3. Найти |
радиус |
кривизны |
линии |
r = (lncost; lnsin t; |
|
|
t), 0 < t < |
π . |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
4. Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кривой
|
|
y2 = x, x2 = z |
в точке |
M (1;1;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
. Найти радиус кручения кривой r = |
|
cost + |
|
sin t + |
|
sht. |
|
i |
j |
k |
|
6 |
. Найти радиус кривизны и кручения для кривой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = t2 |
|
+ 2t3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
. Доказать, что кривая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = (a t2 + b t + c ) |
|
+ (a t2 |
+ b t + c ) |
|
+ (a t2 |
+ b t + c ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоская. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
8 |
. Найти кривизну и кручение кривой |
x = et , y = e−t , z = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Н а й т и к р и в и з н у и к р у ч е н и е к р и в о й x = e−t sin t, y = e−t cost, z = e−t .
10 |
. Найти уравнение касательной плоскости к гипербо- |
|
лоиду |
x2 |
− |
y2 |
− |
z2 |
=1 в точке (x ; y ; z ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|
c2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
. Найти |
|
уравнение |
|
нормали |
|
к |
поверхности |
|
x2 − 4y2 + 2z2 = 6 в точке (2; 2; 3). |
|
|
|
|
12 |
. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности |
|
z = 2x2 + 4y2 в точке M (2;1;12). |
|
|
|
|
13 |
. К поверхности |
|
|
|
x2 + 2y2 + z2 =1 |
провести |
касательную |
|
плоскость, параллельную плоскости |
x − y + 2z = 0. |
14 |
. Найти кривизну следующих линий в данных точках: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y = (x + |
1+ x2 ), M (0; 0); |
|
|
|
|
|
б) |
эллипса |
|
|
x2 |
+ |
y2 |
=1, M (a; 0), N(0; b). |
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
. Найти радиус кривизны линии r = acos 3ϕ . |
|
16. Написать уравнение окружности кривизны линии y = et в точке (0;1).
ГЛАВА 10
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Комплексные числа
Комплексным числом z называется упорядоченная па- ра действительных чисел (x; y) , которая записывается в
|
|
|
|
|
|
|
|
|
виде |
z = (x; y) . Любое действительное число, согласно это- |
му определению, можно записать x = (x;0) . |
|
|
|
Два комплексных числа |
z1 = (x1; y1 ) и |
z2 = (x2; y2 ) назы- |
ваются равными, если |
x1 = x2 , |
y1 = y2 . |
|
|
|
|
Сумма и произведение комплексных чисел z1 и |
z2 обо- |
значаются соответственно |
z1 + z2 , |
z1 ×z2 |
и определяются |
формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 + z2 = (x1 + x2 ; y1 + y2 ) , |
|
(1) |
|
|
z1 × z2 = (x1x2 - y1y2 ; x1y2 + x2 y1 ) . |
(2) |
|
Операции сложения и умножения комплексных чисел |
обладают свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
1) z1 + z2 = z2 + z1 , |
z1z2 = z2 z1 – коммутативность; |
|
|
2) (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ), (z1z2 ) z3 = z1 (z2 z3 ) |
– |
ассоциативность; |
|
|
|
|
|
|
|
3) z1 (z2 + z3 ) = z1z2 + z1z3 |
– |
дистрибутивность. |
|
|
Упражнение 1. Проверить свойства 1) – 3). |
|
§ |
2. |
Алгебраическая |
форма |
комплексного |
числа. |
Сопряженные числа |
|
|
|
|
|
|
Среди комплексных чисел особое место занимает число (0;1) , которое называют мнимой единицей и обозна-
ч а ю т ч е р е з i : i = (0;1) . Согласно формуле (1.2) имеем i ×i = (0;1) ×(0;1) = (-1;0) = -1 ,
т.е. i2 = -1.
