Математика для инженеров(теория)I том

Отметим, что равенства (4), (5) называются формулами Лапласа и они широко используются при вычислении определителей. Особенно полезно использовать разложение по тем столбцам (или строкам) опре- делителя, многие элементы которых равны нулю.

Рассмотрим теперь случай, когда некоторый столбец (a1;a2;...;an ) определителя есть линейная комбинация m (m ≤ n −1) столбцов

(b1;b2;...;bn ),(c1;c2;...;cn ),...,(d1;d2;...;dn ), т.е. выполняются равенства

где α1,α2 ,...,αm .

4) Линейное свойство определителя. Пусть в определителе для элементов некоторого j-го столбца выполняются равенства (7). Тогда

Из (9) непосредственно вытекает формула (8). □

Приведенные четыре свойства определителя являются основными. Приведем еще ряд свойств, вытекающих из них.

6) Общий множитель всех элементов некоторого столбца можно вынести за знак определителя.

Доказательство. Это вытекает из свойства 4) при условии, что

α2 = α3 = ... = αm = 0 . □

43

7) Если все элементы некоторого столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Доказательство. Данное свойство непосредственно вытекает из свойства 6), если считать, что все элементы этого столбца умножены на нуль, который можно вынести за знак определителя. □

8) Если все элементы двух столбцов определителя соответственно пропорциональны, то определитель равен нулю.

Доказательство. Действительно, в силу свойства 6) коэффициент

пропорциональности можно вынести за знак определителя и получить определитель с двумя одинаковыми столбцами, который, согласно свойству 5), равен нулю. □

9) Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произ- вольное число, то величина определителя не изменится.

Доказательство. Действительно, на основании линейного свой- ства 4) полученный в результате сложения элементов определитель можно представить в виде суммы двух определителей: один из них совпадает с исходным, второй равен нулю, т.к. имеет два пропорцио- нальных столбца. □

Очевидно, что свойство 9) можно обобщить так: если к некоторому

столбцу определителя прибавить линейную комбинацию нескольких других столбцов этого определителя, то величина определителя не изменится.

Особенно эффективны формулы Лапласа в случае, когда опре- делитель содержит много нулей. Когда нулевых элементов мало, то можно вначале привести определитель к треугольному виду, а затем его вычислить. Для вычисления определителей эффективно использовать свойство 9).

Пример 2. Вычислить определитель

Решение. Произведем следующие действия: а) из элементов первой строки вычтем утроенные элементы второй строки; б) из эле- ментов третьей строки вычтем удвоенные элементы второй строки; в) из элементов четвертой строки вычтем элементы второй строки.

Тогда определитель примет вид:

44

Разложим этот определитель по элементам первого столбца:

Прибавляя к элементам первой и второй строк элементы третьей строки, получим:

Разложим определитель по элементам первого столбца:

0−10

=− −7 −10 = 70 . □

30. Алгебраическое дополнение. Алгебраическим дополнением Aij

элемента aij определителя n -го порядка называют число (−1)i+ j Mij , где Mij –минор элемента aij . Таким образом, алгебраическое допол- нение элемента aij может отличаться от минора Mij только знаком.

Учитывая понятие алгебраического дополнения, перепишем формулы Лапласа (4), (5) так:

Установим еще два свойства определителей.

1) Свойство замены. Сумма произведений произвольных n чи- сел c1,c2 ,...,cn на алгебраические дополнения элементов i -ой строки,

i =1,n , матрицы A есть определитель матрицы A1 , которая получена из матрицы А заменой элементов i -ой строки на числа c1,c2 ,...,cn .

45

Действительно, пусть задана матрица A = (aij )1n . Рассмотрим n произвольных чисел c1,c2 ,...,cn , алгебраические дополнения элемен- тов i -ой строки Ai1, Ai2 ,..., Ain матрицы А и определитель матрицы A1 :

KK K K

нужно определитель A1 разложить по элементам i -ой строки с ис- пользованием формулы (10).

Упражнение 3. Проверить формулу (12).

2) Свойство аннулирования определителя. Сумма произведе-

ний элементов одной из строк на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки равна нулю, т.е.

вующими элементами i -ой строки. Но тогда определитель | A1 | имеет

две одинаковые строки и, значит, по свойству 20.5) равен нулю. Приведем без доказательства утверждение, касающееся опреде-

лителя произведения квадратных матриц.

Утверждение 1. Определитель произведения двух квадратных матриц A и B одинакового порядка n (n ³ 2) равен произведению

46

§ 4. Обратная матрица

10. Понятие обратной матрицы. Отметим, что для любого ненулевого вещественного числа a определено понятие обратного числа b – такого, что ab =1. По аналогии, для квадратной матрицы порядка n рассмотрим понятие обратной матрицы.

Будем говорить, что матрица A – невырожденная, если ее оп- ределитель det A ¹ 0 , и вырожденная – в противном случае ( det A = 0 ).

Присоединенной матрицей для A = (aij )1n называется матрица

где Aij (i, j =1,n) – алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A . Отметим, что алгебраические дополнения элементов i -ой строки (i =1,n) матрицы A находятся в i -ом столбце матрицы B .

