Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(практика) I часть

.pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 388 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

12)	(80 -11x3 + 4x4;10 - 2x3 + x4; x3; x4 ) ; 13)																																																											æ		5				;			1						;		1					;					3			ö		;
																																																												ç																														÷
																																																												ç		4							4								4										4			÷
																																																														4							4								4										4																										è													ø
	æ	17												x													11x																													x												x																							ö										æ17													10											22									4		ö
14)	ç						+										3				-																4			; 2								+					3										+									4							; x3 ; x4 ÷													; 15)									ç										;							;-											;			-				÷	;
14)	ç	3					+						6								-								18											; 2								+					2										+							6									; x3 ; x4 ÷													; 15)									ç						3				;				3			;-								3			;			-		3		÷	;
	è	3											6																18																								2																	6																					ø										è						3								3											3								3		ø
16)	æ	3 +								x4											-	3x5									;-5 +																	x4								+					x5							;28 - x																						+ x ; x ; x																	ö			;
16)	ç	3 +																			-										;-5 +																									+												;28 - x																				4		+ x ; x ; x																	÷			;
	ç									4														4																								4															4																									4				5					4				5						÷
	è									4														4																								4															4																																												ø
17)	æ	15				-							x			4					;			16								+						7 x							4					;		20										+					13x													4				; x4						ö	; 18) (13 - 7x4;8 - 5x4;3 + 2x4; x4 ) ;
	ç															4																													4																																			4										÷
	ç	11											33											11																												11																		11																				÷
	è	11											33											11																33												11																		11																				ø
19)	æ			14														13x											4											1																	3x						4							23																40x					4							ö			; 20)													æ 25											;	31						; -				1			;	23 ö
	ç	-											-																4					;		-														-													4				;														+										4	; x4 ÷																						ç																														÷	;
	ç	-		29									-								29													;		-				29										-			29														;			29											+							29				; x4 ÷																						ç				3								6										2								÷	;
	è			29																	29																			29													29																	29																		29										ø																è				3								6										2						6 ø
21)	нет решений.; 22)																																												æ				11						;-								3			;-									1					;-1ö									; 23)							æ		31					+					10x4									;			13					+			6x4							;14 +							9x4			; x	ö	;
21)	нет решений.; 22)																																												ç										;-											;-														;-1ö									; 23)							æ							+														;								+										;14 +										; x	÷	;
																																													ç					2 2 2																																				÷										ç		7												7 7																			7													2			4	÷
																																													è					2 2 2																																				ø										è		7												7 7																			7													2				ø
24)	æ	5x									- 2x ;-10 + 8x																																												- 3x ;-																							x4							+ x ; x											; x					ö				;
24)	ç	5x			4						- 2x ;-10 + 8x																																							4					- 3x ;-																														+ x ; x								4			; x									;
	ç				4																5																													4																5															2									5			4					5 ÷
	è																																																																																2																				ø
25)	æ		31			+						10x4															;			13							+							6x4												;14 +															9x4													; x						ö;		26)									æ -							3		;-						9			;-							27					+ x ;-										3		- x ; x				ö	;
25)	ç					+																					;										+																			;14 +																												; x					4	ö;		26)									æ -									;-									;-												+ x ;-												- x ; x					;
	ç	7															7															7													7																											2																	4	÷											ç							8 8 16																										5						8					5 5 ÷
	è	7															7															7													7																											2																		ø											è							8 8 16																																8							ø
	æ	-			2						;		-							1				; -								4						;		7 ö																											æ					5							; -							1				; -		1				;	-				1 ö
27)	ç																																														÷ ; 28)																				ç																																							÷				;
27)	ç				9															9												9															÷ ; 28)																				ç					4														4						2									2					÷				;
	è				9															9												9								9 ø																											è					4														4						2									2				ø
29)	æ	8 -							2x4										+						x5							;2 +													x4						+							x5						;1+															11x4										-		x5			; x						; x								ö		;
29)	ç	8 -																	+													;2 +																			+													;1+																									-					; x				4		; x								÷		;
	ç									3																3																			6								6																														6								6							4			5							÷
	è									3																3																			6								6																														6								6																	ø
30)	æ	-x													+	10x5													;				2x5									;				3x4															-		11x5													; x										; x				ö ; 31) (4;4;8;4);
30)	ç	-x				4									+														;													;																			-															; x							4			; x				ö ; 31) (4;4;8;4);
	ç					4															3															3												2																			3																4						5 ÷
	è																				3															3												2																			3																							ø
32)	æ1+							x4							;			5					+					x4								;			8				+							3x4									; x ;													11									-					20x4						ö		; 33) (5;–5;–15;–5);
32)	æ1+														;								+													;							+																; x ;																						-											÷		; 33) (5;–5;–15;–5);
	ç									2							7									14												7												14																4						7																	7			÷
	è									2							7									14												7												14																						7																	7			ø
34)	(–3;–3;–2;0); 35)																																							æ														2 -			3x4								+								x5									;3 -								5x4			+				x5					;			7				+					3x4								-					x5			; x ; x										ö		;
34)	(–3;–3;–2;0); 35)																																							ç														2 -											+																	;3 -											+									;							+													-								; x ; x										÷		;
																																								ç													2																			2																		4								4							3										4											12								4			5			÷
																																								è													2																			2																		4								4							3										4											12														ø
	æ																	x			4																				x												ö										; 37) (-10																											+ 5x4;-16 + 8x4;-8 + 4x4; x4 ) ;
36)	ç	6;-2 +																			4					;-7 +															4									; x4 ÷
36)	ç	6;-2 +																		2						;-7 +														2										; x4 ÷
	è																			2																				2													ø
38)	(–4;–7;–27;–1); 39)																																															æ				4 + x ;-11- 6x ;-																																											15				-					7x4								; x						ö					;
38)	(–4;–7;–27;–1); 39)																																															ç				4 + x ;-11- 6x ;-																																															-													; x						÷					;
																																																ç															4																											4						2									2										4			÷
																																																è																																																2									2													ø
40)	æ	-		2				+						x5							;2 +														x5					;				4				+						x5							;-								8					+ x ; x																ö		. 4. 1) æ															-				151										;			143							;		101					ö ;
	ç													x5																					x5																			x5