Спомощью формул (1.1) и (1.2) получим:
i× y = (0;1) ×( y;0) = (0; y), (x; y) = (x;0) + (0; y) = x + iy .
|
Т.е. каждое комплексное число |
z = (x; y) |
можно запи- |
с |
а |
т |
ь |
в |
в |
и |
д |
е |
|
|
|
|
z = x + iy , |
|
|
|
(1) |
называемом алгебраической формой. При этом число x называют действительной частью комплексного числа z и обозна-
чают Re z , а число y – мнимой частью и обозначают Im z . Если x = 0 , то комплексное число z = iy называют мнимым числом.
Сложение и умножение комплексных чисел в алгеб-
раической форме выполняются по правилам действий с
многочленами, заменяя i2 на |
-1. Например, равенство |
(1.2) можно получить так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z × z |
2 |
= (x + i y )(x + i y |
2 |
) = x x + i x y |
2 |
+ i x y + i2 y y |
2 |
= |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
= x1x2 - y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 ). |
|
|
|
|
|
Множество |
комплексных |
чисел |
обозначают |
буквой |
. Числа |
0 = 0 + 0i |
и 1 =1+ 0i |
на множестве |
|
имеют те же |
самые свойства, что и на множестве : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + 0 = z , z ×1 = z , z Î . |
|
|
|
|
|
На множестве |
вычитание вводится как операция, |
обратная сложению. Для каждой пары комплексных чисел
z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 существует, |
и при том только од- |
но, комплексное число z, такое, что |
|
z + z2 = z1 . |
(2) |
Действительно, из равенства (2), согласно правилу равенства и определению (1.1) суммы комплексных чисел,
следует |
z1 - z2 = = |
(x1 - x2 ) + i ( y1 - y2 ) . В частности, |
разность |
0 − z |
о б о |
з н а ч а ю т |
– |
z . |
Деление на множестве вводится как операция, об-
ратная
умножению, а частным от деления комплексного числа z1 на число z 2 называют такое число z, что имеет место равенство
|
|
|
z z2 = z 1 , |
|
|
(3) |
и обозначают z |
: z |
2 |
или |
z1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение 1. Доказать, что уравнение (3) для лю- |
бых комплексных чисел |
z1 и |
z 2 , |
где |
z2 ¹ 0 , |
имеет единст- |
в е н н о |
е |
|
р |
е |
ш |
е н и е |
|
|
|
|
z = |
z1 |
= |
x1x2 + y1 y2 |
+ i |
x2 y1 + x1y2 |
. |
(4) |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
+ y |
2 |
|
|
|
|
x 2 + y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
сопряженным |
|
Комплексное |
число |
|
|
x − i y |
|
|
|
называют |
комплексному числу |
z = x + i y |
(комплексно-сопряженным) и |
обозначают |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z , |
т.е. |
z = x − i y . |
В таком случае формула (4) вычисления ча- |
стного комплексных чисел может быть записана в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
= |
z1z2 |
. |
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
z2 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, чтобы разделить комплексное число |
z1 |
на z 2 |
достаточно числитель и знаменатель дроби ум- |
ножить на число, сопряженное со знаменателем. |
|
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 - 2i |
(3 - 2 i)(1- 3i) |
|
|
|
3 + 6i2 - 2i - 9i |
3 11 |
i . □ |
|
|
|
= 1+ 3 i 1- 3 i |
) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
- |
|
|
|
1+ 3i |
|
|
|
1+ |
3 |
2 |
10 |
10 |
|
|
|
( |
)( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения комплексно-сопряженного числа сле- д у е т , ч т о
z1 + z2 = z1 + z2 , z1 - z2 = z1 - z2 .
Упражнение 2. Доказать следующие свойства ком- плексно-сопряженных чисел:
1) |
|
|
= z × z |
|
, |
2) |
æ |
z1 |
ö |
= |
z1 |
, z |
|
¹ 0 . |
z × z |
|
|
|
2 |
2 |
ç |
|
÷ |
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
è z2 |
ø |
|
|
|
§ 3. Геометрический смысл комплексного числа
Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат. Действительную часть комплексного числа от- ложим на оси Ox , а мнимую – на оси Oy . Тогда на плоскости получим точку
(x; y) и, наоборот, каждой точке M (x; y) плоскости соответствует комплексное число z = x + i y (рис.1).
