M02780

11

10.Серед 20 працівників фірми випадковим чином розподілено путівки до двох міст: А – 12, В – 8 путівок. Яка ймовірність того, що дві конкретні особи поїдуть до одного міста?

11.Партія з 100 деталей, серед яких 5 бракованих, перевіряється контролером, котрий навмання вибирає 10 деталей і визначає їх якість. Якщо серед вибраних деталей немає жодної бракованої, то вся партія приймається. Яка ймовірність того, що вся партія деталей прийметься?

12.З карток з літерами складено слово “карета”. Картки перемішуються і навмання витягуються по одній. Яка ймовірність того, що в порядку надходження літер утвориться слово “ракета”?

13.Групу з 20 студентів випадковим чином розподіляють для проходження практики у трьох фірмах: А – 7, В – 8, С – 5 осіб. Яка ймовірність того, що два конкретні студенти проходитимуть практику на одній фірмі?

14.У партії з 30 автомобілів 6 мають дефекти. Яка ймовірність того, що серед 3 навмання відібраних автомобілів буде: а)тільки 2 автомобілі без дефектів?

б) не більше одного автомобіля з дефектом?

15.В урні 9 кульок з номерами від 1 до 9. Навмання по одній виймають три кульки без повторення. Знайти ймовірність того, що серед них: а) нема кульок з парними номерами?

б) хоча б одна кулька з парним номером?

16.З 30 чисел 1, 2, …, 30 навмання відбирається 10 різних чисел. Знайти ймовірність того, що серед них: а) рівно 6 чисел ділиться на 3? б) хоча б одне число ділиться на 3?

17.Знайти ймовірність того, що навмання вибране двозначне число є кратним 3, або 5, або тому і іншому одночасно.

18.У ящику 10 білих і 6 чорних куль. Навмання витягають дві кулі. Яка ймовірність того, що кулі будуть одного кольору?

19.Підкидають два гральних кубики. Яка ймовірність того, що випаде принаймні одна трійка, якщо відомо, що сума очок дорівнює 7?

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

12

20.Серед кандидатів у студентську раду факультету три першокурсники, чотири другокурсника і шість третьокурсників. З цього складу навмання вибирають п'ять чоловік. Знайти ймовірності наступних подій: А={будуть обрані одні третьокурсники}; В={буде обраний наступний склад: два першокурсники, один другокурсник і два третьокурсники}.

21.На аркушах написані цифри від 0 до 6. Навмання беруть три листи й один по одному викладають їх у ряд. Яка ймовірність того, що вийде число, кратне трьом?

22.У партії з 10 деталей, що прибула на завод, знаходяться 2 бракованих деталі. З партії вибирається для контролю 6 деталей. Знайти ймовірність того, що з них рівно дві деталі будуть бракованими.

23.З коробки, у якій знаходяться 10 ламп, виймають випадковим чином чотири. Яка ймовірність, що буде вийнята рівно одна згоріла лампа, якщо в коробці знаходиться три згорілі і сім придатних ламп?

24.Замок відкривається тільки при наборі конкретного шифру – чотиризначного номера, який можна скласти із семи цифр: 1,2,3,4,5,6,7. Яка ймовірність того, що замок відкривається при випадковому наборі шифру?

25.На картках написані букви: A, Ч, А, Р, К. Картки виймаються по одній навмання і розкладаються в ряд. Яка ймовірність того, що вийде слово «ЧАРКА»?

26.В урні 2 білих і 3 чорних кулі. З урни виймають одночасно дві кулі. Яка подія більш ймовірна: A={кулі одного кольору} чи B={кулі різних кольорів}?

27.З десяти лотерейних квитків виграшними є три. Визначити ймовірність того, що серед узятих навмання трьох квитків хоча б один виграшний.

28.На олімпіаду прибули 10 першокурсників, 12 другокурсників і 8 третьокурсників. У перший тур навмання вибирають 6 чоловік. Знайти ймовірності наступних подій: A={будуть

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

13

обрані одні другокурсники}; B={будуть обрані два першокурсники, два другокурсника і два третьокурсника}.

29.Слово «КРІПАК» розрізали на букви, узяли навмання чотири букви і виклали їх у ряд. Яка ймовірність того, що вийшло слово «КІПА»?

30.У лотереї 80 квитків, з яких 20 – виграшні. Визначити ймовірність того, що обидва куплених квитка будуть виграшні.

ЗАПИТАННЯ ДО ЗАВДАННЯ №2

1.Дати класичне означення ймовірності випадкової події.

2.Що таке статистична ймовірність події?

3.Що називається геометричною ймовірністю?

4.Переставленням із n елементів називається …

5.Розміщенням із n елементів по m називається …

6.Комбінацією (сполукою) із n елементів по m називається …

7.У чому полягає основний принцип комбінаторики?

