математика 1227

диференціального рівняння другого порядку.

1.1.3 Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДР) із сталими коефіцієнтами

an y(n ) + an -1yn-1 +... + a2 y′′+ a1y′+ a0 y = 0

де ai ,i = 0,1,...,n - дійсна числа.

Для його розв’язку треба скласти характеристичне рівняння an kn + an-1kn -1 +... + a2k2 + a1k + a0 = 0

це алгебраїчне рівняння з невідомими ki ,i =1,2,3,...,n. Розв’язуємо його відносно ki.

Наприклад, для ЛОДР другого порядку із сталими коефіцієнтами

a2k2 + a1k + a0 = 0

можуть бути такі випадки значення коренів:

а) k1 ≠ k2 - дійсні числа.

Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння із сталими коефіцієнтами матиме вигляд

y = C1ek1x + C2ek 2 x

б) k1 = k2 = k - дійсне число.

Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння із сталими коефіцієнтами матиме вигляд

y = C1ekx + C2 xekx

в) k1,2 = α ±βi - комплексні, попарно спряжені, де α - дійсна частина

комплексного числа, β - уявна частина комплексного числа, i = -1 -

уявна одиниця.

Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння із сталими коефіцієнтами матиме вигляд

y = eαx (1 Ccosβx + C2sinβx)

Наприклад: y′′′+ 2y′′- 3y′ = 0 .

12

Складемо характеристичне рівняння k3 + 2k 2 - 3k = 0

k(k 2 + 2k - 3) = 0

k1 = 0 k 2 = -3 k3 =1

розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння із сталими коефіцієнтами.

1.1.4 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДР) із сталими коефіцієнтами

Розглянемо диференціальне рівняння другого порядку a2 y′′+ a1y′+ a0 y = f(x)

a2 ,a1,a0 - дійсні числа, f(x) ≠ 0 – неперервна на інтервалі (a, b) Загальний розв’язок ЛНДР визначається формулою

y = C1y1(x) + C2 y2 (x) + y(x),

де y(x) - частиний розв’язок заданого ЛНДР, C1,C2 - довільні сталі, y1(x), y2 (x) - частинні розв’язки відповідного ЛОДР.

Розглянемо деякі види функції f(x).

1) f(x) = Pn (x)eαx , де Pn (x) - многочлен степеня n, α – будь-яке

дійсне число.

Тоді частинний розв’язок шукаємо у вигляді y(x) = Qn (x)eαx xs ,

де Qn (x) - многочлен того ж самого степеня, що і многочлен Pn (x) ,

але записаний у загальному вигляді, α-відповідає значенню α з функції f(x), S – дорівнює числу збігу α з коренями характеристичного рівняння.

Наприклад, y′′+3y′ = 2e-3x Складемо характеристичне рівняння:

13

k2 +3k = 0 k(k +3) = 0

k1 = 0 k2 = -3

y0дн = C1 + C2e-3x

y = Ae-3x x

Підставимо частинний розв’язок у задане рівняння. Для цього знайдемо:

y′ = -3Ae-3x x + Ae-3x

y″ = 9Ae-3x x - 3Ae-3x - 3Ae-3x = 9Ae-3x x - 6Ae-3x

підставимо y, y′, y″в задане рівняння. Матимемо

9Ae-3x x - 6Ae-3x - 9Ae-3x x +3Ae-3x = 2e-3x

-3Ae-3x = 2e-3x

-3A = 2

A = - 23

Тоді y = − 23 e-3x x

Загальний розв’язок має вигляд: y = C1 + C2e-3x - 23 e-3x x .

2) f(x) = eαx [Pn (x)cosβx + Qn (x)sinβx]

де Pn (x), Qn (x) - многочлени одного степеня, вони можуть бути і

сталими числами, а одне з них навіть нулем, α, β – дійсні числа. Частинний розв’язок в цьому випадку шукаємо у вигляді

y(x) = eαx [Pn (x)cos βx + Qn (x)sin βx]xs

де Pn (x),Qn (x) -многочлени однакового степеня рівного степеню многочленів Pn (x) та Qn (x) , але записані у загальному вигляді, α, β

14

відповідають значенням α і β з функції f(x), S-дорівнює числу збігу α± βі з коренями характеристичного рівняння.

