Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

METODU09

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

519 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

кожному КЧ z = x +yi D за певним			правилом f	поставлено		у
відповідність	єдине КЧ	w = u +vi E	і зворотно:	для кожного КЧ
w E z D, що f (z) = w.
Змінна z	називається незалежною змінною або аргументом, змінна
w − залежною змінною або функцією. Іноді залежну змінну w					і правило
f, за яким	вона	знаходиться позначають спільною			літерою	і

функціональну залежність позначають символом w = w(z).

Зауваження 2.1. Іноді крім звичайних (однозначних) ФКЗ, доводиться розглядати також багатозначні, тобто такі, коли кожному КЧ z D

ставиться у відповідність не одне, а декілька можливих значень КЧ w.

Надалі без спеціального попередження будемо розглядати тільки однозначні функції.

Способи задавання ФКЗ

Зазначимо два характерних способи задавання ФКЗ, що встановлюють їх зв’язок із звичайними функціями дійсних змінних:

задавання дійсною та уявною частинами, задавання сумою

функціонального ряду.

1-й спосіб. Задамо дійсні функції u = u(x;y) та v = v(x;y) від

аргументів x,y. Покладемо

u(x;y) = Ref (z) = Ref(x +yi),

v(x;y) = Im f (z) = Im f(x +yi)

і складемо ФКЗ f (z) за формулою: w = f (z) = u(x;y)+iv(x;y).

2-й спосіб. Задамо комплекснозначний ряд

∞

∑an(z −z0)n = a0 +a1(z −z0)+ +an(z −z0)n +

(2.1)

n=0

ФКЗ f (z) задамо як суму цього ряду згідно з наступним означенням.

Означення. Область D називається областю збіжності ряду (2.1), а ФКЗ

f (z) – його сумою в цій області, якщо для кожного КЧ

z D :

lim |Sn (z)− f (z) |= 0,

n→∞

де через S

(z)

позначено частинну суму ряду (2.1):

(z) =a

(z −z

)+a

(z −z

)2 + +a

(z −z

)n.

Область визначення ФКЗ f (z)

в даному разі збігається з областю D

збіжності ряду (2.1). Стосовно збіжності ряду (2.1) відомо наступне. Існує

круг радіуса R (круг збіжності) із центром	у точці z = z0 ,	який має
властивості: у внутрішніх точках цього круга,	в області \|z −z0	\|< R, цей
ряд збігається;

1)за межами круга, тобто в області |z −z0 |> R, ряд розбігається;

2)в точках кола CR : |z −z0 |= R в залежності від значень змінної z

ряд може як збігатись, так і розбігатись.

Радіус збіжності ряду можна визначити за будь-якою з формул:

R = lim	\|an \|	,	R =	1		.

n→∞ \|an+1 \|				lim n \|an	\|
				n→∞

Елементарні ФКЗ

Кожна елементарна ФКЗ f (z) є, так званим, аналітичним продовженням певної дійсної елементарної функції f (x) з області

дійсних аргументів x в область комплексних аргументів z.

До основних елементарних ФКЗ відносяться:

1) (ціла раціональна функція або поліном m-го степеня)

(z) = p

+ p z + + p zm

(p ≠ 0, m N);

2) (дробово-раціональна функція або раціональний дріб)

(z)

+ p z + + p zm

;

(z)

+q z + q

3) (експоненціальна функція)

∞

= ∑

;

(2.2)

n=0 n!

(тригонометричні функції)

−iz

∞

2n+1

sinz =

−e

∑(−1)n

(2.3)

(2n +

n=0

1)!

+ e

−iz

∞

cosz =

∑(−1)n

(2.4)

n=0

(2n)!

tgz =

sinz

ctgz =

cosz

;

cosz

sinz

(гіперболічні функції)

−z

∞

2n+1

shz =

e − e

= ∑

n=0 (2n +1)!

