теория вероятности

функция P(А) имеет следующие свойства:

1) Р( )=1

2) если события A1, A2..., An несовместимые, то P(A1UA2U...UAn) = P (A1) + P (A2) +...+ P(An)

Если заданно пространство элементарных исходов  , алгебра событий и отмеченная на ней функция Р, которая удовлетворяет условиям приведенной аксиомы, то считают, что задано вероятностное пространство.

Формула суммы вероятностей.

Из приведенной аксиомы следует, что если A1 и A2 несовместимые события, то P(A1UA2) = P(A1) + P(A2)

Далее: A1 = (A1\ A2)U(A1?A2), причем A1\ A2 і A1?A2 - несовместимые события, откуда следует : P(A1) = P(A1\ A2) + P(A1?A2) .Найдем из этой

формулы выражение для P(A1\ A2) и подставим его в правую часть формулы (*).

В результате получим формулу суммы вероятностей:

P(A1UA2) = P(A1) + P(A2) – P(A1?A2)

Из последней формулы легко получить формулу суммы вероятностей для несовместимых событий, положив A1?A2 = .

Пример. Найти вероятность вытянуть туза или червовую масть при случайном вытягивании одной карты из колоды 32 карты.

Р( ТУЗ )= 4/32 = 1/8;

Р( ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ )= 8/32 = 1/4;

Р( ТУЗ ЧЕРВ)= 1/32;

Р(( ТУЗ ) U (ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ )) = 1/8 + 1/4 - 1/32 =11/32

Тот же результат можно было получить с помощью классического определения вероятности, пересчитав число благоприятных исходов.

Условная вероятность.

Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, который не превышает 20. Какая вероятность, что студент вытянул выученный билет?

Определим пространство элементарных последствий:  =(1,2,3...,28,29,30). Пусть событие А заключается в том, что студент вытянул выученный билет: А = (1...,5,25,...,30,), а событие В — в том, что студент вытянул билет из первых двадцати: С = (1,2,3...,20) Событие А?С состоит из

пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность есть 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 - это вероятность события B. Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В состоялись (обозначим ее Р(А/С)).. Таким образом решение задачи определяется формулой

P(А?С) = Р(А/С) Р(B)

Эта формула называется формулой произведения вероятностей, а вероятность Р(А/С ) — условной вероятностью события A.

Пример. Из урны, которая содержит 7 белых и 3 черных шара, наугад один за одним достают (без возвращения) два шара. Какая вероятность того, что первый шар будет белый, а второй черным?

Пусть X — событие, которое заключается в доставании первого белого шара, а Y — событие, что заключается в доставании второго черного шара. Тогда X?Y - событие, которое заключается в том, что первый шар будет белым,

а второй — черным. P(Y/X) =3/9 =1/3— условная вероятность доставания второго черного шара, если первым был вытянут белый. Ввиду того, что P(X)= 7/10, по формулей произведения вероятностей получаем: : P(X?Y) = 7/30.

Событие А называется независимым от события В, если Р(А/В)=Р(А). По определению независимых событий можно принять следствие последней формулы и формулы умножения P(А?С) = Р(А) Р(B)

Пример. Рассмотрим задачу, аналогичную предыдущий, но с одним дополнительным условием: вытянув первый шар, запомним егое цвет и возвращаем шар в урну, после чего все шары перемешиваем. В данном случае результат второй вытяжки никак не зависит от того, какой шар - черный или белый появился при первой вытяжке. Вероятность появления первого белого шара (событие А) есть 7/10. Вероятность события В - появления второго черного шара - есть 3/10. Теперь по формуле произведения имеем: P(А?В) =

21/100.

Исключение шаров способом, описанным в этом примере, имеет название выборка или обратная выборка с возвращением. Следует отметить, что если в двух последних примерах положить количества белых и черных шаров соответственно 7000 и 3000, то результаты расчетов тех же вероятностей будут отличаться очень мало для обратной и необратимой выборок.

Формула полной вероятности.

Пусть имеем группу событий H1, H2..., Hn со следующими свойствами: 1) Все события попарно несовместимы: Hi ? Hj =; i, j=1,2,...,n; ij

2) Их объединение образует пространство элементарных последствий Ω:

Ω=H1U H2U ... U Hn.

В этом случае будем говорить, что H1, H2...,Hn образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами.

