Бесов

поскольку при этом в силу (13) и |τ| → 0.

Всилу критерия интегрируемости существует интеграл

влевой части (2). Установим теперь само неравенство (2). Воспользуемся разбиениями (12), в которых будем считать замкнутыми множества Ei = Ei. Пусть в точке (ui, vi) достигается

iτ

X

6 f[x(ui, vi), y(ui, vi)]|J(ui, vi)|µEi.

i=1

Переходя к пределу в этом неравенстве для сумм Римана при |τ| → 0 (а значит, и |τ | → 0), приходим к неравенству (2).

Оставшаяся часть доказательства теоремы 2 повторяет соответствующую часть доказательства теоремы 1, если использовать свойство полной аддитивности интеграла по множествам в более общей форме. Сформулируем его в виде леммы.

Лемма 1. Пусть G, Gi — измеримые множества n-мерного евклидова пространства, G1 G2 . . . G, µ(G \ Gi) → 0 при i → ∞. Пусть функция f ограничена на G и интегрируема на любом Gi.

Тогда f интегрируема на G и

ZZ

lim f dx = f dx.

i→∞

Gi G

Глава 20 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 20.1. Криволинейные интегралы первого рода

Пусть в трехмерном евклидовом пространстве R3 задана гладкая кривая

= {~r(t), a 6 t 6 b} = {(x(t), y(t), z(t)), a 6 t 6 b}, (1)

т. е. непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек (последнее условие означает, что |r0(t)|2 = x02(t) + y02(t) + + z02(t) > 0 на [a, b]).

Определение 1. Пусть числовая функция F : → R задана на множестве . Тогда

ZZ b

называется криволинейным интегралом первого рода от функ-

ции F по кривой .

С помощью криволинейных интегралов первого рода можно найти массу материальной кривой по её линейной плотности, координаты центра тяжести кривой, моменты инерции.

Установим некоторые свойства криволинейного инте-

= {~ρ(τ), α 6 τ 6 β}.

44 Глава 20. Криволинейные интегралы

Совершив замену переменной в интеграле, получаем

Z β

F (x(t(τ)), y(t(τ)), z(t(τ)))|~ρ0(τ)| dτ =

α

З а м е ч а н и е. Последняя замена переменной обоснована ранее лишь для случая непрерывной функции F (теорема 14.5.1). Для ее обоснования в случае интегрируемой функции F (x(t), y(t), z(t)) достаточно сослаться на следующее обобщение специального случая теоремы 14.5.1.

Теорема 1 (14.5.1). Пусть функции ϕ, ϕ0 непрерывны

aα

следует существование интеграла в другой его части и справедливость равенства (3).

Эта теорема формально содержится в теореме 19.5.2, а непосредственно ее доказательство можно получить в виде упрощенного аналога доказательства теоремы 19.5.2.

Следствие. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой.

В самом деле, если из (1) не только гладкая, а гладкая ориентированная кривая (ее ориентация определяется возрастанием параметра t), то замена параметра t = t(τ) = −τ (−b 6 τ 6 −a) меняет на ней ориентацию на противоположную. В силу свойства 2◦ величина криволинейного интеграла,

вычисленного с помощью параметра τ, та же, что и вычисленного с помощью исходного параметра t.

Заметим, что гладкая кривая является спрямляемой, и в качестве допустимого параметра можно взять переменную длину ее дуги S, отсчитываемую от A. Тогда описывается уравнением

= {~r(s), 0 6 s 6 S} = {(x(s), y(s), z(s)), 0 6 s 6 S},

где S — длина кривой, а интеграл (1) равен

ZZ S

3.◦ R ds = S, где S — длина дуги .

Для обоснования достаточно воспользоваться формулой (4) при F = 1.

= {si}i=0 — разбиение отрезка [0, S], si = si − si−1

— длина дуги кривой от точки rˆ(si−1) до точки rˆ(si), si−1 6 ξi 6 si.

Для доказательства свойства 4◦ заметим, что под знаком предела в правой части стоит интегральная сумма Римана интеграла из правой части (4), так что по определению определенного интеграла этот предел равен интегралу из правой части (4).

З а м е ч а н и е. Часто криволинейный интеграл первого рода определяют формулой (4). В этом случае от кривойтребуется лишь свойство быть спрямляемой.

§ 20.2. Криволинейные интегралы второго рода

Пусть

= {~r(t), a 6 t 6 b} = {(x(t), y(t), z(t)), a 6 t 6 b} (1)

— гладкая ориентированная кривая в трехмерном пространстве, A = rˆ(a) — ее начало, B = rˆ(b) — ее конец. Часто такую

46Глава 20. Криволинейные интегралы

кривую обозначают символом AB. Ее единичный касательный вектор

(направленный в сторону возрастания параметра на кривой) непрерывно зависит от параметра t.

Определение 1. Пусть фиксирована декартова система координат в R3 и векторное поле (т. е. вектор-функция) ~a =

Z

+R(x(t), y(t), z(t))z0(t)] dt = (a,~r0) dt (3)

a

называется криволинейным интегралом второго рода от век-

торного поля ~a = (P, Q, R) по кривой . Интеграл (3) часто

R

обозначают также символом (~a, d~r).

