Matematicheskaya_statistika_v_meditsine

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный медицинский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

формулой: p x =

. Найти математиче-

.pdf

Скачиваний:

134

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

6 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

σ x =

D x .

Внашем случае:

σx = 2.76 = 1.66

д) Для построения многоугольника распределения вдоль оси абсцисс откладываем возможные значения случайной величины, вдоль оси ординат – вероятности этих значений:

Пример 9. Для дискретной случайной величины, заданной следующим законом распределения (см. таблицу ниже) построить функцию распределения и определить вероятность того, что данная случайная величина попадёт в интервал 2;3 .

	X		2	3		4	5
	P		0.1	0.2		0.6	0.1
	Решение:
	По определению функция распределения – это вероятность того, что случайная вели-
чина	X	будет меньше заданного числа		x , т. е.	F X = P X < x . Для нашего случая функция

распределения будет строиться следующим образом: будем определять вероятности того, что случайная величина будет меньше наибольшего числа из данного интервала.

	1. < x < 2 .
	Наибольшее число в данном интервале равно 2, поэтому находим вероятность того, что
СВ	X будет меньше 2 – это и будет значение функции распределения на данном интервале:
	F = P X < 2 = 0 . Данная вероятность будет равна 0, т. к. в таблице нет значений СВ
меньших 2, т. е. появление СВ X < 2 является невозможным событием.
	2. 2 x < 3 .
	Наибольшее число в этом интервале равно 3, поэтому находим вероятность того, что
СВ	X будет меньше 3 – это и будет значение функции распределения на данном интерва-
ле:	F = P X < 3 = P2 = 0.1. Данная вероятность будет равна 0.1, так как в таблице есть

только одно значение СВ меньшее 3, и это значение равно 2, а его вероятность равна

P2 = 0.1.
	3. 3 x < 4 .
	Наибольшее число в этом интервале равно 4, поэтому находим вероятность того, что
СВ	X будет меньше 4 – это и будет значение функции распределения на данном интерва-
			P
ле:	F = P X < 4	= P2 +	3 = 0.1+0.2 = 0.3. Данная вероятность будет равна 0.3, так как в

таблице есть два значения СВ меньшие 4 – это 2 и 3. В силу того, что СВ может принимать

оба значения (при этом одно значение исключает другое), то события X = 2 и

X = 3

явля-

ются несовместными, и вероятность осуществления одного из них равна сумме их вероятно-

стей, т. е. P + P = 0.1+0.2 = 0.3 .

2 3

4. 4 x < 5 .

	Наибольшее число в этом интервале равно 5, поэтому находим вероятность того, что
СВ	X будет меньше 5 – это и будет значение функции распределения на данном интерва-
ле:		P	P
	F = P X < 5 = P2 +	3 +	4 = 0.1+0.2+0.6 = 0.9 . Данная вероятность будет равна 0.9,

так как в таблице есть три значения СВ меньшие 4 – это 2, 3 и 4. В силу того, что СВ может принимать три значения (при этом одно значение исключает другие), то события X = 2 ,

X = 3 и X = 4 являются несовместными, и вероятность осуществления одного из них равна
сумме их вероятностей, т. е.	2 +	3 +	4 = 0.1+0.2+0.6 = 0.9 .
	P	P	P

5. 5 x < + .

Наибольшее число в этом интервале равно +∞ поэтому находим вероятность того, что

СВ X	будет меньше +∞ – это и будет значение функции распределения на данном интерва-
ле:	F = P X <+ = P2 + P3 + P4 + P5 = 0.1+0.2+0.6+0.1=1.

Данная вероятность будет равна 1, так как все значения СВ в таблице меньше +∞. В си-

лу того, что СВ может принимать все возможные значения, указанные в таблице, то вероят-

ность того, что СВ примет одно из этих значений, равна сумме вероятностей этих значений,
т. е. P + P + P + P = 0.1+0.2+0.6+0.1= 1.
2	3	4	5

Окончательно записываем функцию распределения СВ

X :

	0,
		0.1,
		0.1,


	F ( X ) 0.3,

	0.9,

		1,

	Вероятность

лой: P α x β =

распределения была P 2 x 3 =

при	< x < 2;
при	2 x < 3;
при	3 x < 4;
при	4 x < 5;
при	5 x < + .			α; β
попадания СВ		X	в интервал	α; β	определяется

F β F α . Используем эту формулу для нашего случая вычислена выше) и получим искомую вероятность:

F 3 F 2 = 0.3 0.1= 0.2 .