8.Чому дорівнює кількість різних переставлень із n елементів (з повторенням та без повторень)?

9.Чому дорівнює кількість різних розміщень із n елементів по k (з повторенням та без повторень)?

10.Чому дорівнює кількість різних комбінацій (сполук) із n елементів по k (з повторенням та без повторення)?

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

14

ЗАВДАННЯ №3

1.Екзаменаційний білет містить 3 питання – по одному з трьох основних розділів предмету. З 30 запитань першого розділу студент може правильно відповісти на 27, з 30 запитань другого розділу – на 24, з 30 запитань третього розділу – на 27. Яка ймовірність того, що студент відповість: а) на всі три запитання білету? б) хоча б на одне запитання білету?

2.Два стрільці зробили по одному пострілу по мішені. Ймовірність влучити в мішень для першого стрільця дорівнює 0,8, для другого – 0,9. Знайти ймовірність того, що влучить: а) тільки один стрілець; б) хоча б один стрілець.

3.Пристій складається з трьох елементів, які працюють незалежно. Ймовірність безвідмовної роботи цих елементів за час t відповідно дорівнюють 0,7; 0,9; 0,8. Знайти ймовірність того, що за час t безвідмовно будуть працювати: а) два елементи; б) хоча б один елемент.

4.Ймовірність хоча б одного влучення в мішень з трьох пострілів дорівнює 0,992. Знайти ймовірність двох влучень в мішень з трьох пострілів.

5.Три стрільці зробили по одному пострілу по мішені. Імовірність влучити в мішень для першого стрільця дорівнює 0,8, для другого – 0,7, для третього – 0,75. Яка ймовірність того, що:

а) влучить лише два стрільця? б) влучить хоча б один стрілець?

6.Хлібопекарня випікає 70% продукції з борошна вищого сорту і 30% - з борошна першого сорту. Яка ймовірність того, що серед двох навмання обраних виробів буде: а) тільки один з борошна вищого сорту? б) два одного і того ж сорту?

7.З партії виробів вибирають навмання один. Чи є він вищого сорту, якщо відомо, що 5% усієї продукції - брак, а 65% не бракованих виробів задовольняє вимогам вищого сорту.

8.Імовірність того, що студент правильно відповість хоча б на одне запитання з двох заданих викладачем, дорівнює 0,99. Знайти ймовірність того, що студент правильно відповість на 3 запитання, заданих викладачем.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

15

9.Літак долає три зони протиповітряної оборони (ППО). При доланні першої зони його може бути пошкоджено з імовірністю 0,6; другої, за умови, що він пройшов першу, - 0,7; а третьої, за умови, що він пройшов перші дві, - 0,5. Знайти ймовірності подій:

а) проходження всіх зон; б) пошкодження літака під час проходження другої зони.

10.Для сигналізації аварії встановлено два сигналізатори, які працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що під час аварії спрацює перший сигналізатор дорівнює 0,95, а другий - 0,9. Знайти ймовірності того, що під час аварії спрацюють: а) принаймні один сигналізатор; б) тільки один сигналізатор.

11.Імовірність влучення в мішень одним пострілом дорівнює р. Скільки треба зробити незалежних пострілів, щоб імовірність принаймні один раз влучити в мішень була не меншою за Р? Задачу розв'язати при р = 0,4; Р = 0,9.

12.Студент знає 20 із 25 запитань програми. Залік вважається зарахованим, якщо студент відповість не менше, ніж на три з чотирьох запитань білета. Яка ймовірність того, що студент отримає залік?

13.Два спортсмени незалежно один від одного роблять по одному пострілу по одній мішені. Імовірності влучення у мішень для першого та другого спортсменів відповідно дорівнюють 0,7 та 0,9. Знайти ймовірності того, що: а) обидва спортсмени влучать у мішень;

б) обидва спортсмени не влучать; в) перший спортсмен влучить, а другий - ні; г) принаймні один зі спортсменів влучить у мішень.

14.Виявлення повітряної цілі проводять незалежно двома радіолокаційними станціями (РЛС). Імовірність виявлення цілі першою РЛС дорівнює 0,7, а другою - 0,6. Яка ймовірність того, що ціль буде виявлена?

15.У дитячій групі вихователь відлучився до телефону. Ймовірності того, що протягом цього часу 5 граючих дітей не

потребують уваги вихователя, дорівнюють p1=0,7; p2=0,8; p3=0,9; p4=0,85; p5=0,75. Знайти ймовірність того, що за час відсутності вихователя жодна дитина не зажадає його уваги.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

16

16.Імовірність хоча б одного влучення в мішень при двох пострілах дорівнює 0,99. Знайти ймовірність трьох влучень при трьох пострілах.

17.У бібліотеці підручників по вищій математиці 70% від кількості студентів, а підручників по фізиці – 85%. У бібліотеку прийшов студент, яка ймовірність, що йому дістануться обидва підручники?