Наприклад, y′′- y = 5sinx Запишемо характеристичне рівняння

k2 -1- 0 k2 =1, k = ±1

y0дн = C1e-x + C2ex

y = Acosx + Bsinx

y′ = −Asinx + Bcosx, y″ = −Acosx - Bsinx

Підставимо значення y, y′, y″у задане рівняння:

- Acosx - Bsinx - Acosx - Bsinx = 5sinx

Тоді частинний розв’язок матиме вигляд y = −52 sinx .

Загальний розв’язок y = C1e-x + C2ex - 52 sinx

3)Якщо функція f(x) є сумою декількох функцій, то частинний розв’язок складається з суми частинних розв’язків для кожної функції.

Наприклад, f(x) = f1(x) + f2 (x) Тоді: y(x) = y1(x) + y2 (x) ,

де y1(x) - частинний розв’язок ЛНДР a2 y′′+ a1y′+ a0 y = f1(x)

y2 (x) - частинний розв’язок ЛНДР a2 y′′+ a1y′+ a0 y = f2 (x)

4)В інших випадках застосовується метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Розглянемо його на прикладі

15

y′′+ y = cosx1 .

Знайдемо розв’язок відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння y′′+ y = 0

Запишемо характеристичне рівняння k2 +1 = 0 k2 = -1, k1,2 = ±1

y0дн = C1cosx + C2sinx

Загальний розв’язок заданого рівняння шукатимемо у вигляді y = C1(x)cosx + C2 (x)sinx ,

де C1(x) та C2 (x) - невідомі функції, залежні від змінної х.

Для їх знаходження складемо систему відносно їх похідних.

Розв’язуючи її відносно C1′(x) та C′2 (x) отримаємо

C1′(x) = -tgx; C′2 (x) =1

C1(x) = -∫tgxdx + C1 = ln cosx + C1

C2 (x) = ∫dx + C2 = x + C2

Загальний розв’язок ЛНДР матиме вигляд

y= (ln cosx + C1 )cosx + (x + C2 )sinx

1.1.5Системи двох диференціальних рівнянь першого порядку

x′ = F1(x, y,t)y′ = F2 (x, y,t)

Запишемо розв’язок цієї системи у вигляді алгоритма: а) продиференціюємо перше рівняння по t;

б) підставимо в нього значення y′з другого рівняння; в) з першого рівняння системи знайдемо значення у;

16

г) підставимо його в рівняння п. б); д) розв’яжемо отримане рівняння відносно х;

є) для знаходження у підставимо знайдене значення х в рівняння п. в).

x′+5x + y = et

Наприклад,

y′- x +3y = e2t

y= et - x′- 5x

x′′+5x′+ x - 3et +3x′+15x +e2t = et x′′+8x′+16x = 4et - e2t

k 2 +8k +16 = 0

(k + 4)2 = 0, k1,2 = -4 xoдд = (C1 +C2 t)e-4t

x = x1 + x 2

x1 = Aet , x1′ = Aet , x1″ = Aet

17

Загальний розв’язок для х: x = (C1 + C2t)e-4t + 254 et - 361 e2t

Знайдемо у. Для цього знайдемо

x′ = C2e-4t - 4(C1 + C2t)e-4t + 254 et - 181 e2t

Тоді:

1.2Теорія рядів.

1.2.1Знакододатні ряди. Ознаки збіжності

1)Необхідна ознака збіжності ряду.

ознака збіжності не виконується).

2) Ознака збіжності-розбіжності, що базується на порівнянні рядів.

Теорема (ознака порівняння). Нехай маємо два ряди з додатними членами:

19

розбігається коли q>1. Якщо q=1, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. В цьому випадку треба застосовувати інші ознаки збіжності.

Наприклад.

Оскільки в загальному члені даного ряду є факторіал, для дослідження ряду можна застосувати ознаку Даламбера:

n!

Отже, за ознакою Даламбера ряд збігається.

збіжності ряду відкрите. Наприклад.

20

В загальному члені є степінь n , отже можна застосувати ознаку Коші:

∞

невластивий інтеграл ∫ f (x)dx і розбігається, якщо цей невластивий

1

інтеграл розбігається. Наприклад.

Ознаку Коші застосувати не можлива. За ознакою Даламбера

монотонно спадає на ньому. Обчислимо невластивий інтеграл: