Климушев Н.К. Прудникова О.М. ОНИ

41

7. Анализ и обработка результатов эксперимента

7.1. Способы обработки результатов эксперимента

Проблема обработки, анализа и систематизации опытных данных возникла с появлением первых экспериментальных результатов в науке. Только научно обоснованные методы обработки и представления результатов эксперимента позволяют дать объективную оценку и обобщить полученные результаты. Получили распространение графические способы (графики, диаграммы, номограммы), графоаналитические способы, а в настоящее время в связи с развитием прикладной математики и вычислительной техники наиболее широко применяются аналитические способы.

Независимо от способа, обработка результатов эксперимента должна проводиться с учетом их статистической природы, т.е. методами теории вероятностей и математической статистики.

7.2. Ошибки измерения

Измерения являются основной процедурой любого количественного эксперимента. Только на основе тщательно выполненных измерений можно получить точные и достоверные значения характеристик изучаемого явления.

Точность измерения представляет собой степень приближения результата измерения к действительному значению измеряемой величины, достоверность же показывает степень доверия к результатам измерения. Точность и достоверность измерений зависят от особенностей объекта измерения, категории и состояния контрольно-измерительных приборов, испытательных машин и стендов, определяются методикой обработки результатов измерения, квалификацией исследователей и другими факторами.

Различают измерения прямые и косвенные. При прямых измерениях ис-

комую величину определяют непосредственно из опыта, при косвенных ее вычисляют на основании известной зависимости между искомой величиной и величинами, установленными прямыми измерениями.

Различают особоточные (эталонные), высокоточные и технические измерения.

В экспериментальных исследованиях применяются, как правило, два последних класса измерений – высокоточные для наиболее ответственных экспе-

42

риментов, где ошибка не должна превышать заданных значений, и технические, в которых ошибка определяется точностью применяемых средств измерения.

Никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно. Его результат всегда содержит некоторую ошибку измерения.

Ошибки измерения подразделяются на систематические, случайные и промахи (грубые ошибки).

Ошибка является систематической, если ее значения при многократных измерениях одним и тем же методом и с помощью одних и тех же приборов одинаковы. Систематические ошибки необходимо оценивать, а при возможности – исключать. Увеличение числа измерений не ведет к уменьшению систематической ошибки.

Систематические погрешности подразделяются на пять групп:

–инструментальные погрешности, обусловленные неточностью измерительного инструмента;

–погрешности, связанные с неправильной установкой средств измерений;

–погрешности, возникающие в результате действия внешней среды: температуры, влажности воздуха, атмосферного давления, вибрации и колебаний от транспорта, промышленного оборудования и т.д;

–субъективные погрешности, зависящие от экспериментатора (навыки владения инструментом и методикой измерений, зрение, рост, слух, отношение к работе и психическое состояние и т.д.);

–погрешности метода.

Ошибка является случайной, если ее значения различны даже в результате измерений, выполненных одинаковым способом. Причины случайных ошибок не могут быть регламентированы и учтены. Анализ случайных погрешностей основывается на методах теории случайных ошибок.

Промахами являются грубые ошибки по вине экспериментатора. При обработке результатов промахи исключаются.

Суммарная ошибка измерений подсчитывается по формуле:

где ε1 и ε2 – соответственно систематические и случайные ошибки измерений. Независимо от своей природы ошибки бывают абсолютные и относи-

тельные.

Абсолютной ошибкой А(х) называется разность между результатом измерения х и действительным значением а измеряемой величины.

Повышение точности измерений позволяет вскрыть новые, неизвестные ранее, закономерности.

7.3. Вероятностно-статистические методы исследования

Теория вероятностей (ТВ) изучает закономерности массовых событий, имеющих случайный характер. Событием называется исход любого испытания, осуществленного при определенных условиях. ТВ рассматривает числовые характеристики, не связанные с физическим содержанием случайного события (СС). Абстрактная форма методов ТВ позволяет применять их для количественного описания событий самой различной природы.

Математическая статистика разрабатывает методы систематизации, обработки и использования статистических данных.

Случайными называются такие события, появление которых невозможно точно предсказать – они могут произойти или не произойти. Частотой СС А называется отношение числа случаев появления этого события к общему числу независимых событий, реализованных в одних и тех же условиях. Совокупность, содержащая все возможные варианты однородных событий, называется

генеральной совокупностью N.

При неограниченном возрастании числа событий частота стремится к вероятности СС. Вероятность – это мера объективной возможности, количественная оценка реализации СС.