форму- (функция

ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Напомним, что законом распределения случайной мость вероятности значений СВ от этих значений, т. е. P x

величины

называется зависи-

Рассмотрим несколько теоретических законов распределений случайных величин, которые часто используются в качестве моделей в медико-психологических исследованиях.

3.1. Биномиальное распределение

Пусть проводятся

независимых испытаний, в каждом из которых происходит (с ве-

роятностью p ) или не происходит (с вероятностью q =1 p ) событие A . Тогда вероятность того, в серии из n испытаний событие A произойдёт ровно x раз, определяется по формуле

x	p	x	q	n x	. Случайная величина X , состоящая в том, что событие A про-
Бернулли: Pn x = Cn
изошло x ( x = 0 , x = 2			, … ,			x = n ) раз в n независимых испытаниях, будет распределена по
биномиальному закону.

Без доказательств приведём основные свойства данного распределения:


1.	Математическое ожидание данного распределения определяется по формуле:
M X = np .
2.	Дисперсия данного распределения определяется по формуле:
D X = npq .
3.	Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:
σ X =		npq .
4.	Для вычисления вероятности значения СВ				x = 0 можно использовать формулу:
pn 0 = q		n		.

5.	Для вычисления вероятности значения СВ				x = n можно использовать формулу:
pn n = p			n	.

6. Если известно, что СВ подчиняется биномиальному закону распределения, то вероятности её возможных значений связаны рекуррентной формулой (следующее значение считается через предыдущее):

P	x = P x 1	n x +1

n	n	x

p q

3.2. Распределение Пуассона

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых (с вероятностью

p ) происходит или не происходит (с вероятностью

q =1 p ) событие

A . Тогда при боль-

шом числе испытаний n и малой вероятности события A ( p < 0.1), при выполнении условия

= np <10	, вероятность того, что событие				A произойдёт	x	раз в	n испытаниях, определя-
ется по формуле Пуассона: Pn x =			x	e
					. Случайная величина			X , состоящая в том, что

		x!
		x!
событие A	произошло x ( x = 0 , x = 2			, … , x = n ) раз в		n	независимых испытаниях, будет
подчинятся распределению Пуассона.

Без доказательств приведём основные свойства данного распределения:

1.Математическое ожидание данного распределения определяется по формуле:

M X = = np .

2.Дисперсия данного распределения определяется по формуле:

D X = = np .
3. Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:
σ X =	=		np .
4. Для вычисления вероятности значения СВ					x = 0	можно использовать формулу:
Pn 0 = e		.
Pn 0 = e		.
5. Для вычисления вероятности того, что событие						A произойдёт хотя бы 1 раз в
пытаниях можно воспользоваться формулой:
Pn 1 =1 Pn 0 =1 e				.
Pn 1 =1 Pn 0 =1 e				.

ис-

6. Если известно, что СВ подчиняется распределению Пуассона, то вероятности её возможных значений связаны рекуррентной формулой (новое значение считается через предыдущее):

P	x = P x 1

n	n	x

Рассмотрим два распределения, относящихся к классу непрерывных распределений случайных величин. В отличие от дискретных СВ, где дискретному набору значений сопоставляется дискретный набор вероятностей этих значений, у непрерывных СВ значение из интервала связано с собственной вероятностью функцией p(x) , называемой плотностью

вероятности. Как и закон распределения, функция распределения подчиняется условию нормировки:

+ p x dx

, по аналогии с

n Pi i=1

3.3. Равномерное распределение
Данное распределение характеризуется тем, что все значения СВ				X	из интервала a;b
имеют одинаковую плотность вероятности			p x , равную:
1
p x =		.
p x =	b a	.