Пусть А - некоторое событие: А Ω ? (диаграмма Венозная представлена на рисунке ). Тогда имеет место формула полной вероятности:

Доказательство. A = (A?H1) U (A?H2) U...U (A?Hn),, причем все события A?Hi (i= 1,2...,n) попарно несовместимые. Отсюда по теореме суммы вероятностей получаем P(A) = P(A?H1) + P(A?H1) +...+P(A?Hn ). Если учесть

теорему произведения P(A?Hi) = P(A/Hi) P(Hi)

(i = 1,2,...,n), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем часть первого завода – 30%, второго – 50%, третьего – 20% . Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2% . Какая вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Пусть событие H1 заключается в том, что избранная лампа сделана на первом заводе, H2 - на втором, H3 - на третьем заводе. Значит: P(H1)= 3/10, P(H2)= 5/10, P(H3)= 2/10. Пусть событие А заключается в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/Hi - означает событие, которое заключается в

том, что выбрана бракованная лампа из ламп, сделанных на i-том заводе.

Из условия задачи следует: P (A/H1) = 5/10; P(A/H2) = 3/10; P(A/H3) = 2/10 . По формуле полной вероятности получаем

P(A) 103 1005 105 1003 102 1002 50017

( A H2 - означает событие, которое заключается в том, что

выбрана бракованная лампа из ламп, сделанных на 2-том заводе; H2 - избранная лампа сделана на втором заводе; А – лампа бракованная)

(В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем часть первого завода – 30%, второго – 50%, третьего – 20% . Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2% . Какая вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной. )

Формула Бернулли.

Рассмотрим случай многоразового повторения одного и того же испытания или случайного експеримента. Результат каждого испытания будем считать не зависимым от того, какой результат произошел в предыдущих испытаниях.

В этом случае используется формула Бернулли.

Формула Бернулли

P (k)  C k pk (1 p)n k  n! pk (1 p)n k n n k!(n k)!

где Pn (k) - вероятность появления события A ровно k раз при n независимых испытаниях; p - вероятность появления события A при каждом испытании.

Вероятность того, что при этом событие A:

1)наступит n раз: Pn (n)  p n ;

2)не наступит ни разу: Pn (0) (1 p)n ;

3)наступит хотя бы один раз: P 1 (1 p)n ;

4)наступит не более k раз: P  Pn (0) Pn (1) Pn (2) .... Pn (k) ;

5)наступит не менее k раз: P  Pn (k) Pn (k 1) .... Pn (n) .

Пример.Два шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть 2 из 4-х раз или 3 из 6 раз. Ничьи во внимание не принимаются.

Решение.

Найдем вероятность того, что шахматист выиграет 2 из 4-х раз:

Пример. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:

Локальная теорема Лапласа.

Формула Бернулли, позволяет вичислить вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет ровно k раз, при этом вероятность появление событий постоянка. Легко видеть, что при большом числе испытаний ( n ) пользоваться формулой Бернулли неудобно (большие числа). При таких условиях используют локальную теорему Лапласа. Она позволяет приближенно найти вероятность появления ровно k раз в n испытаниях.

1783 формула была обобщена Лапласом для произвольного p окличного от 0 и 1. Поэтому теорема называется теоремой Муаврв-Лапласа.

ТЕОРЕМА Лапласа: Если вероятность p появления события A в

каждом испытания постоянка и оклична от 0 и 1, то вероятность Pn (k) , того что события A появится ровно k раз в n испытаниях, приближенно равна ( тем точнее, чем больше n ) значению функции

положительным и отрицательным значениям аргумента x ,так как ( x)  (x) .

Пример. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение: n  400 : k  80 : p  0.2 : q  0.8 По формуле Лапласа

По таблице (0)  0.3989 . Тогда

P400 (80)  18 * 0.3989  0.049

ЛЕКЦИЯ 6.

Интегральная теорема Лапласа.

Предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p . Как вычислить

вероятность Pn (k1 , k2 ) того, что событие А появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2 раз? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа.

Теорема: Если вероятность p появления события A в каждом испытания постоянка и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn (k1 , k2 ) того, что событие А

появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2 раз, приближенно равна определенному интегралу

При решение задач требующих применение интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами для вычисления значения

для положительных значений х и х  0 , для отрицательных значений

используют те же таблицы учитывая нечетность функции Ф(х) (Ф( х)  Ф(х)) . В таблице приведены значения только до х  5 , так как для всех x  5

можно принять Ф(х)  0.5 Функция Ф(х) называется функцией Лапласа.

Для того чтобы можно было пользоваться таблицей для функции Лапласа формулу в теореме преобразовывают:

вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется не проверенных от 70 до 100 деталей.

P400 (70,100) Ф(2.25) Ф( 1.25' ) Ф(2.25) Ф(1.25)

По таблице :

Ф(2.25)  0.4938;Ф(1.25)  0.3944

Искомая вероятность

P400 (70,100) 0.4938 0.3944 0.8882

Формула Пуассона.

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Pn (k)  kk! e

 np – среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p  0.1 и np 10 . При больших np рекомендуется применять формулы Лапласа (МуавраЛапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка