Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Межрегианальная Академия Управления Персоналом

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум з вищої математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.06.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

6.2.Знайдіть координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:

а)	2x + 3y −12 = 0, x = 0, y = 0,	z = 0,z =	y2	;

		2
б)	x = 5, y = 5, z = 0,z2 = xy ;

в) (x2 + y2 + r2 )2 = a3z.

6.3.Неоднорідне тіло обмежене площинами x = 2, y = 0, y =1,z = 0 і ци-

ліндром z2 = 6x. Об’ємна густина речовини в кожній її точці пропорційна її віддалі від площини Oxy . Знайдіть момент інерції цього тіла відносно осі Oz.

6.4.Знайдіть масу куба, ребро якого дорівнює 1, якщо густина його в точці (x, y,z) дорівнює γ (x, y,z) = x + y + z .

6.5.Знайдіть моменти інерції відносно координатних площин однорідних тіл, обмежених такими поверхнями:

а)

x2 = y2 + z2, x = h,(h > 0, x ≥ 0);

б)

= 1, x = 0, y = 0, z = 0;

в)

= 1,

Відповіді: 6.1.

а) π

;

б) 4π ; в)

6.2. а) (

;

);б) (

;

);в) (0;0;

б)

abc3

, I

a3bc

, I

ab3c

;

π ;

г)

;

д) 8;

е)

π ;

є)

)

. 6.5. а) I

= I

πh5

, I

πh5

;

в) I

abc3(15π −16),

225

	2ab3c		2	3
Ixz =		(105π −272),Iyz =		a bc(105π −92).
	1575
			1575

Розрахункові завдання

Задача 9. Знайдіть об’єм тіла обмеженого поверхнями.

1.z =1− 6(x2 + y2), z =12x +1.

2.z = 5 − 3((x −1)2 + y2), z = 6x −1.

3.z = −10(x2 + y2) − 9, z =1= 20x − 9 .

4.z =17((x −1)2 + y2) + 7, z = 41− 34x .

5.z = 2 − 4(x2 + y2), z = 8z + 2 .

6. z = 7 − 5((x +1)2 + y2), z =10x − 3.

7.z = 8(x2 + y2) − 3, z = −16x − 3.

8.z =19((x −1)2 + y2) − 5, z = 33 − 38x.

9.z = 3 + 2(x2 + y2), z = −4y + 3.

10.z =12((x +1)2 + y2) +1, z = 24x + 25.

11.z =10(x2 + y2) + 8, z = 20y + 8.

12.z =13((x +1)2 + y2) − 48, z = 26x + 22.

13.z = 5 − 3(x2 + y2), z = −6y + 5 .

14.z = −15((x −1)2 + y2) − 5, z = 30x − 35.

15.z = −8(x2 + y2) − 3, z = −16x − 3.

16.z =13 − 7((x −1)2 + y2), z =14x −1.

17.z = 5(x2 + y2) − 2, z =10x − 2.

18.z = 25(x2 + (y +1)2) +1, z = 50y + 51.

19.z = 3 − 4(x2 + y2), z = 8y + 3.

20.z = 20(x2 + (y −1)2) − 2, z = 38 − 40y .

21.z = 7(x2 + y2) −1, z = −14y −1.

22.z =15 − 8((x −1)2 + y2), z =16x −1.

23.z = 4 − 3(x2 + y2), z = 4 + 6x .

24.z =1−16(x2 + (y −1)2), z = 32y − 31.

25.z = 3 −12(x2 + y2), z = 3 + 24x .

Задача 10. Знайдіть координати центра мас однорідного тіла, яке обмежене поверхнями.

1. x + y =1,z = x2 + y2, x = 0, y = 0, z = 0 .

2.z2 = xy, x = 5, y = 5, z = 0.

3.x = 0, y = 0, z = 0,2x + 3y −12 = 0, z = 12 y2.

4.y = 3 − x2 − z2, y ≥ 0.

5.x + y = a,x = z2 + y2, x = 0, y = 0, z = 0 .

6.4x = 2z2 + y2, x = 2.