Таким образом, между множе- ством и точками плоскости уста-
навливается взаимно однозначное
соответствие. Плоскость, на которой изображаются ком- плексные числа, называется комплексной плоскостью, ось
Ox – действительной осью, а ось Oy – мнимой осью.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число x2 + y2 обозначают |
|
z |
|
и называют |
модулем |
|
|
комплексного числа z: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= |
|
x2 + y2 . |
(1) |
|
|
|
|
|
Комплексное число z = x + i y можно изобразить на комплексной плоскости как вектор, началом которого является начало координат, а концом – точка M (x; y) (рис.1). Этот вектор будем обозначать той же буквой z. Из формулы (1) видно, что z совпадает с дли-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н о й в е к т о р а z . |
|
|
|
Тогда число |
z1 + z2 |
изо- |
|
|
|
бражается |
вектором, |
по- |
|
|
|
строенным |
согласно |
правилу |
|
|
|
сложения векторов |
z1 и |
z2 |
|
|
|
(рис.2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а вектор z1 - z2 можно |
|
|
|
построить |
|
|
как |
|
сумму |
|
Р |
|
векторов |
z1 и |
-z2 . Рас- |
|
ис. 2 |
|
стояние между |
точками |
|
|
|
z1 и z2 равно длине вектора |
z1 - z2 , т.е. |
|
z1 - z2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение 1. Пользуясь рис.2, доказать, что для
всех комплексных чисел имеют место неравенства 
z1 - z2 
£ z1 + z2 £ z1 + z2 .
§ 4. Тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа
10. Тригонометрическая форма. Пусть z = z есть модуль комплексного числа z, а ϕ – угол между положительным направлением
действительной оси и вектором z, который отсчитывается от по- ложительного направления действительной оси (рис.3. 1).
Этот угол называют аргументом комплексного числа z(z ¹ 0) и обо-
Для числа z = 0 аргумент |
не определяется, |
поэтому |
далее, при использовании arg z , |
будем считать, что |
z ¹ 0 . |
Очевидно (рис. 3.1), что |
|
|
x = r cosϕ , y = r sinϕ . |
(1) |
Отсюда следует, что всякое комплексное число z = x + i y представ- |
ляется в виде |
|
|
z = r (cosϕ + isinϕ ) . |
(2) |
Запись комплексного числа z ¹ 0 в виде (2) называют
тригонометрической формой комплексного числа.
Из формул (3.1) |
и (1), учитывая, что |
|
z |
|
= r , находим: |
|
|
cosϕ = |
|
x |
|
, sinϕ = |
|
y |
. |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Система (3) имеет бесконечно |
много решений |
вида |
ϕ + 2π k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где k .
Это множество обозначается Arg z , при этом ϕ – зна- чение аргумента комплексного числа, которое принадле-
|
жит полуинтервалу −π < ϕ ≤ π |
, называется главным зна- |
|
ч е н и е м |
и |
о |
б |
о з |
н а ч |
а е т с я |
arg z . |
|
Используя |
(3), |
|
|
получим |
tgϕ = |
y |
. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
arg z = arctg |
y |
+π k , |
где |
k = 0 |
при |
|
|
ϕ |
|
£ π |
, k =1 при π < ϕ £ π и |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = −1 при π < ϕ £ |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Пример 1. Представить в тригоно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метрической |
форме |
комплексное |
число |
|
|
|
|
z =1- |
|
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Находим r = z = 
1+ 3 = 2 .