Без доказательств приведём основные свойства данного распределения:

1. Математическое ожидание данного распределения определяется по формуле:

M X =	b a	.
M X =	2	.
	2
2. Дисперсия данного распределения определяется по формуле:
D X =	b a 2 .
	12						α; β (при условии, что
3. Вероятность того, что СВ					X	будет находиться в интервале	α; β (при условии, что
a α < β и α < β b ) определяется по формуле:
P α X β =			β α	.
P α X β =				.
			b a

3.4. Нормальное распределение

Данное распределение характеризуется тем, что плотность вероятности СВ X зависит от значения x по следующему закону:

			x μ
				2
p x =	1			2
	1	e	2σ	2	, где	μ	– математическое ожидание СВ	X ,	σ	– среднее квадра-
			2σ

σ	2π

тическое отклонение данной величины.

Следует отметить, что нормальное распределение с параметрами

μ = 0

σ = 1

называ-

ется нормальным стандартным распределением (часто просто «стандартным распределением»).

Без доказательств приведём основные свойства данного распределения:

1. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение для данного рас-

пределения составляют соответственно:									μ и σ .
Плотность вероятности стандартной нормально распределённой случайной величины
описывается формулой:
(x) =	1	e	x	2	/ 2	.
	1		x		/ 2
	2π
	2π
2. Вероятность того, что нормально распределенная СВ попадёт в интервал α, β опре-
деляется по формуле:
					β μ			α μ	, где Φ z – функция Лапласа (см. таблицу 2).
P α X β = Φ							Φ		, где Φ z – функция Лапласа (см. таблицу 2).
						σ		σ

3. Вероятность того, что нормально распределённая СВ отклонится от своего математического ожидания не более чем на величину равна:

P X μ <

4. Примерно дятся в интервале


= 2Φ	.
	σ

99.74% всехμ 3σ; μ +3σ

возможных значений нормально распределенной СВ нахо-. Данное правило называется правилом «трёх сигм» и широ-

ко используется для оценки диапазона значений СВ.

5.Медиана и мода нормального распределения совпадают и равны математическому ожиданию.

6.График плотности вероятности нормально распределённой СВ имеет характерную симметричную (относительно µ) колоколообразную форму:

7. Биномиальное распределение, распределение Пуассона, распределения Стьюдента, χ2-Пирсона и др. при больших количествах испытаний стремятся к нормальному.

Примеры решения задач Пример 10. Вероятность синтеза некоторого вещества в химическом опыте равна

p = 0.75

. Составить случайную величину

– количество удачных синтезов вещества в

серии из 4 испытаний. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Так как данная задача удовлетворяет схеме Бернулли, то СВ X будет подчиняться биномиальному закону распределения. Используя приведённые выше формулы, находим вероятности соответствующих значений:

X = 0 :

ле:

P	0 = q
	4
4

= 0.254

0.004

. Далее находим вероятности по рекуррентной форму-

X X X X

= = = =

1 2 3 4


P4	1 = P4 0		4 1+1		0.75		= 0.004			4 3= 0.047 ,
				1	0.25

P4	2 = P4	1		4 2+1		0.75			= 0.047		1.5 3= 0.211,
				2		0.25

P	3 = P 2			4 3+1		0.75		= 0.211 2 / 3 3= 0.422 ,

4	4			3		0.25

P4	4 = P4	3		4 4+1		0.75			= 0.422		1/ 4 3= 0.316 .
				4		0.25

Строим закон распределения СВ

X	0		1	2	3	4
p	0.004		0.047	0.211	0.422	0.316
	0.004		0.047	0.211	0.422	0.316

Так как известно, что СВ		X	подчиняется биномиальному закону распределения, то для
вычисления её параметров используем указанные формулы:
M x = np = 4 0.75 = 3 ,
D X = npq = 4 0.75 0.25 = 0.75 ,

σ X =

npq

4 0.75 0.25 =

0.866

Пример 11. Вероятность заболевания неким заболеванием в данной местности равна p = 0.001. Найти вероятность того, что из 2000 жителей данной местности заболевших будет: а) 0, 1, 2, 3, 4; б) хотя бы один.