+ e

−z

∞

chz =

∑

(2.5)

n=0

(2n)!

thz =

shz

cthz =

chz

shz

Зазначені ряди збігаються на всій комплексній площині.

Експоненціальна функція є періодичною з періодом T = 2πi :

ez+2πi = ez .

Мають місце формули Ейлера:

eiz

= cosz +i sinz,

e−iz

= cosz −i sinz.

(2.6)

Між тригонометричними та гіперболічними функціями існує зв’язок:

sin(iz)= i shz,	cos(iz)= chz,
sh(iz)= i sinz,		ch(iz)= cosz.
6) (логарифмічна функція)
Lnz = ln\|z \|+i Argz =
= ln\|z \|+i (a rgz +2kπ),			(k = 0,±1,±2, ...);		(2.7)
7) (обернені тригонометричні функції)

Arcsinz = −i Ln(iz + 1−z2 );

Arccosz = −i Ln(z + z2 −1);
Arctgz = −	i	Ln	1+iz	;
	2		1−iz

Arcctgz = −i Lniz +1.

2iz −1

7) (обернені гіперболічні функції)

Arshz = Ln(z + z2 +1);

Archz = Ln(z + z2 −1);

Arthz = 1 Ln1+z ;

21−z

Arcthz =	1	Ln	z +1	.
	2 z −1
8) (загальна степенева функція)
w = za ,
(z = α +iβ – будь-яке комплексне число)					визначається рівністю
z a= ea Lnz .					(2.8)

9) (загальна показникова функція)

w = az,
(a ≠ 0 – будь-яке комплексне число) визначається рівністю
a z= e z Lna .	(2.9)

2.2. Границя та неперервність ФКЗ
Околом точки z0 називається множина всіх точок			z комплексної
площини, що містяться в межах деякого круга радіуса R > 0 з центром у
точці z0 , тобто задовольняють нерівності: \|z −z0		\|< R .
Означення. Комплексне число A	називається границею ФКЗ w = f (z)
при наближенні z до z0 і пишуть	lim f (z) = A	(або	f (z) → A при
	z→z0

|z −z0 |→ 0), якщо:

1)ФКЗ є визначеною в околі точки z0 крім, можливо, самої точки z0 ;

2)| f (z)−A|→ 0 при |z −z0 |→ 0.

Теорема 2.1. Існування границі	lim f (z) = A, де
	x→x0
f (z) = u(x;y)+iv(x;y),	z0 = x0 +iy0 ,	A = α +iβ
є рівнозначним до існування границь
limu(x;y) = α та limv(x;y) = β.
x→x0	x→x0
y→y0	y→y0

Означення. ФКЗ w = f (z) називається неперервною в точці z0 , якщо:

1)	ця ФКЗ є визначеною в околі точки z0 ;
2)	(існує) границя:	lim f (z) = f (z0).
		z→z0

2.3. Похідна, первісна та невизначений інтеграл від ФКЗ

Означення. ФКЗ f (z) називається диференційовною в точці z								0	, а вираз
								0
f′(z0) чи	df(z0)	її похідною в цій точці, якщо
f′(z0) чи		її похідною в цій точці, якщо
	dz
		lim	f (z)− f(z0)	= f′(z	) =	df(z0)	.
		lim	f (z)− f(z0)	= f′(z	) =		.
			0			dz
		z→z0	z −z0			dz
		z→z0

Теорема 2.2. Якщо ФКЗ f (z) є диференційовною в точці z0 , то вона є й неперервною в цій точці.

Теорема 2.3. Для того, щоб ФКЗ w = f (z) = u(x,y)+iv(x,y) мала

похідну у точці z = x +iy , необхідно й достатньо, щоб функції u(x,y) та

v(x,y) були диференційовними в точці (x,y) та задовольняли умовам

Коші – Рімана:

∂u

∂v

∂x

∂y

(2.10)

∂u

∂v

= − .