				5 2																																2 5 2																															5																5						5 ÷												ç												87 87 29																								÷
	è			5 2																																2 5 2																															5																							ø											è												87 87 29																								ø

2) несовместна; 3) несовместна; 4)	æ	879	; -	168	; -	171	ö	; 5) несовместна;
	ç						÷
		305		305		305
	è						ø

6)	æ	8	;	3	; -	12	ö	; 7) (402;136;–80); 8)	æ	-	8	;	96	;-	16	ö	; 9) несовместна;
	ç						÷		ç							÷
		25		5		25					7		7		7
	è						ø		è							ø

10)

;14;

; 11)

; 2;

-2; -

; 12) несовместна; 13) несовместна;

14) (–11;–3;44;11); 15)

;

12 ö

; 16) несовместна; 17) (1;2;0;–1);

è17

17 ø

18)

; 19)

-7;

; 20)

(-15;-6;-14) ; 21) несовместна; 22) несо-

;

;28÷

вместна; 23) (0;1;0;1); 24) (3;1;0;–4); 25)

æ1-

4x4

;-1-

3x4

14x4

; x

;

4 ÷

26) (–1;2;3;1); 27) несовместна; 28) (−1;−2;−3) ; 29)

ç1

; x3 ÷ ;

30) несовместна. 5. 1) (-1;4;0),

(-2;0;-2) ; 2)

æ13

(0;8;2) ,

;

;0÷,

è 5

(0;-6;13),

(2;0;3) ; 3) (7;0;-2), (5;-2;0) ,

(0;-7;5) ; 4) (0;-2;-3),

7 ö æ

; 5)

, (-1;0;3) , (-5;-5;0) ; 6)

ç -

;0;-

÷,

;7;0÷

ç0;

;

3 ø è

æ 34

40 ö

-40;0) ; 7) (0;-3;-6),

æ 3

æ 6

;0;

(18;

;0;

÷,

÷ ;

è 13

13 ø

è 2

è 5

11ö

3 ö

1 ö

;0;

÷ ,

ç0;

;

; 9)

;

;0;-

÷,

8 ø

2 ø

æ 4

(7;2;0) ; 10) (1;2;0),

(0;-8;-4) ,

;0;-

; 11)