Решение:

а) Условие задачи подходит под схему независимых испытаний Бернулли, и в силу того, что в единичном испытании вероятность события мала ( p = 0.001), а число испытаний велико ( n = 2000 ), то для нахождения вероятностей событий можно использовать формулу Пуассона. Параметр μ равен μ = np = 2000 0.001= 2 , поэтому, случайная величина X – число заболевших будет тогда подчиняться распределению Пуассона. Находим вероятности

значений X = 0 , X =1,			X = 2 ,	X = 3	,	X = 4 по указанным формулам:
X = 0 :	pn 0 = e	λ	= p2000	0 = e	2	= 0.135.

Для дальнейших вычислений используем рекуррентную формулу:

X =1,

X = 2 ,

P	1 = P	0
2000	2000

P2000 2 = P2000 1

1 λ

=0.135

=0.270

2		=
1

	2	=
2

0.270

;

0.270 ;

X X

= =

3 4

P	3 = P	2		λ	= 0.270

2000	2000			3

P	4 = P		3	λ	= 0.180

2000	2000			4

3 2

= =

0.180 0.090

;

б) Для нахождения вероятности события «будет хотя бы один заболевший» используем указанную формулу:

P2000 1 =1 P2000 0 =1 0.135= 0.865.

Пример 12. Непрерывная СВ X распределена по равномерному закону распределения в интервале 1;4 . Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое

отклонение данной СВ. Найти вероятность того, что СВ будет находиться в интервале

0;3 .

Решение:

Так как СВ X распределена равномерно, то для нахождения характеристик СВ будем

использовать готовые формулы:
M X =	b a	=	4 1	=	5	= 2.5	,
	2		2		2

	b a		4 1		5
D X =	2		2
D X =	12	=	12	=	12	= 0.417	,
	12		12		12

σ X =

D X =

0.417

0.646

Находим искомую вероятность:

P 0 X 3 =	3 0	=	3	= 0.600
	1
4			5

Пример 13. Непрерывная СВ

ность вероятности, описываемую

распределена по нормальному закону и имеет плот-

ское ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Определить вероятность попадания данной случайной величины в интервал 8;12 . Найти вероятность того, что СВ

отклонится от своего математического ожидания не более чем на величину = 2 . Оценить интервал, в котором находится 99.74% всех значений СВ. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором находятся 50% всех значений СВ X .

Решение:

Приведём сначала плотность вероятности СВ X к виду:

								x μ
										2
p x =		1							2
		1				e		2σ	2		.
						e		2σ			.
	σ		2π
Итак,							x 9 2												x 9 2
p x =		1					x 9 2						1						x 9 2
		1				e		18			=		1					e	2 9

			18π												2 9π
	1				x 9 2								1				x 9 2
=	1			e			2 32			=			1			e		2 32
												3
	2 32 π											3		2π

Сравнивая последнее выражение с эталонным получаем:

μ = 9	, σ = 3	, D = σ	2	2	= 9 .
				= 3

Определяем вероятность попадания СВ

в интервал:

8;12

.Используем формулу:

	β μ		α μ
P α X β = Φ		Φ
	σ		σ

лицы 2):

и получаем (значения функции Φ(z) берем из таб-

= Φ 1 +Φ 0.333 = 0.159+ 0.371= 0.530

Для определения вероятности того, что СВ

отклонится от своего математического

ожидания не более чем на величину

получаем:

используем формулу:


P X μ < = 2Φ
	σ

P X

9 < 2 =

	2
2Φ		= 2Φ 0.667 =
	3

2 0.251=

0.502

Для нахождения правило «трёх сигм» иμ 3σ; μ +3σ Для нахождения

интервала в который попадает 99.74% всех значений СВ используем получаем:

9 3 3;9+3 3 0;18 – это и есть искомый интервал.

