Электротехника №1306
.pdf
11
Геометричні операції з векторами можна замінити алгебраїчними операціями з комплексними числами, що істотно підвищує точність одержуваних результатів.
Рисунок 1.7-Вектор на комплексній площині
Кожному вектору на комплексній площині відповідає визначене комплексне число, що може бути записане в :
показовій |
|
тригонометричній |
, чи |
алгебраїчній |
- формах. |
Наприклад, ЕРС |
, зображеної на рис.1. 7 |
обертовим вектором, відповідає комплексне число
.
Фазовий кут 
визначається по проекціях вектора на осі “+1” і “+j” системи координат, як
.
Відповідно до тригонометричної форми запису мнима складова комплексного числа визначає миттєве значення синусоїдно змінної ЕРС:
.
|
12 |
Комплексне число |
зручно представити у виді добу- |
тку двох комплексних чисел: |
|
|
. |
Параметр 
, що відповідає положенню вектора для t=0 (чи на обертовій зі швидкістю w комплексній площини), називають компле-
ксною амплітудою: |
, а параметр |
- ком- |
|
плексом миттєвого значення. |
|
|
|
Параметр |
є оператором повороту вектора на кут |
wt щодо |
|
початкового положення вектора.
Взагалі говорячи, множення вектора на оператор повороту 
є його поворот щодо первісного положення на кут ±a.
Отже, миттєве значення синусоїдної величини дорівнює мнимої
частини без знака “j” добутку комплексу амплітуди 
й оператора
повороту 
:
.
Перехід від однієї форми запису синусоїдної величини до іншої здійснюється за допомогою формули Эйлера:
|
. |
Якщо, наприклад, комплексна амплітуда напруги задана у виді |
|
комплексного числа в алгебраїчній формі: |
|
, |
то для запису її в показовій формі, |
необхідно знайти початкову фазу |
, тобто кут, що утворить вектор |
з позитивною піввіссю +1:
13
.
Тоді миттєве значення напруги:
,
де 
.
При запису виразу для визначеності було прийнято, що 
, тобто що вектор знаходиться в першому чи четвертому квадрантах.
Якщо 
, то при 
- другий квадрант:
,
а при 
- третій квадрант
,
чи
.
Якщо задане миттєве значення струму у виді
, то комплексну амплітуду записують спочатку в показовій формі, а потім (при необхідності) по формулі Эйлера переходять до алгебраїчної форми:
.
Варто вказати, що при додаванні і вирахуванні комплексів варто користатися алгебраїчною формою їхнього запису, а при множенні і розділі зручна показова форма.
14
Отже, застосування комплексних чисел дозволяє перейти від геометричних операцій над векторами до алгебраїчного над комплексами.
Так при визначенні комплексної амплітуди результуючого струму 
по рис.1. 5 одержимо:
де
;
.
Діюче значення синусоїдних ЕРС, напруг і струмів
Для діючого значення синусоїдного струму запишемо:
.
Аналогічний результат можна одержати для синусоїдних ЕРС і напруг. Таким чином, діючі значення синусоїдних струмів, ЕРС і на-
пруг менше своїх амплітудних значень у 
раз:
.
Оскільки, як буде показано далі, енергетичний розрахунок кіл змінного струму звичайно проводиться з використанням діючих значень величин, за аналогією з попереднім уведемо поняття комплексу
діючого значення
.
15
2 ЕЛЕМЕНТИ КОЛА СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ. ВЕКТОРНІ ДІАГРАМИ І КОМПЛЕКСНІ СПІВВІДНОШЕННЯ ДЛЯ НИХ
Резистор
Ідеальний резистивний елемент не володіє ні індуктивністю, ні ємністю. Якщо до нього прикласти синусоїдну напругу
(див. рис.2. 1), то струм i через нього дорівнює
.
Рисунок 2.1-Ідеальний резистивний елемент
Співвідношення показує, що струм має ту ж початкову фазу, що і напруга. Таким чином, якщо на входи двопроменевого осцилографа подати сигнали u і i, то відповідні їм синусоїди на його екрані будуть проходити (див. рис.2.2) через нуль одночасно, тобто на резис-
торі напруга і струм збігаються по фазі.
;
.
Рисунок 2.2-Графіки u, i Рисунок 2.3-Векторна діаграма
16
Перейдемо від синусоїдних функцій напруги і струму до відповідних їм комплексів:
;
,
розділимо перший з них на другий:
,
чи
.
Отриманий результат показує, що відношення двох комплексів є дійсна константа. Отже вектори напруги і струму (див. рис.2.3) збігаються по напрямку.
Конденсатор
Ідеальний ємнісний елемент не має ні активного опору (провідність), ні індуктивного. Якщо до нього прикласти синусоїдну напругу
(див. рис.2. 4), то струм i через нього буде дорівнювати
.
Рисунок 2.4-Ідеальний ємнісний елемент
Отриманий результат показує, що напруга на конденсаторі від-
стає по фазі від струму на 
/2. Таким чином, якщо на входи двопроменевого осцилографа подати сигнали u і i, то на його екрані буде мати місце картинка, що відповідає рис.2. 5:
;
17
.
Рисунок 2.5-Графіки u, i |
Рисунок 2.6-Графік XC=f(w) |
Уведений параметр 
називають реактивним єм-
нісним опором конденсатора. Як і резистивний опір, 
має розмірність Ом. Однак на відміну від R даний параметр є функцією частоти,
що ілюструє рис.2.6. З рис.2.6 випливає, що при 
конденсатор
представляє розрив для струму, а при 
, - 
. Перейдемо від синусоїдних функцій напруги і струму до відповід-
них їм комплексів:
;
,
розділимо перший з них на другий:
,
чи
18
.
Рисунок 2.7-Векторна діаграма
В останнім співвідношенні |
- комплексний опір |
конденсатора. Множення на |
відповідає повороту вектора |
на кут 
по годинній стрілці. Отже, рівнянню відповідає векторна діаграма, представлена на рис.2. 7.
Котушка індуктивності
Рисунок 2.8-Ідеальний індуктивний елемент
Ідеальний індуктивний елемент не має ні активного опору, ні ємністного. Нехай струм (див. рис.2. 8) через нього визначається вира-
зом 
. Тоді для напруги на затисках котушки індуктивності можна записати
.
Отриманий результат показує, що напруга на котушці індуктив-
ності випереджає по фазі струм на 
/2. Таким чином, якщо на вхо-
ди двопроменевого осцилографа подати сигнали u і i, то на його екрані
19
(ідеальний індуктивний елемент) буде мати місце картинка, що відповідає рис.2 9. а також
Рисунок 2.9-Графіки u,i |
Рисунок 2.10-Графік XL=f(w) |
.
Уведений параметр 
називають реактивним індуктивним опором котушки; його розмірність – Ом. Як і в ємнісного елемента цей параметр є функцією частоти. Однак у даному випадку ця залежність має лінійний характер, що ілюструє рис.2. 10. З рис.2. 10
випливає, що |
при |
котушка індуктивності не робить опору |
струму, а при |
, |
. |
Переходячи від синусоїдних функцій напруги і струму до відповідних комплексів:
;
,
розділимо перший з них на другий:
,
чи
20
.
Рисунок 2.11-Векторна діаграма
В отриманому співвідношенні |
- комплексний |
опір котушки індуктивності. Множення на 
відповідає пово-
роту вектора на кут 
проти стрілки. Отже, рівнянню відповідає векторна діаграма, представлена на рис.2. 11 .