Z, VK – подмножество множества значений статистики Z (VK V). Это такое подмножество, что при условии истинности гипотезы Н0, имеем вероятность того, что

P Z VK H0 .

Обозначим через zb – выборочное значение статистики Z, которое вычитается по конкретной выборке. Критерии К формулируется следующим образом.

Отклонить гипотезу Н0, если zb VK . принять гипотезу Н0, если zb V \ VK .

Уровень значимости определяет размер критической области, а ее положение зависит от альтернативной гипотезы Н1.

f Z H		0
		0			:
			H	0	:				0
				0					0
			H	(1)		:
			H	1		:				0
				1						0
			P z V				K
							K
			z
				1
V \ V	K					V		K
	K							K

–квантиль распределения Z при условии, что верна гипотеза Н0.

		H	0	:		0
			0			0
f Z H		H	(2)		:
	0	H	1		:		0
			1				0

V	K	V \ V	K

–квантиль распределения Z при условии, что верна гипотеза Н0.

					H	0	:			0
						0				0
	f Z H				H	(3)		:
			0		H	1		:			0
						1					0

	z						z
							1
		2					1		2
		2							2
V	K			V \ V	K
	K				K

Проверку параметрической гипотезы при помощи критерия значимости можно разбить на следующие этапы:

1)сформулировать Н0 и Н1;

2)назначить ;

3)выбрать статистику Z для проверки Н0;

4)определить выборочное распределение Z при условии, что верна Н0;

5)определить VK (она зависит от Н1);

6)получить выборку и вычислить zb ;

7)принять статистическое решение:

zb VK – отклонить Н0; zb V \ VK – принять Н0.

Лекция № 22

Статистическое решение может быть ошибочным. При этом различают ошибки I-го и II-го родов.

О п р е д е л е н и е .

Ошибкой первого рода называется ошибка, состоящая в том, что гипотеза Н0 отклоняется, когда Н0 – верна.

Вероятность P Z VK H0 .

О п р е д е л е н и е .

Ошибкой второго рода называется ошибка, состоящая в том, что принимается гипотеза Н0, но в действительности верна альтернативная гипотеза Н1.

Вероятность ошибки второго рода при условии, что гипотеза Н1 – простая,

P Z V \ VK

H
1

Проверка статистических гипотез и доверительных интервалов.

Проверка гипотез с использованием критерия значимости может быть проведена на основе доверительных интервалов. При этом одностороннему критерию значимости будет соответствовать односторонний доверительный интервал, а двустороннему критерию значимости будет соответствовать, двусторонний доверительный интервал.

Гипотеза Н0 – принимается, если значение

ется.

накрывается доверительным интервалом, иначе отклоня-

§ 9. Проверка гипотезы о распределении совокупности по закону Пуассона с помощью критерия 2

Задача.

ОТК проверил n = 200 партий одинаковых изделий и получил следующее эмпирическое распределение.

xi	0	1	2	3	4

ni	116	56	22	4	2

xi – количество нестандартных изделий в одной партии.

ni – частота, которая указывает на количество партий, содержащих xi – нестандартных деталей.

Требуется на уровне значимости = 0,05. Проверить гипотезу о том, что число нестандартных изделий – Х, распределено по закону Пуассона.

1.	Найдем x	ni xi	0,6 .
1.	Найдем x	n	0,6 .
		n
2.	В качестве оценки x,			0,6 .

					i
				p		e
				p		e
				i	i!
					i!
3.	i = 0, 1, 2, 3, 4
p0 = 0,5488;		p3 =0,0198
p1 = 0,3293;		p4 = 0,0030
p2 =0,0988;

	0,6
	i
	i!
	i!

e 0,6

4. npi – ? np0 =109,76

np1 =65,86 np2 =19,76 np3 =3,76 np4 =0,60

5. 4 + 2 = 6

3,96 + 0,60 = 4,56


i	ni	npi	ni npi
i	ni	npi	npi
			npi

0	116	109,76	0,3548

1	56	65,86	1,4762

2	22	19,76	0,2539

3	6	4,56	0,4547

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20153 Мб79AMS.pdf
#
05.06.2015486 Кб47anglysky.docx
#
17.12.2018411 Кб6answC1.doc
#
19.07.20191 Мб10Answers by Lumen-pc or Melnik.docx
#
08.12.2018179 Кб6B3.doc
#
05.06.20153 Мб21bardushkin.pdf
#
27.03.2016975 Кб140BARXOTKIN.pdf
#
27.03.2016138 Кб12bdz_1_mp_12_2015-09-11.pdf
#
27.03.2016136 Кб14bdz_1_mp_14_2015-09-11.pdf
#
27.03.2016120 Кб17bdz_2_mp_10_2015-10-29.pdf
#
05.06.2015145 Кб19bdz_3mp_13.pdf