Т.к. данное комплексное число находится
в четвертой координатной четверти
|
|
(рис. 1), то |
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
ис. 1 |
æ |
- |
|
ö |
+ 0 ×π = -π . |
|
|
3 |
По- |
|
|
|
|
arg z = ϕ = arctg ç |
÷ |
|
|
ç |
1 |
|
÷ |
3 |
|
|
|
è |
|
ø |
|
этому
|
|
|
|
é |
æ |
|
π ö |
æ |
|
π öù |
|
æ |
π |
|
π |
ö |
. □ |
|
1- |
3 i = 2 |
- |
- |
= 2 |
- i sin |
|
êcosç |
3 |
÷ |
+ i sinç |
3 |
÷ú |
çcos |
3 |
3 |
÷ |
|
|
|
|
ë |
è |
|
ø |
è |
|
øû |
|
è |
|
ø |
|
20 . Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Тригонометрическая запись комплексного числа удобна для выполнения опера-
ц и |
й |
у м н о ж е н и я |
и |
д е л е н и я . |
П о |
к а |
ж е м , ч т о |
е с л |
и |
z1 = r1 (cosϕ1 + isinϕ1 ) , |
z2 = r2 (cosϕ2 + isinϕ2 ) |
, |
|
т |
о |
|
|
z1 × z2 = r1r2 (cos(ϕ1 +ϕ2 ) + isin(ϕ1 +ϕ2 )) . |
(4) |
В самом деле,
z1 × z2 = r1 (cosϕ1 + isinϕ1 )× r2 (cosϕ2 + i sinϕ2 ) =
=r1r2 ((cosϕ1 cosϕ2 - sinϕ1 sinϕ2 ) + i(cosϕ1 sinϕ2 + sinϕ1 cosϕ2 )) =
=r1r2 (cos(ϕ1 +ϕ2 ) + i sin (ϕ1 +ϕ2 )).
Полученное выражение является тригонометриче-
ской формой произведения z1 ×z2 , следовательно,
z1 × z2 = r1 r2 = z1 × z2 , arg(z1 × z2 ) = ϕ1 +ϕ2 = arg z1 + arg z2 .
Формула (4) имеет место для любого конечного числа сомно-
жителей: если z1 = r 1(cosϕ1 + isinϕ1 ) , z2 = r 2(cosϕ2 + i sinϕ2 ),K, zn = r n(cosϕn + isinϕn ) , то
|
z1 × z2 ×K× zn = |
|
= r1 × r2 ×K× rn ×(cos(ϕ1 +ϕ2 +K+ϕn ) + i sin (ϕ1 +ϕ2 +K +ϕn )). (5) |
Если z1 = r 1(cosϕ1 + isinϕ1 ), z2 = r 2(cosϕ2 + isinϕ2 ) , то |
|
z1 |
= r 1 (cos(ϕ1 -ϕ2 ) + isin (ϕ1 -ϕ2 )) , |
(6) |
z2 |
r 2 |
|
т.е. модуль частного двух комплексных чисел z1 и z2
равен частному модулей, а аргумент частного – разности аргументов:
z1 |
|
= |
|
z1 |
|
= |
r 1 |
, |
arg |
z1 |
= arg z |
- arg z |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
z2 |
|
|
r 2 |
|
|
z2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение 1. Доказать формулу (6).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя формулу (6) |
к |
|
частному случаю |
z1 =1, |
z2 = z = r (cosϕ + isinϕ ) , можно |
найти тригонометрическую |
форму обратного числа z-1 : |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1(cos0 + isin0) |
1 |
(cos(-ϕ ) + isin(-ϕ )) . |
|
z-1 = |
|
= |
|
|
= |
|
|
z |
r (cosϕ + isinϕ ) |
r |
|
30 . Показательная форма. Пусть имеем |
|
|
|
|
z = r (cosϕ + isinϕ ) . |
(7) |
Определим показательную функцию eiϕ с помощью |
формулы Эйлера |
|
eiϕ = cosϕ + isinϕ . |
|
|
|
|
(8) |
Тогда (7) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = r eiϕ . |
(9) |
Форма (9) называется показательной формой комплексного числа.