СС разделяются на два типа: дискретные (ДСС), которые могут принимать конечное или бесконечное счетное множество значений, и непрерывные (НСС), которые могут принимать бесконечное множество значений в пределах любого интервала. Примером ДСС является количество груженых автолесовозов, прибывающих на нижний склад в течение смены, а НСС – объем древесины, погруженный на каждый из этих лесовозов.

Для количественной оценки характеристики распределения случайной величины (СВ) служит функция распределения (ФРСВ), или интегральный за-

44

кон распределения F(x) = P(X<x). ФРСВ – самая универсальная характеристика СВ.

Другой количественной характеристикой распределения СВ является плотность распределения р(х), которая существует только для непрерывных СВ (НСВ).

Наиболее часто разброс значений СВ характеризуется нормальным законом распределения.

СВ Х получит исчерпывающую характеристику и будет полностью описана, если установлен закон ее распределения и параметры этого закона, важнейшими среди которых являются математическое ожидание МХ = а и дисперсия DX = σ2. Точность измерений определяется рассеиванием СВ Х относительно матожидания МХ. Она характеризуется дисперсией DX и средним квадратическим отклонением (стандартом) σ.

7.4.Статистическая обработка результатов

Врезультате проведенных измерений экспериментатор получает ограниченное число значений СВ – некоторую выборку из генеральной совокупности. По выборке рассчитываются выборочные статистические характеристики (выборочные распределения, среднее, дисперсия). Эти так называемые статистики являются выборочными оценками генеральной совокупности СВ – закона и параметров ее распределения. Закон распределения определяется функцией распределения F(x) = P(X<x), которая является наиболее универсальной характеристикой СВ Х и плотность ее распределения р(х). Важнейшими параметрами распределения являются генеральная средняя СВ МХ (матожидание) и гене-

ральная дисперсия DX (или σ2).

Генеральная средняя соответствует истинному значению а СВ, а генеральная дисперсия характеризует точность ее измерения.

Закон распределения НСВ определяется в следующей последовательности: получают выборочную совокупность значений СВ и представляют ее графически в виде гистограммы, на которую наносят выборочную кривую распределения. Затем для выборочной кривой подбирают теоретическую кривую распределения. Для оценки истинного значения а и точности измерений σ2 СВ применяют точечные оценки и оценки вида доверительных интервалов.

Точечные оценки должны обладать свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности. Если оценка удовлетворяет этим требованиям, то

45

она дает наилучшее приближение к истинному значению параметров распределения.

~

Оценка Θ(x1, x2 ,...., xn ) называется несмещенной, если ее теоретическое среднее значение (математическое ожидание) совпадает со значением оцени-

~

ваемого параметра Θ, т.е. если M (Θ) =Θ. Несмещенность оценки гарантирует

~

отсутствие в результате измерений систематической ошибки. Оценка Θ называется состоятельной, если при неограниченном увеличении числа измерений она по вероятности стремится к значению Θ. Выбранная несмещенная оценка

~

Θ называется эффективной, если она имеет наименьшее рассеивание среди всех несмещенных оценок значения Θ.

При равноточных измерениях точечной оценкой истинного значения а случайной величины Х является среднее (среднее арифметическое) значение результатов n измерений в выборке:

Для оценки дисперсии измерений используют выборочную дисперсию:

Для нормального распределения оценка x является несмещенной, состоятельной и эффективной, а оценка S2 – несмещенной и состоятельной.

На практике вместо σ2 и S 2 используют σ и S, которые соответственно называются средним квадратическим отклонением (стандартом) и средним вы-

борочным отклонением (выборочным стандартом). Точечные оценки зависят от объема выборки. Если объем выборки достаточно велик (n ≥30…50), то выборочные оценки дают хорошее приближение к генеральным параметрам mx и σ2 .

Выборочные точечные оценки сами являются случайными величинами. Поэтому с помощью этих оценок нельзя судить о том, как точно найденная оценка воспроизводит истинное значение генеральных параметров.

Для того чтобы знать, к каким погрешностям приводят выборочные оценки, применяют так называемые доверительные интервальные оценки. Ин-

тервальное оценивание особенно необходимо при малом числе измерений, когда точечная оценка мало надежна.

46

Задача доверительной интервальной оценки формулируется так: необходимо по данным выборочных измерений выбрать такой числовой интервал, который с заданной доверительной вероятностью (надежностью) p = 1 – q накрывает оцениваемый генеральный параметр Θ.