7.z =1− x2 + y2 , z ≥ 0.

8.z = R2 − x2 − y2 , z = 0.

9.	x + y + z = 3, x = 0, y = 0, z = 0,x =1, y =1.
10.	z =1− x2 − y2, z ≥ 0.
11.	x2 + y2 + z2 = 3a2,2az = x2 + y2 (a > 0) .
12.	x + 2y − z =1,					x = 0, y = 0, z = 0 .
13.	x2	+	y2	=	z2	, z = 4.
	9
		4		16
14.	x2	+	y2	+	z2	=1,x = 0, y = 0, z = 0 .
	16
		9		4

15.x2 + z2 = 25,z2 + y2 = 25 (z ≥ 0) .

16.x2 + y2 = 2z, x + y = z .

17.x2 + y2 + z2 = 4,x2 + y2 = 3z .

18.x2 + y2 = z,z = 4 .

19.z = x2 + y2, z = 2x + 2y .

20.z = x2 + y2, x2 + y2 =16, x = 0, y = 0, z = 0.

21.	x2	+		y2	+	z2		=1, z = 0.
	4
		9			16
22.	z = 4x2,				z = 0, y = 0, x + y = 6.
23.	z = 4 − x2 − y2,z = 3, x = 0, y = 0.
24.	z = 2x2 + y2, x + y = 3,x = 0, y = 0,z = 0 .
25.	y2		+	z2	= 2		x	, x = a .
	b2			c2
							a

α ≤ t ≤ β ,

§7. КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ І РОДУ (ПО ДОВЖИНІ ДУГИ)

Основні теоретичні відомості

[1]– гл.ІХ, §1, с.478-481; [2] –глава 10, §3, с.595-599; [3]–глава ХV, §1-4, с.208-224; [4] – глава VII, §8-9, 301-307; [5] – ч.ІІ, глава ІI, §1-2, с.42-50.

Неперервна крива x = x(t),	y = y(t) називається гладкою на відрізку
α ≤ t ≤ β, якщо функції x(t), y(t)	мають на цьому відрізку неперервні похід-

ні x′(t), y′(t) , які одночасно не дорівнюють нулю. Якщо неперервна крива складається із скінченого числа гладких кривих, її називають кусковогладкою.

Нехай у площині Oxy задано гладку чи кусково-гладку криву				AB, на
якій визначено обмежену функцію		f (x, y).
Розіб’ємо криву AB точками		A = A0, Ai ,..., An−1, An = B на n довільних
частин. Довжини цих частин	Ai−1Ai , i =1,2,...,n, позначимо li . На кожній
дузі Ai−1Ai виберемо довільну точку Mi (xi; yi ) і утворимо суму
	n
	∑ f (xi, yi )		li ,	(1)
	i=1
яку називають інтегральною сумою функції			f (x, y) по кривій AB.
Позначимо λ = max	li найбільшу з довжин дуг Ai−1Ai .
i=1,2,...,n

Означення. Якщо при λ → 0 інтегральна сума (1) має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття кривої AB на частини ні від вибору в них точок Mi , то цю границю називають криволінійним інтегралом першого роду (або криволінійним інтегралом по довжині дуги) від функції f (x, y) по кривій AB і позначають

∫ f (x, y) dl .

У такому разі функція f (x, y) називається інтегровною на кривій AB, а сама

крива AB – кривою інтегрування,	A – початковою, B – кінцевою точками
інтегрування.
Теорема (достатня умова	інтегровності	функції). Якщо функція
z = f (x, y) неперервна на кусково-гладкій кривій		L, то вона інтегровна по

цій кривій.

Обчислення криволінійних інтегралів першого роду

Нехай крива L задана параметрично рівняннями:

x = x(t),

y y(t),

причому функції x(t), y(t) неперервні разом із своїми похідними x'(t), y'(t) на відрізку [α,β ], а функція f (x, y) неперервна на кривій L, тоді

∫ f (x, y)dl = ∫ f (x(t), y(t)) (x′(t))2 + (y′(t))2dt .

