fiz

Рассмотрим, при каких условиях вес равен силе тяжести, а когда отличается от нее. Обратимся к рис. 27-1. На цилиндр, стоящий на столе, действует сила тяжести mg , а на поверхность стола под

цилиндром – вес тела P . Кроме силы тяжести, на цилиндр действует сила реакции опоры со стороны стола. Поскольку тело покоится, сила тяжести уравновешена силой реакции опоры, т. е. эти силы равны по модулю и антинаправлены. Но согласно третьему закону Ньютона сила, с которой тело действует на стол, т. е. вес тела, равна по модулю силе, с которой стол действует на цилиндр, т. е. силе реакции опоры. Значит, в случае покоя тела его вес равен силе тяжести.

Теперь рассмотрим тело, покоящееся в подвешенном состоянии на пружине (рис. 27-2). Согласно первому закону Ньютона сила тяжести mg , действующая на тело со стороны

Рис. 27-2 Земли, по модулю равна силе натяжения FN , действующей на тело со стороны пружины.

По третьему закону Ньютона на пружину действует со стороны тела сила, равная по

модулю силе натяжения, но направленная противоположно ей, т. е. вес тела P . Таким образом, mg FN и FN P , поэтому

mg P

Вес тела равен силе тяжести, когда тело покоится или движется равномерно и прямолинейно

По этой формуле можно определить вес тела, опускающегося с ускорением или поднимающегося с замедлением.

Если тело будет свободно падать, т. е. двигаться вниз с ускорением a g , то согласно (27.1)

P m g g 0 .

Следовательно, вес свободно падающего тела равен нулю. Такое состояние называется невесомостью.

Невесомость – это состояние, при котором тело не давит на опору и не растягивает подвес.

Состояние невесомости наблюдается у тел, находящихся на искусственных спутниках Земли. Эти тела движутся под действием силы притяжения к Земле по своим орбитам с постоянной по модулю линейной скоростью, касательной к орбите, и одновременно свободно падают с ускорением свободного падения на Землю. При этом они ничего не весят, так как, падая все вместе с одинаковым ускорением, не оказывают давления друг на друга.

Тело будет находиться в состоянии невесомости, если:

1)извне на него действуют только силы тяготения, а все остальные отсутствуют или уравновешены;

2)тело движется поступательно.

Условия невесомости существенно отличаются от условий, в которых находится тело на Земле, поэтому проблема невесомости является одной из важнейших в космонавтике. При длительных полетах человека в условиях невесомости предполагается создавать искусственную тяжесть, например, вращением спутника или его частей относительно некоторой оси.

Будем поднимать тело на пружине с ускорением вверх (рис. 27-4). При этом пружина слегка растянется, значит, ее натяжение увеличится и сила натяжения, равная весу тела, теперь будет больше силы тяжести, значит, и вес будет больше силы тяжести.

Вес тела, поднимающегося с ускорением или опускающегося с замедлением, увеличивается и становится больше силы тяжести и его веса в состоянии покоя. Такое состояние называют

перегрузкой.

Теперь по второму закону Ньютона

ma FN mg ,

где по-прежнему FN P , поэтому

ma P mg ,

откуда

P m g a

По этой формуле можно определить вес тела, поднимающегося с ускорением или опускающегося с замедлением.

Перегрузкой n называют также величину, показывающую, во сколько раз вес тела P , поднимающегося с ускорением или опускающегося с замедлением, больше веса этого же тела в состоянии покоя P0 .

Максимальная перегрузка, которую может выдержать тренированный космонавт, равна 8–10, а летчик при катапультировании иногда испытывает перегрузку до 16. Пассажиры самолета при взлете испытывают перегрузку, равную 1,5. Это значит, что при взлете их вес увеличивается в полтора раза.

28. КОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ

Космической скоростью называют скорость ракеты или спутника, необходимую для вывода их в космическое пространство.

Различают три космические скорости: первую, вторую и третью.

Первой космической скоростью называется скорость спутника, движущегося по круговой орбите вокруг Земли с центром орбиты, совпадающим с центром Земли.

На спутник, движущийся с первой космической скоростью, действует только сила тяготения, равная силе тяжести на орбите. По второму закону Ньютона

maц mg .

Здесь m – масса спутника, aц – его центростремительное ускорение, g – ускорение свободного

падения спутника на орбите. Если радиус орбиты принять примерно равным радиусу Земли, то ускорение g можно считать равным ускорению свободного падения на Земле.

Согласно формуле, устанавливающей связь центростремительного ускорения с линейной скоростью спутника,

Первая космическая скорость равна 7,9 км/с.

Обладая такой скоростью, спутник будет двигаться сколь угодно долго по орбите, не падая на Землю при условии отсутствия помех его движению. В противном случае он пойдет по спирали с убывающим радиусом, войдет в атмосферу и сгорит.

На расстоянии H от поверхности Земли первая космическая скорость определяется равенством

где G – гравитационная постоянная, M – масса Земли, R – ее радиус.

Первая космическая скорость была впервые достигнута в нашей стране. Это случилось 4 октября 1957 г. В этот день впервые в истории человечества был выведен на орбиту искусственный спутник Земли.

При сообщении спутнику скорости большей, чем первая космическая, его орбита удлиняется, переходя в эллипс, в одном из фокусов которого находится Земля. При некоторой скорости он покинет земную орбиту и станет спутником Солнца.

Минимальная скорость, необходимая для того, чтобы спутник вышел из сферы земного притяжения и стал спутником Солнца, называется второй космической скоростью.

Вторая космическая скорость определяется формулой

2 2gR 1 2 1, 4 1

2 1, 4 7,9 103 мс 11, 2 103 мс 11, 2 кмс .

Вторая космическая скорость равна 11,2 км/с.

Если не учитывать суточного вращения Земли вокруг своей оси, то величина второй космической скорости не будет зависеть от направления запуска космического корабля, от этого будет зависеть лишь форма траектории его полета. Если же учитывать и направление вращения Земли, то корабль лучше запускать с запада на восток, тогда к скорости корабля добавится линейная скорость точек поверхности Земли.

Впервые вторая космическая скорость была достигнута тоже в нашей стране. Это случилось 2 января

1959 г.

Вывод формулы второй космической скорости будет сделан после того, как будет рассмотрен закон сохранения механической энергии.

Приобретя вторую космическую скорость, спутник будет двигаться по параболе, удаляясь от Земли. Если скорость продолжать увеличивать, то парабола может перейти в гиперболу. При этом космический корабль покинет солнечную орбиту и удалится в просторы Галактики.

Минимальная скорость, необходимая для того, чтобы космический корабль преодолел притяжение Солнца и удалился в просторы Галактики, называется третьей космической скоростью.

Величина третьей космической скорости зависит от направления запуска космического корабля. При запуске

В направлении орбитального движения Земли вокруг Солнца она равна 17 км/с. Если же запускать корабль в сторону, противоположную движению Земли вокруг Солнца, то третья космическая скорость возрастает до 73 км/с.

29. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

Неинерциальной называется система отсчета, которая движется с ускорением относительно инерциальной Системы отсчета.

Ранее мы привели пример нарушения первого закона Ньютона, когда мяч на полке вагона, движущегося с ускорением, изменяет свою скорость, несмотря на то, что приложенные к нему силы остаются уравновешенными. При этом вагон является неинерциальной системой отсчета.

В неинерциальных системах отсчета не выполняется не только первый, но и второй и третий законы Ньютона.

Чтобы записать уравнение движения тела в неинерциальной системе отсчета, приходится вводить силу инерции, появление которой не вызвано действием на тело ; Какого-либо другого тела.

На мяч в ускоренно движущемся вагоне действует сила инерции FИ , равная произведению массы мяча m и ускорения вагона aП , взятому со знаком минус: FИ maП , где aП – переносное ускорение

вагона, т. е. его ускорение относительно инерциальной системы отсчета – Земли.

Таким образом, сила инерции, действующая на тело в неинерциальной системе отсчета, равна произведению массы тела и ускорения неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной, взятому со знаком «минус»:

Знак «минус» показывает, что в случаях ускоренного движения неинерциальной системы отсчета сила инерции действует на тело антинаправлено ускорению самой системы, а в случае замедленного движения неинерциальной системы отсчета сила инерции действует на тело сонаправленно с убывающим ускорением системы.

Пусть неинерциальная система отсчета движется с переносным ускорением aП , а тело в ней движется с относительным ускорением aотн , т. е. aотн – это ускорение тела относительно

неинерциальной системы отсчета, например, мяча относительно вагона или полки. Тогда согласно правилу сложения ускорений, абсолютное ускорение тела aабс , т. е. его ускорение относительно

инерциальной системы отсчета (мяча относительно земли), равно векторной сумме переносного и относительного ускорений:

поэтому согласно (29.1) FИ m aотн aабс . Таким образом формулы силы инерции:

инерциальной системы отсчета, поэтому на него действует сила инерции, антинаправленная центростремительному ускорению и равна произведению массы тела и центростремительного ускорения, взятому со знаком «минус»:

FИ maц .

Здесь знак «минус» показывает, что сила инерции, действующая на тело во вращающейся системе отсчета, направлена по радиусу от центра, ведь центростремительное ускорение aц направлено всегда по радиусу к центру

окружности, по которой движется тело. Поэтому сила инерции во вращающейся системе отсчета называется центробежной силой. Центробежная сила действует на всякое тело во вращающейся системе отсчета, стремясь удалить его от центра вращения. Это хорошо видно на примере шарика, подвешенного на

нити, прикрепленной к вертикальной стойке на вращающемся диске (рис. 29-1). Под действием центробежной силы нить с шариком отклоняется от центра диска. Угол такого отклонения тем больше, чем с большей угловой скоростью вращается диск.

Действие центробежных сил используется в специальных устройствах – центрифугах – для разделения частиц с разными массами. Они приводятся во вращение в барабане центрифуги все с одинаковой угловой скоростью . А поскольку массы частиц m (молекул, изотопов и т. п.) различны, то

отбрасываются на разные расстояния.

Центробежные силы действуют на все тела на Земле, ведь Земля вращается вокруг своей оси с угловой скоростью

т. е. является неинерциальной системой отсчета. Из-за действия на тела, находящиеся на поверхности Земли, центробежных сил, они слабее давят на земную поверхность на экваторе или на любой другой широте, чем на полюсе, поэтому и вес тел на полюсе наибольший по сравнению с другими местами земного шара.

30. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА. РЕАКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ

А. Закон сохранения импульса материальной точки

Напомним, что импульсом материальной точки p называют произведение ее массы m и скорости .

Рассмотрим, при каком условии он сохраняется. Пусть на материальную точку действуют внешние силы. Согласно основному уравнению динамики материальной точки равнодействующая всех этих сил Р равна быстроте изменения импульса материальной точки:

Здесь N – количество сил, действующих на материальную точку , i – номер силы , Fi – величина

p

i-ой силы, t – скорость изменения импульса материальной точки.

Если на материальную точку не будут действовать силы или их действие будет скомпенсировано, равнодействующая сила F будет равна нулю. Но тогда согласно приведенному выше уравнению и

p

скорость изменения импульса t тоже станет равна нулю. Но, если скорость изменения импульса равна

нулю, значит, и изменение импульса p тоже равно нулю, т. е. импульс точки p при этом не изменяется. Таким образом, при

Закон сохранения импульса материальной точки: если на материальную точку не действуют силы или они компенсируют друг друга, то ее импульс сохраняется.