∂y

∂x

Похідну диференційованої ФКЗ можна подати у вигляді

f′(z) =

∂u +i

∂v =

∂u −i

∂u =

∂v +i

∂v =

∂v −i

∂u .

(2.11)

∂x

∂y

∂x

∂y

Означення. ФКЗ F(z) називається первісною до функції f (z) в

однозв’язній області D , якщо у кожній точці z цієї області F′(z) = f (z).

Означення. Сукупність всіх первісних до функції f (z) в області D

називається невизначеним інтегралом від функції f (z) в області D. Має місце формула:

∫ f (z)dz = F(z) +C,

де ∫ f (z)dz – невизначений інтеграл до функції f (z) в області D, F(z) –

одна з первісних до функції f (z) в області D , а C −const .

Зауваження 2.2. Означення границі, похідної та первісної у випадку ФКЗ залишаються інваріантними, тобто незмінними за формою порівняно з відповідними означеннями для функцій дійсної змінної. Тому при операціях з ФКЗ зберігаються в силі відомі правила диференціювання та інтегрування, таблиця похідних та інтегралів.

2.4. Аналітичні ФКЗ

Означення. ФКЗ f (z) називається аналітичною в точці z0 , якщо вона є диференційовною як у самій точці z0 , так і в деякому її околі.

Означення. ФКЗ f (z) називається аналітичною в області D , якщо вона є аналітичною у кожній точці цієї області. ФКЗ f (z) називається аналітичною в замкненій області D , якщо вона є аналітичною в області

D та на її межі.

Про зв’язок між аналітичними та гармонійними функціями,

відновлення аналітичної ФКЗ

Означення. Дійсна функція ϕ(x,y) називається гармонійною в області

D , якщо вона має в цій області неперервні частинні похідні до другого порядку включно та задовольняє рівнянню Лапласа:

	∂2ϕ	+	∂2ϕ	= 0.	(2.12)
	∂x2		∂y2

Гармонійні в області D функції u(x,y) та					v(x,y), що задовольняють

умовам Коші – Рімана (2.12), називаються спряженими гармонійними функціями.

Теорема 2.4. Для того, щоб ФКЗ w = f (z) = u(x,y)+iv(x,y) була

аналітичною в області D , необхідно й достатньо, щоб її дійсна u(x,y) та

уявна v(x,y) частини були у цій області спряженими гармонійними

функціями.

Геометричний зміст модуля та аргументу похідної


Нехай функція f (z) є аналітичною в точці z0 і							f′(z0) ≠ 0. Тоді
модуль похідної \| f′(z0)\|		дорівнює коефіцієнту розтягу k					в точці z0 при
відображенні w = f (z)	площини z		на площину w. При				k =\| f′(z0) \|> 1,
має місце розтяг, при	k =\| f′(z0) \|<1– стиск.
Аргумент похідної		argf′(z0)	дорівнює		куту	ϕ,	на	який треба
повернути дотичну до кривої на			площині z		в	точці	z0 ,	щоб	при
відображенні w = f (z)		отримати	дотичну	до образа			цієї кривої		на
площині w у точці w0	= f(z0). Зауважимо,			що якщо ϕ = argf′(z)> 0, то
поворот здійснюється	проти годинникової			стрілки, а при ϕ < 0 –					за

годинникової стрілкою.

2.5. Методика розв’язування завдання №2

Завдання 2.1. Подати в алгебраїчній формі:

1+i

4−3i

а)

cos

;

б)

;

в)

Arth

Розв’язання. а) cos

+2i

cos(z

+z ) = cosz

cosz

−sinz sinz

= cos

cos2i −sin

sin2i =

sin(iz) = i shz

= −i sh2.

б) Згідно з формулою (2.9)

= ez Lna

1+i

3+i

3 +i

i Ln

Обчислимо окремо вираз i Ln 3 +i . За формулою (2.7)

Lnz = ln|z |+i (argz + 2kπ).