Lα

Якщо крива L в	декартових координатах задана рівнянням
y = y(x), a ≤ x ≤ b, і функція	y(x) неперервна разом із своєю похідною y'(x)
на відрізку [a;b], то

∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y(x)) 1+ (y′(x))2dx.

Якщо L задається рівнянням x = x(y), (c ≤ y ≤ d) і функції x(y), x'(y) неперервні на відрізку [c;d], то

∫ f (x, y)dl = d∫ f (x(y), y) 1+ (x′(y))2dy.

L			c
Якщо крива	L	задана	в полярній системі координат	рівнянням
ρ = ρ(ϕ), α ≤ϕ ≤ β ,	і	функція	ρ(ϕ) неперервна разом із своєю	похідною

ρ′(ϕ) на відрізку [α;β ], то

∫ f (x, y)dl = ∫ f (ρ(ϕ)cosϕ, ρ(ϕ)sinϕ) (ρ(ϕ))2 + (ρ′(ϕ))2dϕ .

Lα

Якщо функція f (x, y,z) визначена і неперервна на просторовій кривій

L, яку задано рівняннями
x = x(t),
	α ≤ t ≤ β ,
y = y(t),	α ≤ t ≤ β ,

z = z(t),

де функції	x(t), y(t), z(t) та x'(t), y'(t), z'(t) неперервні на відрізку [α,β ], то
існує криволінійний інтеграл ∫ f (x, y,z)dl		і справедливою є формула:
	L
	β
∫ f (x, y,z)dl = ∫ f (x(t), y(t),z(t))		(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z'(t))2dt .
L	α
	Питання для самоконтролю
1. Дайте	означення криволінійного	інтеграла	першого роду	функції
f (x, y) по кривій L.
2. Сформулюйте достатню умову існування			криволінійного	інтеграла

І роду.

3.Сформулюйте правило обчислення криволінійного інтеграла І роду, якщо крива задана параметрично.

4.Сформулюйте правило обчислення криволінійного інтеграла І роду, якщо крива задана явно в декартовій системі координат.

5.Сформулюйте правило обчислення криволінійного інтеграла І роду, якщо крива задана в полярній системі координат.

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Обчисліть криволінійний інтеграл

∫(x2 + y2 + z2 )dl,

де L − дуга гвинтової лінії x = acost, y = a sint, z = bt (0 ≤ t ≤ 2π ).

Розв’язання.

dl = (x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2dt = (− asint)2 + (acost)2 + b2dt =

= a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2dt = a2(sin2 t + cos2 t)+ b2dt = a2 + b2dt . ∫(x2 + y2 + z2 )dl = 2∫π ((acost)2 + (asint)2 + (bt)2 ) a2 + b2dt =

2∫π (a2 cos2 t + a2 sin2 t + b2t2)dt =

2∫π (a2 + b2t2)dt =

a2 + b2

2π

a2 + b2 a

2t + b2

a2 + b2

2πa2 +

8π 3

=2π a2 + b2 (3a2 + 4π 2b2 ). 3

Приклад 2. Обчисліть криволінійний інтеграл

∫

x2 + y2 + 4

де L − відрізок прямої, що з’єднує точки (0;0) і (1;2).

Розв’язання.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки A(x1; y1) та B(x2; y2 )

x − x1

y − y1

. Тоді L має рівняння:

− x

− y

x − 0

y − 0

x =

y = 2x , (0 ≤ x ≤1).

1− 0 2 − 0

dl = 1+ (y′(x))2dx = 1+ 22dx = 5dx.

				1											1								1
	dl			1						5dx					1						dx		1				dx
∫	dl				= ∫					5dx					=		5	∫			dx			=	5	∫	dx	=

								2 + (2x)2 + 4
L x	2 + y2 + 4 0 x							2 + (2x)2 + 4										0 x		2 + 4x2 + 4						0 5x2 + 4
																							1
	1										1
	1				dx						1		dx			= ln			x + x2 +			4
	=	5	∫		dx				=		∫		dx									4	=


	0					2	+	4			0		2	+	4					5
				5 x								x											0
				5 x								x											0
								5							5
								5							5
															45

= ln1+ 1+

− ln

0 +

= ln1+

− ln

= ln

( 5

5 2

= ln

+ 3

Задачі для самостійного розв’язування

Обчисліть криволінійні інтеграли I роду.