Б. Закон сохранения импульса системы материальных точек

Сложим левые и правые*части этих равенств:

Но по третьему закону Ньютона

Таким образом, сумма всех внутренних сил равна нулю, и значит, они не могут изменить импульс всей системы, а могут изменить лишь импульс отдельных тел, входящих в эту систему.

С учетом сказанного основное уравнение динамики этой системы примет вид:

Основное уравнение динамики системы тел: сумма всех внешних сил, действующих на систему тел, равна скорости изменения суммарного импульса этой системы.

Таким образом, для изменения импульса всей системы тел необходимо действие на эту систему внешних сил.

Система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой.

N

Если система замкнута, т. е. если Fi 0 , то согласно последнему уравнению скорость изменения

i 1

ее суммарного импульса p 0 , значит, и изменение суммарного импульса системы тоже равно нулю,t

т. е. импульс такой системы не изменяется

i 1

Закон сохранения импульса системы тел: общий импульс замкнутой системы тел сохраняется при всех изменениях внутри системы.

Закон сохранения импульса выполняется и применительно к незамкнутым системам тел, когда сумма проекций внешних сил на некоторое направление движения тел равна нулю, т. е., если внешние силы, действующие вдоль этого направления, или отсутствуют, или друг друга компенсируют. В этом случае сумма проекций импульсов всех тел системы на это направление сохраняется. Например, при выстреле из орудия в горизонтальном направлении импульс снаряда сохраняется, несмотря на действие на снаряд силы тяжести, потому что проекция вертикальной силы тяжести на горизонтальное направление полета снаряда равна нулю.

Обозначим массу орудия M , а массу снаряда – m . Пусть скорость снаряда в момент вылета из ствола орудия равна , а скорость отката орудия сразу после выстрела равна 0 . Поскольку суммарный

импульс орудия и снаряда до выстрела был равен нулю, так как они покоились, то по закону сохранения импульса их суммарный импульс и после выстрела должен остаться равным нулю. Импульс орудия согласно нашим обозначениям равен M 0 , а импульс снаряда – m . Тогда по закону сохранения

импульса

0 M 0 m ,

откуда скорость отката орудия равна

0 mM .

Знак «минус» показывает, что скорость орудия направлена противоположно скорости снаряда.

Таким образом, из закона сохранения импульса следует неизбежность отдачи при стрельбе из любого оружия. При отдаче приклад винтовки ударяет в плечо стреляющего, а орудие откатывается назад. Чтобы уменьшить эффект отдачи применяют специальные противооткатные устройства, в которых кинетическая энергия орудия превращается во внутреннюю энергию противооткатного устройства (пружины, воды).

Закон сохранения импульса системы тел выполняется также, когда сумма всех внутренних сил системы неизмеримо больше любых внешних сил, действующих на эту систему. Например, сумма внутренних сил, возникающих в момент взрыва снаряда, несравненно больше действующей на снаряд силы тяжести, поэтому суммарный импульс осколков снаряда в этот момент равен импульсу снаряда до взрыва.

Закон сохранения импульса выполняется только в инерциальных системах отсчета, где действует принцип сохранения скорости при отсутствии внешних воздействий. В неинерциальных системах отсчета закон сохранения импульса не выполняется.

В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства Вселенной, т. е. одинаковость его свойств во всех его точках. Это значит, что перенос замкнутой системы тел из одной точки пространства в другую не изменит механических свойств этой системы и не скажется на состоянии ее движения.

В. Реактивное движение

Реактивным называется движение, возникающее вследствие отделения от тела его части с некоторой скоростью относительно тела.

Реактивное движение основано на законе сохранения импульса системы тел. Примером реактивного движения является движение ракет и космических кораблей.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере ракеты массой m , имеющей запас топлива массой m . Пусть вначале эта ракета двигалась со скоростью относительно земли. При этом ее импульс был равен p1 m m .

Пусть за некоторый промежуток времени топливо полностью выгорело и продукты его сгорания массой, равной массе топлива m , покинули ракету со скоростью u относительно самой ракеты. Тогда

Если на ракету не действуют внешние силы, то, по закону сохранения импульса, импульс ракеты с топливом p1 до его сгорания равен сумме импульсов топлива p2 и ракеты p3 после сгорания, p1 p2 p3

или m m m u m .