			+i	, x = Rez =						,
Оскільки z =		3	+i						3		y = Imz =	1		,		за формулою (1.4)
Оскільки z =	2										y = Imz =			,		за формулою (1.4)
	2							2			2

					3	+	1				argz = arctg		y		= arctg		1		=	π	.
\|z \|=	x2 +y2 =				3		1	= 1,					y				1			π
\|z \|=	x2 +y2 =							= 1,
					4 4								x			3		6

Отже

Остаточно

3 +i

= ln1+i

+ 2k

= i

+ 2kπ .

i Ln

3 +i

= i

+ 2kπ

= −

2kπ .

1+i

3+i

3 +i

i Ln

−

3 1

i e

+2k π .

в) Оскільки рівність w = Arthz рівносильна рівності z = thw, то можемо записати

−w

z = thw z =

shw

−e

z(ew + e−w ) = ew−e−w

chw

−w

+ e

z(e2w +1)

(e2w−1)

z e2w +z = e2w−1 e2w(1−z) = z +1

z +1

e2w(1−z) = z +1 e2w =

1−z

w = Arthz =

1+z

1−z

Згідно з умовою задачі z =

4−3i

, отже

4−3i

4 −3i

9−3i

w = Arth

Lnz

4−3i

1+ 3i

1−

Знайдемо алгебраїчну форму КЧ z1

9−3i

1−3i

9−27i −3i −9

= −3i.

1+3i

1+3i 1−3i

Отже x1 = Rez1 = 0,

= Imz1 = −3. За формулою (1.4)

= −

+y2

= 3,

argz

За формулою (2.7)

Lnz

= ln|z

|+i (argz

+ 2kπ) = ln3 +i

−

+ 2kπ .

4−3i

Отже

w = Arth

Lnz

ln3 +i

−

+kπ .

1+i

3 +i

Відповідь:

а)

б)

= e

i ;

cos

+ 2i = −i sh2;

4 −3i

в) Arth

= ln

3 +i −

k Z .

Завдання 2.2.

З’ясувати,

чи є аналітичною функція

w = e z . У випадку

аналітичності цієї функції знайти коефіцієнт розтягу та кут повороту при

відображенні за допомогою функції w = f(z) в точці z

= ln2 +i

Розв’язання. 1. Оскільки

w = f(z) = u(x,y)+iv(x,y), знайдемо дійсну

u(x,y) та уявну v(x,y) частини функції w = f(z).

w = ez = e x+iy= ex eiy =

eiy

(1.6)

= ex

cosy +i ex siny.

= cosy +i siny

Отже

u(x,y) = Rew = ex cosy,

v(x,y) = Imw = ex siny.

2. Покажемо, що функція

w = f(z) = ez

аналітична. Перевіримо

виконання умов Коші–Рімана

(2.10)

∂u

= e

cosy,

∂x

∂u

∂v

;

∂v

∂x

∂y

cosy

∂y

∂u

= −e

siny,

∂y

∂u

∂v

= −

∂v

∂y

∂x

siny

∂x

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025252 Кб0METODIChNI_VKAZIVKI.doc
#
01.07.2025137 Кб0Metodichni_vkazivki.doc
#
01.05.2025662 Кб0Metodika magistr rabot.doc
#
11.11.2019527 Кб5metoditchka.doc
#
24.08.2019750 Кб2MetodPosibnik.doc
#
12.02.2016519 Кб5METODU09.pdf
#
15.11.2019792 Кб6metodu4ka_KR_2011.doc
#
01.04.20252 Мб0METODUCHKA EKpraci Частина 1.doc
#
01.03.20252 Мб4metoduchka zavtra ekzamen.doc
#
01.05.20252 Мб1Metoduchka_EP_Final.doc
#
01.05.2025756 Кб1metoduchka_kyrs_robota_2009.rtf