18.Три стрілки, для яких ймовірності влучення в мішень дорівнюють 0,75, 0,7 і 0,8, роблять по два постріли. Визначити ймовірність хоча б одного влучення в мішень.

19.Ви посадили квітку. Наскільки успішно вона зійде залежить від трьох факторів, а саме: 1) чи гарне насіння ви купили (ймовірність купити насіння негідне для посадки – 0,3); 2) наскільки удобрену землю ви підібрали для посадки (рівноможливо, як удобрену, так і не удобрену); 3) чи не забули ви його полити (забули з ймовірністю 0,1). Отже, посаджена квітка зійде якщо насіння буде придатними, ви підберете удобрену землю і поллєте. Знайти ймовірність, що квітка зійде.

20.На змаганнях із плавання здійснюють заплив на 100м п’ять спортсменів. Кожен з них може пропливти цю дистанцію менше ніж за 1 хвилину відповідно з ймовірностями: 0,6, 0,5, 0,75, 0,8 і 0,9. Обчислити ймовірність того, що в результаті цього запливу до фінішу прийде, менше ніж за 1 хвилину, хоча б один спортсмен.

21.Для сигналізації про аварію встановлено три незалежно працюючих сигналізатори. Ймовірність того, що спрацює при аварії сигналізатор дорівнює для І – 0,9; для ІІ – 0,8; для ІІІ – 0,95. Знайти ймовірність, що при аварії спрацюють: а) хоча б один сигналізатор; б) рівно два сигналізатора.

22.З трьох гармат провели залп по цілі, ймовірність влучення

вціль при одному пострілі з І гармати – 0,8; з ІІ – 0,9; є ІІІ – 0,85. Знайти ймовірність подій: А={тільки два снаряди влучать у ціль} і В={хоча б один снаряд влучить у ціль}.

23.Для сигналізації про вихід з ладу автоматичної потокової лінії встановлено три сигналізатори, які працюють незалежно один від

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

17

одного. Ймовірність того, що сигналізатори спрацюють для І – 0,95, для ІІ – 0,9, для ІІІ – 0,98. Знайти ймовірність, що при виході з ладу лінії спрацює: а) два сигналізатори; б) хоча б один сигналізатор.

24. Студент шукає потрібну формулу в 3 довідниках. Ймовірність, що формула знаходиться в першому довіднику – 0,5; в другому – 0,7; в третьому – 0,8. Знайти ймовірність, що потрібну формулу студент знайде: а) тільки в двох довідниках;

б) не більше як в одному довіднику.

25.Три стрільці стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для І – 0,6; ІІ – 0,7; ІІІ – 0,8. Знайти ймовірність того, що в мішень влучить: а) тільки один стрілець; б) два стрільця; в) хоча б один стрілець.

26.В цеху працюють три автомати. Ймовірність того, що автомати на протязі часу Т вийдуть з ладу для І – 0,1; для ІІ – 0,2; для

ІІІ– 0,3. Знайти ймовірність, що на протязі часу Т з ладу вийдуть:

а) два автомати; б) хоча б один автомат.

27.Ймовірність того, що виготовлена на першому верстаті деталь буде першого сорту дорівнює 0,7. При виготовлені такої ж деталі на другому верстаті ця ймовірність дорівнює 0,8. На першому верстаті виготовлено дві деталі, на другому – три. Знайти ймовірність того, що всі деталі першосортні.

28.Три стрілка, у яких ймовірність влучення у мішень дорівнює 0,7; 0,9 та 0,8 зробили по одному пострілу. Визначити ймовірність хоча б двох влучень у мішень.

29.Робітник, який обслуговує три верстати, змушений був відлучитись на деякий час. Ймовірність того, що на протязі цього часу

верстати не потребують уваги робітника, дорівнюють р1=0,8; р2=0,7; р3=0,6. Знайти ймовірність того, що за час відсутності робітника ні один з верстатів не потребує його уваги.

30.Прилад складається з n елементів, надійність кожного з яких дорівнює 0,98. Вихід з ладу кожного з них рівнозначний виходу з ладу приладу в цілому. Не більше якого числа елементів повинно бути

уприладі для того, щоб надійність приладу була не меншою за 0,9?

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

18

ЗАПИТАННЯ ДО ЗАВДАННЯ №3

1.Які події називаються несумісними?

2.У якому разі несумісні події утворюють повну групу?

3.Відомо, що А і В – сумісні події. Чому дорівнює P(A + B) ?

4.Відомо, що несумісні події А1, А2, …, Аn утворюють повну групу.

n

Чому дорівнює åP(Ai ) ?

i=1

5.Відомо, що А і В – несумісні події. Чому дорівнює P(A + B) ?