Откроем скобки в последнем выражении и выполним приведение подобных членов:

m m m mu m m , m mu .

Разделим полученное выражение на время t , в течение которого продукты сгорания вылетали из сопла ракеты:

Произведение массы тела и ускорения, которое оно приобретает вследствие отделения от него его части с некоторой скоростью относительно тела, называется реактивной силой FP ,

FP ma .

Тогда

FP u m

t

Реактивная сила, действующая на ракету, равна произведению скорости продуктов сгорания топлива относительно ракеты и скорости изменения массы ракеты. Реактивная сила всегда антинаправлена продуктам сгорания топлива. Об этом свидетельствует знак «минус» в последней формуле.

Главная особенность реактивной силы состоит в том, что она возникает без взаимодействия тела с другими телами. Причиной ее возникновения служит взаимодействие тела со своей отделяющейся от него с некоторой скоростью частью. Реактивная сила не зависит от устройства двигателя ракеты, а определяется только скоростью истекающих из нее газов и расходам топлива.

Если, кроме реактивной, на ракету действует еще и некоторая внешняя сила F , то уравнение динамики ее движения примет вид:

ma F FP

или

m F u m

t t

Это последнее уравнение называется уравнением движения тела переменной массы или уравнением Мещерского в честь профессора Петербургского университета И. В. Мещерского, который первым его вывел. Это было в 1897 г.

Решил уравнение Мещерского, т. е. получил в явном виде формулу, позволяющую в любой момент времени полета ракеты определить ее скорость по известным начальным условиям, великий русский ученый, основоположник отечественной космонавтики К. Э. Циолковский в 1903 г. Выведенная им формула получила название формулы Циолковского:

0 u ln m0 m

Здесь – скорость ракеты, когда ее масса стала равна m , 0 – скорость ракеты на старте, u – скорость продуктов сгорания относительно ракеты, ln – символ натурального логарифма, m0 – масса

ракеты на старте, m – масса ракеты в момент, когда ее скорость стала равна .

Из формулы Циолковского следует, что чем больше топлива сгорит, т. е. чем меньше будет оставшаяся масса ту тем большую скорость разовьет ракета. Для увеличения полезной массы ракеты увеличивают скорость истечения газов, подбирая соответствующие виды топлива. Кроме того, используют несколько последовательно работающих, а затем отбрасываемых ступеней, входящих в состав многоступенчатой ракеты, что позволяет наращивать скорость ракеты в полете. Идея многоступенчатой ракеты тоже была высказана Циолковским.

Циолковскому принадлежат идеи жидкостно-реактивных двигателей, реализованные значительно позже, уже в наши дни. Он первым предложил использовать для управления полетом ракеты в космическом пространстве газовые рули, указал на проблему разогрева корпуса ракеты в атмосфере. Труды К. Э. Циолковского получили мировое признание.

31. РАБОТА СИЛЫ В МЕХАНИКЕ. МОЩНОСТЬ

А. Работа в механике

Работа служит мерой действия силы, приложенной к телу со стороны других тел.

Работа в механике считается произведенной, если под действием силы тело совершило перемещение. В скалярной записи формула работы примет вид:

Работа силы равна произведению модуля этой силы на модуль перемещения и на косинус угла между направлениями векторов силы и перемещения.

Из формулы (31.1) следует, что работа зависит не толь ко от приложенной к тему силы и пути, пройденного по ее действием, но и от угла а между направлениями векторов силы и перемещения. Если векторы силы и перемещения сонаправлены, то угол а равен нулю, а cos 0 1 . В этом случае работа, совершенная силой, максимальна и равна:

A FS .

При углах а больше нуля, но меньше 90°, работа положительна.

Если вектор силы перпендикулярен вектору перемещения, то 90 , а cos 1 и, следовательно, работа тоже равна нулю.