7.1.

∫

де

L − відрізок

прямої

y =

− 2,

що з’єднує

точки

x2 + y2

(0;−2) і (4; 0).

7.2.

∫xy dl,

де

L − контур

прямокутника

вершинами

A(0;0), B(4;0), C(4;2), D(0,2).

7.3.

∫

, де L − відрізок прямої

y =

x − 2 , що знаходиться між точ-

− y

ками A(0;−2), B(4;0).

7.4.

∫

dl, де L – перша арка циклоїди x = a(t − sint), y = a(1− cost).

7.5.

∫

z2dl

де

–

перший

виток

гвинтової

лінії

2 + y2

x = acost,

y = asint, z = at .

7.6.

∫

+ y

, де

L − перший виток конічної гвинтової лінії

2z −

x = tcost, y = tsint,

z = t.

7.7.

∫

x2 + y2dl, де L – коло x2 + y2 = ax .

7.8.

∫ ydl,

де

–

дуга

параболи

y2 = 2px, відсічена

параболою

x2= 2py.

7.9.

∫

ydl

де

L – дуга параболи

y2 =

x3 від точки (3;2

) до точки

7.10.

∫

де

– відрізок

прямої

x = 2t,

y = 2t − 2,

+ 2y + 3z

z = −t + 2, (0 ≤ t ≤1).

Відповіді: 7.1. ln 1 (21 +1). 7.2. 24 . 7.3. 5ln2. 7.4. 4π aa . 2

7.5. 8aπ			3		2 . 7.6. 2	2 (1+ 2π 2 )2		−1 . 7.7. 2a2. 7.8.	p	2	(5	5 −1).	7.9. 2152.
						3


3					3				3				45
7.10. ln		5		.
7.10. ln				.
2
							Розрахункові завдання
Задача 11. Обчисліть криволінійні інтеграли I роду.
1. ∫z dl, де L– конічна гвинтова лінія x = t cost, y = tsint,												z = t	(0 ≤ t ≤ t0 ).
	L

∫

, де L − перший виток конічної гвинтової лінії

+ y2

+ z2

y = asint,

z = bt .

x = acos

y = asin

∫

3 + y

dl, де L − дуга астроїди

x= acost,

≤t ≤ π . 2

y =

at2

z =

at3

∫

dl, де L − дуга кривої x = at,

(0 ≤ t ≤ π ).

∫(x2 + y2 − 2)dl,

де L − дуга циклоїди

x = a(t − sint),

y = a(1− cost)

(0 ≤ t ≤ π ).

∫(x2 + y2 )dl, де L − дуга астроїди x = acos3 t,

y = asin3 t

(0 ≤ t ≤ 2π ).

∫x dl, де L − дуга кривої x = et cost,

y = et sint,

z = et (− ∞ < t ≤ 0).

∫(y2 + z2 )dl, де

L − перший виток гвинтової лінії

x = acost, y = asint,

z =

(0 ≤ t ≤ 2).

2π

∫ y2 dl, де L − арка циклоїди x = a(t − sint),

y = a(1− cost) (0 ≤ t ≤ 2π ).

10.

∫(x2 + y2 )dl, де L − крива x = a(cost + sint),

y = a(sint − cost)

(0 ≤ t ≤ 2π ).

11.

∫xy dl, де L − крива x = a

ex + e− x

y = a

ex − e− x

(0 ≤ t ≤ t0 ).

12. ∫(x2 + y2 + z2 )dl, де L − частина гвинтової лінії x = acost, y = asint,

z = bt (0 ≤ t ≤ 2π ).

13.

∫

(x + z) dl, де L − дуга кривої x = t, y =

, z = t3 (0 ≤ t ≤1).

14.

∫

x2 + y2 dl, де L − крива x = a(cost + tsint),

y = a(sint − tcost)

(0 ≤ t ≤ 2π ).

2z −

dl,

15.