;0;1÷

ç0;1;

è 5

;2;0

; 12)

;0;

9 ö

, (0;-1;1) ,

æ 3

; 13) (-5;0;

-19),

(0;5;-4),

5 ø

è 4

æ 1

æ12

34 ö

;

÷ ; 14) (0;2;0), (8;0;8) ; 15)

;

;0÷

;

;0;

÷,

è 2

è 7

7 ø

46 ö

(0;16;12;-2),ç

;0;-

;

÷ ; 16)

;

÷,

(-8;0;0;-4),(0;16;-16;20) ; 17) (-5;3;6;0),(-8;0;3;3) , (0;8;11;-5), (-11;-3;0;6) . 6. 1) Если a = 1 , то (x; y; z;1- x - y - z) ; если a ¹ 1 , то

æ 2(a2

- 4)

4(2 - a)

2(a - 4)

;

; 2) ç

;

÷ ;

a(a

- 3) a(a - 3) a(a - 3)

è a + 3 a + 3 a +

3 a + 3 ø

æ 1+ 4a

-5-2a

-a -8

;

4a2 -7a +12

;

; 4)

÷ ; 5)

-2)(a +1) (a -2)(a +1)

-1

a +1 a +1

-1

è (a

a +1ø

è a

-5a

;

3 - 8a

;

; 6) если a = 0 , то (1- y

- z; y; z) ; если a ¹ 0 , то

2(a -1)

a -

è a -1

1ø

2(3a -1)

2(a2 -1)

+ 3a - 2

Одно-, двух-,

;

; 7)

ç -

;

÷ . 7.

a - 3

è a + 3 a + 3 a +

3 ø

трехкомнатных квартир в доме соответственно 4, 20, 16. 8. Изделий типа A1 - 6, A2 - 4, A3 - 8 штук. 9. 4 цеха обработки, 3 цеха сборки мелких деталей, 2 цеха сборки крупных узлов.

ГЛАВА 2

МЕТОД КООРДИНАТ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

§ 1. Cистема координат на плоскости и в пространстве

Рассмотрим числовую ось, т.е. прямую с выбранным на ней направлением и единицей масштаба. Пусть А и В две произвольные точки на оси.

Отрезок с граничными точками А и В называется направленным, если указано, какая из точек А или В считается началом, а какая – концом отрезка.

Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В обозначим AB и будем считать, что он направлен от начала к концу. В записи AB букву, обозначающую начало отрезка, пишут первой, а букву, обозначающую его конец, – второй.

Длиной направленного отрезка

AB называют расстояние

между его концами и обозначают

uuur

или

Величиной

АВ

направленного

отрезка AB

называется

вещественное число,

равное

uuur

, если направление отрезка и

оси совпадают,

равное

−

uuur

если

эти

направления

противоположны.

Пусть на произвольной прямой задан направленный отрезок AB ; тогда всякая третья точка С этой прямой делит отрезок АВ в некотором отношении λ , где λ = ± AC : CB . Если

отрезки AC и CB направлены в одну сторону, то λ приписывают знак «+»; если же отрезки AC и CB направлены в противоположные стороны, то λ приписывают знак «−». Иными словами, λ положительно, если точка С лежит между

точками А и В, и отрицательно, если точка С лежит на прямой вне отрезка АВ.

Пример 1. Доказать, что для любых трех точек А, В и С на оси, на которой выбрана масштабная единица, имеет место соотношение

AB + BC = AC .

(1)

Решение. Если все три точки А, В и С различны, то их взаимное расположение может быть таким, как показано на рис. 1. Кроме того, возможны случаи, когда две из точек А, В и С или все три совпадают. В первом случае (см. рис. 1), согласно равенству (1), длина отрезка равна сумме длин его частей, и,

следовательно, оно справедливо. Во
втором случае	CA + AB = CB , т.е.

	AB − CB = −AC или AB + BC = AC .
	Пусть теперь точки А и В
	совпадают.
	Тогда AB + DC = AA + AC = 0 + AC = AC ,
	т.е. равенство (1) верно. Проверка осталь-
Рис. 1	ных случаев, когда возможны совпадения
точек аналогична. □

10. Прямоугольная декартова система координат на плоскости. Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба (рис. 2), образуют прямоугольную декартову систему координат на плоскости. Отметим, единица масштаба на осях Ох, Оу может быть разной.

Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат.

Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется

координатной плоскостью и обозначается Оху.

Пусть М – произвольная точка плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ соответственно на оси Ох и Оу.

Прямоугольными координатами х и у точки М будем называть соответственно величины ОА и ОВ направленных отрезков OA

и OB : x = OA, y = OB.

Рис. 2 Рис. 3 Координаты х и у точки М называются, соответственно, ее

абсциссой и ординатой (обозначение M (x; y) ). Точка О имеет координаты (0;0).

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их называют

четвертями, квадрантами или координатными углами и

нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV так, как показано на рис. 3. На рис. 3 также указаны знаки координат точек в зависимости от их расположения в той или иной четверти.

Для любых двух точек M1(x1; y1) и M2 (x2 ; y2 ) плоскости расстояние d между ними выражается формулой


d = (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 .			(2)

Координаты точки C(x; y) , делящей отрезок между

точками A(x1, y1) и B(x2 , y2 ) в заданном отношении λ , определяются по формулам

x =

x1 + λx2

; y =

y1 + λ y2

1+ λ

Пример 2. Даны точки M1(−2;3)

и M2 (5;4) . Найти расстояние

между ними.

Решение. Пользуясь формулой (2), находим

= 5

. □

d = (5 − (−2))2 + (4 − 3)2 =

49 +1

Пример 3. Даны точки A(0;1), B(−2;3) и C(1;4). Найти

площадь треугольника АВС.

Решение. І-ый способ. Найдем по формуле (2) длины стороны треугольника: AB = 4 + 4 = 8 = 22; BC = 9 +1 = 10;

1+ 9

10.

Для вычисления

площади

треугольника

воспользуемся формулой Герона S =

p( p -

)( p -

) ,

где р − полупериметр треугольника, т.е.

p =

. Имеем,

с учетом, что p =

S= (10 + 2) × 2 × 2 × (10 + 2 - 8) = 2(12 + 45 - 45 - 4) =

=16 = 4 .

ІІ-ой способ.		Плащадь				треугольника				АВС			с вершинами
A(x1; y1), B(x2; y2 ), C(x3; y3) определяется по формуле
S =	1	x (y		- y ) + x ( y - y ) + x ( y - y										)	=
	1

2		1	2	3		2	3		1	3		1	2
2		1	2	3		2	3		1	3		1	2
=	1	(x - x )(y - y ) - (x - x )(y									2	- y )		.
	1

2		2		1	3	1		3	1			1
2

Подставляя соответствующие координаты вершин данного треугольника будем иметь S = 12 0 + (-2) ×3 +1×(-2) = 12 -8 = 4. □

Пример 4. Даны точки M1(1;1) и M2 (7;4) − концы отрезка

M1M2 . Найти на этом отрезке точку M (x; y) , которая в два раза ближе к точке M1 , чем к точке M2 .

λ =

Решение. Так как

, то

M1M

MM2

M1M

MM2

Имеем x1 =1, y1 =1, x2 = 7, y2 = 4 . Следовательно

1+	1	×7		9	3			1+	1	× 4		3
1+	2	×7		9	3			1+	2	× 4		3
x =			=		:		= 3, y =				= 3:		= 2,
x =		1	=	2	:	2	= 3, y =			1	= 3:	2	= 2,
1+								1+
1+		2						1+		2

то есть M (3;2) . □

20. Прямоугольная декартова система координат в

пространстве.

Такая

система

координат Охуz определяется

заданием

масштабной единицы

измерения

длин

трех

пересекающихся в

одной

точке

взаимно перпендикулярных осей:

Ох, Оу, Оz. Точка О – начало

координат, Ох – ось абсцисс, Оу

– ось ординат, Оz – ось аппликат.

Пусть М –

произвольная

точка пространства (рис. 4).

Опустим

из

точки

перпендикуляры

MM0

(на

Рис. 4

плоскость Оху) и MM1 (на плоскость

Оxz). Из точки

опустим перпендикуляры

M0M x

и M0M y

соответственно на оси

Ох и Оу, а из точки M1

опустим перпендикуляр M1M z на ось Оz.