интервала, симметричного относительно математического ожидания, в

который попадают 50% всех значений СВ используем формулу:
который попадают 50% всех значений СВ используем формулу:								P X μ < = 2Φ			. В
											σ
данной формуле нам известна вероятность							P X μ < = 50% = 0.5, среднее квадратическое
отклонение			σ = 3 , и требуется вычислить полуширину искомого интервала . Подставляем
числа		из		условия	задачи	и			откуда	получа-
числа		из		условия	задачи	и	получаем: 0.5 = 2Φ	,	откуда	получа-
							3
	0.5
ем:		= Φ		0.25 = Φ	. Используя таблицу значений функции Лапласа (см. табли-
ем:		= Φ		0.25 = Φ	. Используя таблицу значений функции Лапласа (см. табли-
	2		3	3

цу 2), получаем для выражения в скобках

0.675

. Откуда получаем:

3 0.675= 2.025 . Находим, наконец, искомый интервал:

μ ; μ + 9 2.025;9+ 2.025 6.975;11.025 .

ГЛАВА 4. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

4.1. Выборочный метод. Генеральная совокупность и выборка

Множество объектов, подлежащих статистическому изучению, однородных относительно какого-либо качественного или количественного признака, составляет генеральную совокупность (количество объектов N – объем генеральной совокупности). Исследования, в которых участвуют все без исключения объекты, составляющие генеральную совокупность, называются сплошным исследованием. Однако на практике такие исследования часто невозможны или невыгодны. Обычно применяют выборочный метод – для обследования привлекается часть объектов из генеральной совокупности, и по результатам исследования выборки судят о свойствах всей генеральной совокупности. Совокупность объектов, отобранных из генеральной совокупности для статистического исследования, называется выборочной совокупностью или выборкой (количество объектов, попавших в выборку, n – объем выборки). Выборка должна быть представительной, она должна быть произведена случайным образом, при этом каждый объект генеральной совокупности с равной вероятностью может попасть в выборку.

4.2. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n. Количественное значение признака x1 появилось m1 раз, x2 – m2 раз, …, xk – mk раз. Наблюдаемые значения признака называют вариантами, а последовательность вариант, записанную в порядке возрастания – вариационным рядом. m1 , m2 ,…, mk называют частотами, а их отношение к объему n выборки – относительными частотами:

p* i

, при этом

k	n
m	n
i
i 1

k	*

p
i 1	i

Если количественный признак дискретный,

xi и их частоты mi (или относительные частоты

то таблица, содержащая значения вариант

*	) называется статистическим дискрет-
i

ным рядом распределения или статистическим распределением выборки:

X	x1	x2	…	xk
m	m1	m2	…	mk

Графическое представление дискретного статистического распределения называют по-

лигоном частот (относительных частот):

Если признак непрерывный, тогда интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения, разбивают на определенное количество (k) частичных интервалов шириной x . таблица, содержащая частичные интервалы и их частоты (или относительные частоты, или плотности относительных частот) называется статистическим интервальным рядом рас-

пределения:

Интервал	[x	; x	)	[x	; x	)	…	[x	; x	]
Интервал	1	2		2	3		…	k 1	k
m	m1			m2			…	mk

Примечание: Плотность относительной частоты есть результат деления относительной

частоты интервала на его ширину:

p* i

. Данная величина используется только для не-

прерывного признака.

Графическое представление интервального статистического распределения называют

гистограммой:

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.02.2016258 Кб124Limfa.doc
#
17.11.201978 Кб18Lor_vopr_121-132.doc
#
19.02.2016439 Кб130Luchi_shpory.doc
#
01.05.2025778 Кб6marina_kursovaya.doc
#
01.05.20253 Мб1Matem_shpora_1-42_).doc
#
19.02.20166 Мб134Matematicheskaya_statistika_v_meditsine.pdf
#
19.02.201628 Мб958Maximovich_N_E_Patologia_obmena_v-v_12_12_11.doc
#
24.11.2019341 Кб15mbf_lf_pf_1sem.doc
#
19.02.2016703 Кб50meningokokovaia_infekcia_u_detei.pdf
#
19.02.2016281 Кб23metod_5sem.doc
#
19.02.2016188 Кб31metod_6sem новая.doc