6.Які випадкові події називаються незалежними?

7.Дайте означення умовної ймовірності.

8.Чому дорівнює P(A× B) , якщо події А і В є незалежними?

9.Чому дорівнює P(A× B) , якщо події А і В є залежними?

10.Як обчислити ймовірність настання хоча б однієї події з n незалежних події А1, А2, …, Аn?

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

19

ЗАВДАННЯ №4

1.Справи клієнтів банку зберігаються у 8 сейфах: у трьох по 150 справ, у п'яти - по 250. Імовірність вчасного повернення кредиту клієнтами, справи яких лежать у трьох сейфах, становить 0,96, в інших п'яти — 0,95. Яка ймовірність того, що:

а) навмання вибрано справу клієнта, який вчасно поверне кредит?

б) справа клієнта, який своєчасно повернув кредит, лежала в одному з перших трьох сейфів?

2.У рекламному агентстві працює три групи дизайнерів: перша обслуговує 25 фірм, друга — 45, третя — 40. Протягом одного місяця кошти, витрачені на рекламу дизайнерами першої групи, повертаються до 40% фірм, другої — до 45%, третьої — до 35%. Яка ймовірність того, що: а) навмання вибрана фірма окупила витрачені на рекламу кошти протягом місяця? б) фірма, що окупила протягом місяця витрачені на рекламу кошти, обслуговувалась третьою групою дизайнерів?

3.З урни, в якій 2 білі і 3 чорні кульки, навмання вийнято дві кульки і покладено в урну одну білу кульку. Знайти ймовірність того, що після цього вийнята з урни кулька 6уде біла.

4.Магазин отримує продукцію від двох виробників: перший постачає 2/5 усіх виробів, другий — 3/5. Імовірність продажу виробів першого постачальника становить 0,95, другого — 0,8. Яка ймовірність того, що: а) навмання вибраний виріб не буде реалізовано? б) нереалізований виріб отримано від першого виробника?

5.На двох полицях стоять книги: на першій 12 українською і 6 російською мовами, на другій - відповідно 10 і 8. З першої полиці, навмання перекладено книгу на другу полицю .Яка ймовірність того, що: а) навмання вибрана книга з другої полиці буде українською?

б) з першої полиці перекладено російську книгу, якщо вибрана з другої полиці, книга виявилась українською.

6.На машинобудівний завод поставлена партія підшипників чотирьох категорій. Перша категорія складає 60%, друга 25%, третя 10%, четверта 5% від загальної кількості. Ймовірність того, що підшипники різних категорій будуть мати заданий термін служби,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

20

складає відповідно: 0,85; 0,65; 0,45; 0,35. Знайти ймовірність того, що обраний навмання підшипник буде мати заданий термін служби.

7.Магазин отримує продукцію від двох виробників: перший постачає 3/5 усіх виробів, а другий – 2/5. Імовірність продажу виробів першого постачальника дорівнює 0,9, другого - 0,85, Яка ймовірність того, що: а) навмання вибраний виріб буде реалізовано?

б) реалізований виріб отримано від другого постачальника?

8.Завод випускає кухонні набори білого та синього кольорів, що виготовляються двома цехами. Перший цех виробляє 35% продукції, серед яких 40% наборів синього кольору. У продукції другого цеху 55% синіх наборів. Яка ймовірність того, що:

а) навмання вибраний набір синього кольору?

б) набір синього кольору зроблено другим цехом?

9.З урни, що містить 4 білі і 4 чорні кульки, навмання взяли дві кульки і поклали в урну чорну кульку, Знайти ймовірність того, що після цього вийнята з урни кулька буде біла.

10.До каси підприємства надійшли банкноти у пачках від двох банків: 50 пачок від першого і 70 — від другого. Імовірність помилки касирів першого банку становить 0,15%, другого — 0,2%. Яка ймовірність того, що: а) навмання вибрану пачку сформовано без помилок? б) пачку без помилок було сформовано касирами другого банку?

11.На фабриці перша машина виробляє 25%, друга - 35%, третя - 40% всіх виробів. В цих виробах брак становить відповідно 5%, 4% та 2%. Яка ймовірність того, що: а) навмання вибраний виріб бракований?

б) бракований виріб, що взяли, вироблений другою машиною?

12.Тираж популярної газети друкується в двох типографіях. Потужності двох типографій відносяться як 3:4, причому перша дає 3,5% браку, а друга — 2,5%. Яка ймовірність того, що:

а) навмання обраний примірник газети буде бракованим?

б) бракований примірник газети надруковано в першій типографії?

13.Перший і другий заводи поставляють порівну однакових деталей, але перший завод випускає 90% стандартних деталей, а другий - 80%. Яка ймовірність того, що: а) вибрана навмання деталь стандартна?

б) стандартна деталь, що вибрана, поставлена першим заводом?

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com