В частности, когда лишь одна компонента векторного поля ~a отлична от нуля, получаем следующие криволинейные интегралы второго рода от функций (соответственно P , Q, R):

ZZ b

a

ZZ b

a

ZZ b

a

Спомощью криволинейных интегралов второго рода можно

вычислить работу силы в силовом поле при движении точки по кривой.

Установим некоторые свойства криволинейного интеграла второго рода.

1.◦ Для существования интеграла (3) достаточно,

чтобы функции P (x(t), y(t), z(t)), Q(x(t), y(t), z(t)),

R(x(t), y(t), z(t)) (как функции переменной t) были интегрируемы на отрезке [a, b].

В частности, если поле ~a = (P, Q, R) непрерывно на , то

R

P dx + Q dy + R dz существует.

2.◦ (Выражение криволинейного интеграла второго рода через криволинейный интеграл первого рода).

Z Z

P dx + Q dy + R dz = [P cos α + Q cos β + R cos γ] ds. (7)

Для обоснования достаточно в (3) заменить x0(t), y0(t), z0(t) на равные им величины:

где штрих означает взятие производной по t, и сравнить полученный интеграл с криволинейным интегралом (20.1.2).

3.◦ Криволинейный интеграл второго рода не зависит от параметризации гладкой кривой с фиксированной ориентацией.

Доказательство такое же, как для криволинейного интеграла первого рода. Следует лишь учесть дополнительное требование t0(τ) > 0 на допустимую замену параметра t = t(τ), означающее сохранение ориентации кривой (1) при переходе к ее параметрическому заданию с помощью параметра τ.

4.◦ Криволинейный интеграл второго рода меняет знак на противоположный при изменении ориентации кривой на противоположную.

Для обоснования воспользуемся равенством (7). Напомним, что интеграл первого рода не меняется при изменении ориентации кривой. В то же время в (7) множители cos α, cos β, cos γ, а значит, и все подынтегральное выражение меняют знак на противоположный.

48 Глава 20. Криволинейные интегралы

Следовательно, и интеграл в правой части (7) меняет знак

6.◦ Криволинейные интегралы как первого, так и второго рода обладают свойством аддитивности относи-

тельно кривой интегрирования.

если интеграл слева или оба интеграла справа существуют. Это свойство следует из выражения (3) криволинейного ин-

теграла второго рода через определенный интеграл и аддитивности определенного интеграла относительно отрезков интегрирования.

Обобщим понятие криволинейных интегралов первого и второго рода на интегрирование по кусочно гладким кривым.

Определение 2. Пусть = {~r(t), a 6 t 6 b} — кусочно гладкая (ориентированная) кривая, a = a0 < a1 < . . . < ak =

i=1 i

i=1 i

если каждый из интегралов в правой части равенства существует.

Пусть ориентированная кривая = {~r(t): a 6 t 6 b} R3, τ = {ti}iiτ=0 — разбиение отрезка [a, b], |τ| = max(ti − ti−1) —

мелкость разбиения. Пусть Λτ — ломаная с вершинами в точках rˆ(ti), последовательно соединенных ее звеньями. Такая ломаная называется вписанной в кривую . Ломаную Λτ также будем считать ориентированной (при движении точки по ней ее вершины проходятся в порядке возрастания чисел i, rˆ(a) — начало ломаной, rˆ(b) — ее конец).

Лемма 1 (об аппроксимации криволинейного инте-

грала). Пусть = {~r(t): a 6 t 6 b} — гладкая ориентирован-

ная кривая в R3, τ = {ti}iiτ=0 — разбиение отрезка [a, b], Λτ — вписанная в ломаная.

Пусть E — компакт в R3 (т. е. ограниченное замкнутое множество), содержащий и Λτ при всех достаточно малых

|τ|.

Пусть на E заданы непрерывные функции P , Q, R. Тогда

через Ai−1Ai обозначим звено вписанной ломаной с началом в Ai−1 и концом в Ai. Пусть ε > 0. В силу равномерной непрерывности ~r = ~r(t) на [a, b] существует δ = δ(ε) > 0 такое, что

Будем считать, что |τ| < δ, где δ = δ(ε) выбрано по ε = ε(η), так что выполняются оценки (8), (9). Оценим разность инте-

50 Глава 20. Криволинейные интегралы

Последний интеграл равен нулю в силу свойства 5◦ криволинейных интегралов второго рода.

В силу (9)

|i| < η2(s(ti) − s(ti−1)),

где s(t) — переменная длина дуги , отсчитываемая от ее начала. Следовательно,

где S — длина дуги .

В силу произвольности η > 0 приходим к утверждению леммы.

§ 20.3. Формула Грина

При изучении криволинейных интегралов рассматривались интегралы по кривой, лежащей в трехмерном пространстве R3. В частности, кривая может лежать в плоскости (такая кривая называется плоской кривой). В этом случае удобно считать эту плоскость координатной, имеющей уравнение z = 0. Тогда кривая имеет в этой плоскости уравнение

= {(x = x(t), y = y(t)), a 6 t 6 b},

акриволинейный интеграл первого рода записывается в виде

R

F (x, y) ds.