С помощью формулы (9) легко получаем правила ум-
ножения и деления комплексных чисел в показательной форме
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z |
2 |
= r r ei(ϕ1+ϕ2 ) |
, |
|
|
|
|
|
z1 |
= |
|
|
r1 |
ei(ϕ1-ϕ2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Записать в показательной форме число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(- 3 + i) |
|
|
|
|
|
- isin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
çcos |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
Каждое |
|
|
|
|
|
из |
|
|
|
|
чисел |
|
|
z1 = - |
3 |
+ i , |
z |
|
= cos |
æ π |
ö |
- isin |
æ π |
ö |
и z |
|
|
=1- i |
|
представим в показательной |
2 |
ç |
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
3 |
|
форме: |
è12 |
ø |
|
|
|
è12 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i×5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
z |
= 2e |
6 |
, |
z |
2 |
= cos |
|
- isin |
|
|
= cosæ |
- |
ö |
+ isin æ - |
ö = e-12 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-iπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
12 ø |
|
|
|
è |
12 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
= |
|
2 e |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда показательная форма данного числа имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i×5π |
|
× |
|
|
|
- |
iπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e 6 |
|
|
|
×e |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
|
|
|
|
|
|
|
= 2 eiπ . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
iπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 5. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа. Формула Муавра
|
10. Пусть дано комплексное число z = r (cosϕ + isinϕ ) . Требуется |
найти zn . Тогда по формуле (4.5) при z |
= z |
2 |
= z =K = z |
n |
= z |
|
|
1 |
|
3 |
|
и |
м |
е |
е |
|
|
м |
|
zn = (r (cosϕ + isinϕ ))n = r n(cos nϕ + isin nϕ ) . |
|
(1) |
Формула (1) называется формулой Муавра. Из нее следует, что для возведения комплексного числа в степень с натуральным показателем нужно возвести в эту степень его мо- дуль, а аргумент умножить на показатель степени.
Пример 1. Вычислить (1+ i)30 .
Решение. Найдем тригонометрическую форму числа 1+ i . Имеем
|
1+ i = |
|
æ |
π |
+ isin |
π |
ö |
. Тогда |
|
2 |
|
çcos |
4 |
4 |
÷ |
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
30 |
|
æ |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
π |
|
|
π öö30 |
æ |
|
|
|
30 æ |
|
30π |
|
|
|
30π öö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ i) |
|
|
= ç |
|
|
|
2 çcos |
|
+ isin |
÷÷ |
= ç( |
2 ) |
|
çcos |
|
|
+ isin |
|
|
÷÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
è |
è |
|
|
|
|
|
|
4 øø |
è |
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
øø |
|
15 |
æ |
æ |
6π + |
|
6π ö |
|
|
|
æ |
6π + |
|
6π |
öö |
|
15 |
æ |
|
|
3π |
|
|
3π |
ö |
15 |
|
|
|
= 2 |
çcosç |
|
|
|
|
÷ + isinç |
|
|
|
÷÷ |
= 2 |
çcos |
|
+ isin |
|
|
÷ = -2 |
i . |
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
2 |
|
|
è |
è |
|
|
|
4 ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
øø |
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
□ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если комплексное число задано в показательной |
|
форме |
z = r eiϕ , то zn = (r eiϕ )n = r nei nϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 . Корнем n-ой степени, |
nÎ ,n ³ 2 , из комплексного |
|
числа |
z |
|
называется |
число |
и |
такое, |
что |
un = z . |
Если |
|
z = r (cosϕ + isinϕ ) , а |
|
u = ρ (cosθ + isinθ ), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρn (cos nθ + isin nθ ) = r (cosϕ + isinϕ ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
ρ = n |
|
|
|
и nθ = ϕ + 2π k ,k , т. е. θ = ϕ + 2π k . |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ + 2π k |
|
|
ϕ + 2π k ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = n |
z = n r çcos |
|
|
|
|
+ isin |
|
|
|
|
|
÷ |
, k . |
|
(2) |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
362 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