Прямоугольными

координатами точки

называют

числа

x = OM x , y = OM y ,

z = OM z ,

при этом х называют абсциссой, у

– ординатой, а

z –

аппликатой точки М. Обозначение M (x; y; z) .

Плоскости Оху, Оуz, Охz назовем координатными плоскостями. Они делят все пространство на восемь частей,

называемых октантами.
Расстояние между			двумя		точками M1(x1; y1; z1)				и
M2 (x2 ; y2 ; z2 ) определяется так:

d = (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 .									(3)
Если отрезок с концами в точках M1 и M2 разделен
точкой M (x; y; z) в отношении λ , то
x =	x1 + λ x2		, y =	y1 + λ y2		, z =	z1 + λ z2	.

		1+ λ		1+ λ			1+ λ

При

λ = 1 точка

М делит

отрезок

M1M2 пополам, и

формулы принимают вид:

xср =

x1 + x2

, yср

y1 + y2

, zср =

z1 + z2

Пример 5. Даны точки M1(4;8;-4) и M2 (-4;8;4) .

На отрезке

M1M2 найти точку M , которая делит его в отношении λ = 6.

Решение. Так

как

x1 = 4, y1 = 8, z1 = -4, x2 = -4, y2 = 8, z2 = 4,

будем иметь

x =

4 + 6×(-4)

= -

, y =

8 + 6 ×8

= 8, z =

-4 + 6 × 4 =

Таким образом, искомая точка M ç

;8;

÷ . □

Пример 6. На оси Ох найти точку М, равноудаленную от точек

M1(4;-8;10) и M2 (-6;4;14).

Решение. Так как искомая точка лежит на оси Ох, то она имеет координаты M (x;0;0). Найдем расстояния d1 и d2 от этой точки до

точек M1 и M2 соответственно:

d1 = (x - 4)2 + 82 + (-10)2 = x2 - 8x +180 ,

d2 = (x + 6)2 + (-4)2 + (-14)2 = x2 +12x + 248.

По условию d1 = d2 . Для определения координаты х имеем уравнение:

x2 +12x = 248 = x2 - 8x +180.

Откуда 20x = −68 или x = −3,4. Искомая точка M (−3,4;0;0). □

Пример 7. Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами M1(4;6;8), M2 (6;2;4) и M3 (8;-2;6).

Решение. Центром тяжести треугольника называется точка пересечения его медиан. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Найдем координаты точки М − середины отрезка M1M2 . Имеем

x =

4 + 6

= 5, y =

6 + 2

= 4, z

ср

4 + 8

= 6.

ср

Точка О, центр тяжести, делит отрезок M3M в отношении 2:1,

считая от точки M3 .

Следовательно, координаты точки О

определяются по формулам

x =

8 + 2×5

= 6, y = -2 + 2 × 4 = 2, z =

6 + 2 ×6

= 6.

1+ 2

Таким образом, имеем O(6;2;6) . □

30. Полярная система координат. Кроме декартовой системы координат на плоскости широко используется

полярная система координат. Эта система состоит из точки О,

называемой полюсом, и исходящего из нее луча ОЕ, называемого полярной осью. Задается также единица масштаба для измерения длин отрезков.

Пусть задана полярная система координат и пусть М – любая точка плоскости. Обозначим через ρ расстояние от точки

М до точки О, а через ϕ − угол, на который нужно повернуть

против часовой стрелки полярную ось для совмещения с лучом

ОМ (рис. 5).

Полярными координатами точки М называются числа ρ и ϕ . Число ρ считают первой координатой и называют полярным радиусом, число ϕ – второй координатой и называют полярным углом.

Рис. 5

Рис. 6

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 388 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202563 Кб4Март 2017.docx
#
14.04.201961 Кб7Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192 Мб64Мат Моделирование (конспект).doc
#
01.04.20252 Мб6МАТ.АН_1КУРС_3,4ГРУППА_ПИЦЕВИЧ.docx
#
01.03.202565 Кб3матан 1-13.docx
#
18.02.20163 Мб126Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164 Мб138Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161 Мб70Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
01.07.2025526 Кб0Материал к госэкзамену для заочников.doc
#
01.05.2025108 Кб1материал к кср налоговое.docx