Покажем, что для рассматриваемых матриц A и B имеет место

равенство

Каждый ее элемент cij (i, j =1,n) по определению произведения

матриц равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B . В частности,

для каждого элемента cii (i =1,n) , стоящего на главной диагонали мат-

рицы C , будем иметь сумму произведений элементов i -ой строки матрицы A на их алгебраические дополнения, которая по формуле

(3.11) равна det A . Для других элементов ci j , i ¹ j (i, j =1,n) , получим сумму произведений i -ой строки на алгебраические дополнения j -го столбца, которая по свойству аннулирования (3.13) равна нулю.

47

где E – единичная матрица, то матрица A% называется обратной для матрицы A .

Обратную матрицу для матрицы A обозначают A−1 и тогда ра- венство (2) принимает вид

Из (3) непосредственно вытекает, что для существования обратной матрицы необходимо, чтобы исходная матрица была квадратной, причем

обе матрицы A и A−1 имеют одинаковый порядок. Таким образом, понятие обратной матрицы имеет смысл только для квадратной.

20. Свойства обратной матрицы.

Утверждение 1. Матрица A имеет обратную матрицу A−1 то- гда и только тогда, когда матрица А невырождена.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица А имеет об- ратную A−1 . Тогда AA−1 = E . Отсюда получаем det (A× A−1) = det E .

Используя формулу (3.14), имеем det A×det A−1 =1. Отсюда следует,

что det A ¹ 0 .

Достаточность. Пусть det A ¹ 0 . Докажем, что

откуда и из равенства (3) получаем формулу (4). □

48

Отметим, что формула (4) дает способ нахождения обратной матрицы. Действительно, учитывая определение присоединенной матрицы B , формулу (4) можно записать в виде

Используя равенство (3), можно убедиться в том, что невырож-

денная матрица A имеет единственную обратную матрицу A−1 , для которой справедливы следующие свойства:

4) (AT )−1 = (A−1)T .

Упражнение 1. Доказать свойства 1) – 4).

30. Элементарные преобразования матрицы и применение их для построения обратной матрицы. К элементарным преобразо-

ваниям матрицы относятся:

1)умножение столбца (строки) матрицы на число, не равное нулю;

2)прибавление к одному столбцу (строке) матрицы другого столбца (строки), умноженного на произвольное число, не равное нулю;

3)перестановка местами двух столбцов (строк) матрицы.

Если матрица B получена из матрицы A с помощью элемен-

тарных преобразований, то будем говорить «матрица А эквивалента матрице В» и писать A ~ B .

Очевидно, что если A ~ B и B ~ C , то A ~ C .

Утверждение 2. Элементарное преобразование 3) можно получить последовательным использованием элементарных преобразований 1) и 2).

Упражнение 2. Провести проверку утверждения 2.

Утверждение 3. Каждое элементарное преобразование столбцов (строк) матрицы A порядка n (n ³ 2) эквивалентно умножению мат-

рицы A справа (слева) на матрицу, полученную из единичной матри- цы En при помощи такого же элементарного преобразования.

Доказательство утверждения 3 проведем в случае элементар- ных преобразований столбцов и элементарных преобразований 1) и 2).

Пусть матрица A1 получена из матрицы А в результате умноже- ния i -го столбца на число λ ¹ 0 . Используем это преобразование для матрицы En , в результате получим матрицу B . Тогда:

49

Для изложения метода построения обратной матрицы A−1 с по-

мощью элементарных преобразований используем приведенное ниже вспомогательное утверждение.

50

Утверждение 4. Любую невырожденную матрицу можно пре-

образовать в единичную с помощью элементарных преобразований только столбцов (или только строк).

Доказательство проведем методом математической индукции (в случае элементарных преобразований только столбцов). Если мат- рица А имеет первый порядок, то, очевидно, что утверждение 4 имеет место. Пусть утверждение 4 справедливо для любой матрицы порядка n -1 и докажем его справедливость для произвольной матрицы A порядка n , n ³ 2 .

В силу невырожденности, среди элементов первой строки мат- рицы A имеются ненулевые. Общность доказательства не нарушится,

51

только столбцов можно привести к единичной матрице порядка n −1. Тогда матрица A2 ~ A3 вида:

К первому столбцу матрицы A3 прибавим линейную комбинацию второго, третьего,…, n -го столбцов, умноженных соответственно на -a21′ ,-a31′ ,...,-an′1 . В результате получим единичную матрицу порядка n , т.е. с помощью элементарных преобразований только столбцов имеем:

A ~ A1 ~ A2 ~ A3 ~ E , значит A ~ E .

Аналогично доказывается утверждение 4 и для элементарных преобразований только строк. □

Если использовать в той же последовательности все элементарные преобразования только столбцов (строк) матрицы En , при помощи

которых невырожденная матрица A порядка n преобразуется в единич- ную, то полученная матрица будет обратной к матрице A .

Действительно, осуществим элементарные преобразования столб- цов (строк) матрицы A , которые приведут ее к единичной матрице En .

Такие же преобразования и в той же последовательности произведем с матрицей En . В результате получим некоторую матрицу В. Тогда,

цы A и E через черту одна под другой, если преобразуются столбцы, или рядом, если преобразуются строки. Матрица, полученная на месте единичной после того, как матрица А преобразуется в единичную,

и будет матрицей A−1 .

52