∫

x2 + y2

де L −

дуга

кривої

x = tcost,

y = tsint, z = t

(0 ≤ t ≤ 2π ).

16.

∫(x2 + y2 )ndl, де L − коло x = acost,

y = asint .

17.

∫ ye− x dl, де L − частина кривої x = ln(1+ t2),

y = 2arctgt − t + 3 між то-

чками t = 0, t =1.

18.

∫xy zdl,

де L −

дуга

кривої

x = t, y =

8t3 3, z = t2 2

між точками

t = 0, t =1.

19.

∫

x2 + y2 dl, де L − крива x = a(cost + tsint),

y = a(sint − t cost),

(0 ≤ t ≤ 2π ).

20.

∫(x2 + y2 )dl, де L − дуга астероїди x = acos3t,

y = asin3t

(0 ≤ t ≤ 2π ).

21.

∫(x + y) dl, де L − крива x = a(cost + tsint),

y = a(sint − tcost),

(0 ≤ t ≤ 2π ).

∫xy zdl, де L − дуга кривої x =

t2,

y = t − t2

(−1≤ t ≤1).

22.

23.

∫x dl, де L–дуга кривої x = (t2 − 2)sint + 2tcost, y = (2 − t2)cost + 2tsint

від t = 0 до t = π .

24.

∫

dl,

де L −

дуга кривої x = ln(1+ t2 ), y = 2arctgt − t

на відрізку від

L e

t = 0 до t =1.

25.

∫

(x2 + y2 )dl, де

L – дуга кривої x =t2,

y =

(t2 − 3) між точками пере-

тину з віссю Ox.

§8. ЗАСТОСУВАННЯ КРИВОЛІНІЙНИХ ІНТЕГРАЛІВ І РОДУ

Основні теоретичні відомості

Нехай у площині Oxy задано кусково-гладку криву AB і на цій кривій визначено неперервну функцію f (x, y), тоді:

1)Площу P циліндричної поверхні з напрямною AB, висота якої визначена функцією z = f (x, y), знаходять за формулою

P = ∫ f (x, y) dl.

2) Довжину l кривої AB визначають за формулою

l = ∫ dl.

Нехай вздовж неоднорідної матеріальної дуги L розподілено масу з лінійною густиною ρ (x, y), тоді:

3) Маса дуги L обчислюється за формулою m = ∫ρ (x, y) dl.

4) Координати xc , yc центра маси дуги L знаходять за формулою

			∫xρ (x, y)dl		M y		∫ y ρ (x, y) dl		M
x		=	L	=		; y =	l	=		x	,

	c		∫ρ (x, y)dl				∫ρ (x, y)dl
					m	c			m
			L				L

де M x, M y − статичні моменти кривої L відносно осей Ox і Oy

5)Моменти інерції дуги L відносно осей Ox , Oy та початку координат відповідно дорівнюють

Jx = ∫ y2ρ (x, y)dl; J y = ∫x2ρ (x, y)dl;

L L

J0 = ∫(x2 + y2 )ρ (x, y) dl.

Питання для самоконтролю

1.Які геометричні застосування криволінійного інтегралу І роду?

2.Як знайти масу неоднорідної матеріальної дуги?

3.Наведіть формули обчислення статичних моментів та моментів інерції матеріальної дуги.

4.Як знайти положення центру мас неоднорідної матеріальної дуги?

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2019104 Кб6Практика МЭО.doc
#
04.05.20193 Мб4ПРАКТИКА ОД.doc
#
08.06.2015109 Кб21Практика_адвокат_заочка.doc
#
08.06.2015129 Кб6практика.doc
#
08.06.2015239 Кб11практика.doc
#
08.06.20152 Мб29Практикум з вищої математики.pdf
#
08.06.201519 Кб25Практическая 4.docx
#
03.08.2019215 Кб2Практична робота5.doc
#
07.05.2019326 Кб5Практичне занятт1.doc
#
01.07.20251 Мб12Практичний посібник роботодавця с ОП.docx
#
01.07.202524 Кб1Практичні навички переддипломна 2014.docx