Сила, перпендикулярная перемещению тела, работы в направлении перемещения не совершает.

Если угол между векторами силы и перемещения больше 90°, но меньше 180°, то косинус такого угла отрицателен и работа, соответственно, тоже будет отрицательной. Если 180 , то cos 1 и работа тоже будет отрицательной и равной:

.

Сила, направленная противоположно перемещению, совершает отрицательную работу. Примером такой силы может служить сила трения, действующая на тело, движущееся по неподвижной поверхности.

В случае переменной силы выберем столь малый путь S , чтоб на этом пути силу Fi можно было бы

где FSi – проекция силы на направление перемещения.

Работа A на всем пути S в этом случае определится как интегральная сумма всех элементарных

Формула (31.2) определяет работу переменной силы. Определим работу силы графически. Обратимся к графику на рис. 31-2, на котором вдоль оси абсцисс (горизонтальной оси координат) отложен путь S , а вдоль оси ординат (вертикальной оси) – сила F , сонаправлеыная с перемещением.

Если на всем пути S на тело действует постоянная сила F то графиком будет прямая линия mn параллельная оси абсцисс. При этом графически работа, совершенная силой F на пути, равном длине отрезка Op , равна произведению сторон прямоугольника Om и Op , равным, соответственно, F и S .

Значит, в случае постоянной силы работа графически будет равна площади прямоугольника Omnp ,

построенного на осях OF и OS как на сторонах.

В случае переменной силы (рис. 31-3) работа графически определится площадью криволинейной фигуры, ограниченной графиком и осями координат.

Определим графически работу, которую должна совершить деформирующая сила FДЕФ чтобы деформация некоторой упругой пружины стала равна x . По закону Гука сила упругости FУПР , которая при этом возникнет в пружине, равна:

FУПР kx ,

– жесткость пружины.

Поскольку по третьему закону Ньютона FДЕФ FУПР , то FДЕФ kx .

Отложим на оси абсцисс деформацию пружины x , а по оси ординат – деформирующую силу FДЕФ . Графиком на рис. 31-4 будет прямая линия,

Работа при упругой деформации равна половине произведения жесткости деформируемого тела и квадрата его деформации.

При сжатии пружины совершается такая же по модулю и знаку работа, что и при растяжении, поскольку при отрицательной деформирующей силе величина деформации тоже отрицательна:

Работа силы зависит от выбора системы отсчета. В разных системах отсчета перемещение тела различно, поскольку оно является функцией скорости, а скорость -величина относительная. Поэтому при определении работы надо учитывать, в какой системе отсчета она вычисляется.

Если на тело действует несколько сил, то необходимо учитывать, о работе какой силы идет речь в условии данной задачи. Например, если требуется определить работу, совершаемую при поднятии тела, то обычно речь идет о работе силы натяжения каната или троса, прикрепленного к телу, если говорится о работе при движении, например, поезда, автомобиля и т. п., то как правило, речь идет о работе силы тяги. Если же речь идет о работе нескольких сил, то их работа равна алгебраической сумме работ, совершенных каждой силой в отдельности. Если силы приложены к одному и тому же телу, то полная работа всех этих сил равна произведению модуля результирующей силы на модуль перемещения и на косинус угла между векторами силы и перемещения.

Отметим, что работа – это процесс. Ее нельзя накопить, чтобы потом израсходовать, затратить на что либо. Тем не менее термин «затраченная работа» используется в физике при определении коэффициента полезного действия (КПД) механизмов.

Коэффициентом полезного действия механизма называется отношение полезной работы AПОЛ , совершенной этим механизмом, ко всей затраченной им работе AЗАТР , выраженное в процентах:

При этом полезной работой считается работа, которую надо совершить, а затраченной – работа, которую механизм на самом деле совершает. Например, когда тянут тело по наклонной плоскости с помощью веревки, то полезная работа равна произведению силы тяжести, действующей на тело, на