Сказанное записывается в следующем виде:

всего задается равной 0,95 или 0,99 (соответственно уровни значимости q имеют вероятность 0,05 и 0,01). Например, доверительная оценка истинного значения а при неизвестной точности измерений σ имеет вид

Значения t(p,k) приводятся в специальных таблицах, которые составлены с помощью так называемого t-распределения Стьюдента. При больших выборках распределение Стьюдента не отличается от нормального. При малых выборках они отличаются существенно, в силу чего роль распределения Стьюдента особенно велика в статистике малых выборок.

Для рассматриваемой задачи k = n – 1 – число степеней свободы, показывающее, какое количество элементов выборки можно произвольно изменять, не нарушая связей, наложенных на выборку.

Основным способом получения оценок параметров Θ генеральной совокупности по данным выборочных измерений является метод максимального правдоподобия, предложенный английским статистиком Р. Фишером. Пусть х1, х2…хn представляет собой выборку из n независимых измерений случайной

47

Суть метода максимального правдоподобия заключается в том, что в качестве оценки неизвестного генерального параметра Θ берется такое значение

~ ~

аргумента Θ(x1, x2 ,...., xn ) , которое обращает функцию L в максимум. Оценку Θ называют оценкой максимального правдоподобия. Для ее нахождения необхо-

димо решить уравнение

~

и в качестве оценки Θ выбрать то значение Θ, которое максимизирует функцию L.

Если закон распределения случайной величины зависит от нескольких параметров Θj ( j =1,2,...,k) , то необходимо решить систему уравнений

В случае нормального закона распределения, которое определяется двумя параметрами (математическим ожиданием mx и дисперсией σ2 ), функция максимального правдоподобия имеет вид

Продифференцировав это уравнение, получим, что максимально правдоподобными оценками параметров при нормальном распределении случайной величины Х являются величины:

Отметим, что для оценки параметров применяются также способ наименьших квадратов, метод моментов и пр.

Чтобы по данным выборки можно было с уверенностью судить о параметрах генеральной совокупности, она должна быть представительной (репрезентативной). Выборка является представительной, если она образована случайно. Процедура образования случайной выборки называется рандомизацией. Рандомизированный эксперимент проводится в случайной последовательности, которая может быть установлена с помощью таблиц случайных чисел. Напри-

48

мер, необходимо установить последовательность пяти (1, 2, 3, 4 и 5) опытов, расположив их в порядке убывания случайных чисел. Выбираем любую строку или столбец в таблице случайных чисел; например, числа располагаются так: 94, 44, 08, 67, 79. Тогда последовательность эксперимента должна быть выбра-

на такой: 1 (94), 5 (79), 4 (67), 2 (44) и 3 (08).

Рандомизация эксперимента позволяет исключать систематические ошибки и свести до минимума субъективный фактор при выборе последовательности опытов.

Необходимое число измерений определяется в конечном счете соотношением значений систематической и случайной ошибок. Если в суммарной ошибке систематическая ошибка является определяющей, т.е. ее значение существенно больше значения случайной ошибки, присущей данному методу, то достаточно выполнить измерение один раз. Если же в суммарной ошибке определяющей является случайная ошибка, то ее уменьшать целесообразно только до тех пор, пока суммарная ошибка измерений не будет полностью определяться систематической ошибкой. Для этого доверительный интервал выбрать таким, чтобы он при заданной степени надежности был бы существенно меньше систематической ошибки.

Функциональные и корреляционные зависимости. Зависимость называет-

ся функциональной, если каждому значению переменной величины х соответствует одно или несколько определенных значений у. В первом случае функция называется однозначной, во втором – многозначной.

Наряду с функциональными зависимостями в математической статистике рассматривают так называемые корреляционные зависимости, которые по своей природе относят к стохастическим (вероятностным) связям.

Стохастическая связь – это связь между случайными величинами. Случайные величины находятся в стохастической связи тогда, когда одна из них реагирует на изменение другой изменением своего закона распределения.

Наиболее простой связью является корреляционная связь.

Линия регрессии характеризует форму связи между случайными величинами Х и Y. Она строится на основе выявления регрессионных связей, под которыми понимаются связи между фиксированными значениями одной случайной величины (например хi) и условными средними значениями другой (например

yini ).

При двумерном распределении имеются две линии регрессии, уравнения которых в общем виде запишутся так: