Вища математика

Визначення

Загальним розв’язком рівняння (2) в D називається однопараме-

тричне сімейство функцій y = Φ(x,C) Cx1,0,C , таке, що:

C0 DC функція y = Φ(x,C0) — частинний розв’язок рівняння (2);

(x0,y0) D C = C0 DC таке, що розв’язок y = Φ(x,C0) задовольняє початковій умові y(x0) = y0.

6.2.4. ОСОБЛИВИЙ РОЗВ’ЯЗОК РІВНЯННЯ (2)

Визначення

Особливим розв’язком рівняння (2) називається розв’язок, всі точки якого — особливі.

Геометрично особливому розв’язку відповідає інтегральна крива, що не входить в сімейство інтегральних кривих, що становлять загальний розв’язок. Тому особливий розв’язок не може лежати в області існування загального розв’язку.

Особливий розв’язок не входить у формулу загального розв’язку ні при якім значенні довільної постійної C, включаючи C = ± ∞.

101

6.3 ВИЗНАЧЕННЯ КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ

Визначення

Комплексним числом z називається впорядкована пара (a;b) дійсних чисел. Перший компонент a називається дійсною частиною, а другий компонент b — мнимою частиною комплексного числа; прийняті позначки a = Re z, b = Im z.

Геометричний зміст комплексного числа — точка на площині в прямокутних декартових координатах з абсцисою a і ординатою b. Таким чином, комплексне число z = (a;b) можна ототожнювати з вектором, початок якого

збігається з початком координат, а кінець — із точкою (a;b).

Часто використають алгебраїчну форму запису комплексного числа: z = a + b i.

Визначення

Два комплексних числа з рівними дійсними частинами й із мнимими частинами, що відрізняються тільки знаком, називаються взаємно

спряженими: z = a + bi, z = a – bi.

102

Вважаючи сказане, будемо казати, що квадратне рівняння

ax2 + bx + c = 0

6.4. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ

6.4.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ

Визначення

Функції ϕ1(x), ϕ2(x),…, ϕn(x), визначені на відрізку [a;b], називаються

лінійно залежними (ЛЗ) на [a;b], якщо C1,…,Cn, не всі рівні нулю, що лінійна комбінація C1ϕ1(x) + … + Cnϕn(x) ≡ 0 x [a;b]. У протилежному випадку ϕ1(x), ϕ2(x),…, ϕn(x) називаються лінійно незалежними (ЛНЗ) на [a;b].

Визначення

Нехай функції ϕ1(x), ϕ2(x),…, ϕn(x) C(n–1)[a;b]. Визначником Вронського для ϕ1(x), ϕ2(x),…, ϕn(x) називається функція

103

Теорема (необхідна умова ЛЗ функцій)

Якщо функції ϕ1(x), ϕ2(x),…, ϕn(x) C(n–1)[a;b] і ЛЗ на відрізку [a;b], то W(ϕ1, ϕ2,…, ϕn) ≡ 0 на [a;b].

Зворотне твердження, взагалі кажучи, невірно.

Визначення

Розглянемо вираз

L(y) = y(n) + p1(x) y(n–1) + p2(x) y(n–2) + … + pn–1(x) y′ + pn(x) y

де pk(x) C[a;b], k = 1,n . Тоді рівняння вигляду

де f(x) C[a;b], називається лінійним неоднорідним (ЛНО) ЗДР n-го

104

6.4.2. ЛІНІЙНЕ ОДНОРІДНЕ РІВНЯННЯ

Теорема (основна властивість розв’язків ЛО рівняння)

Якщо y1(x), y2(x),…, yn(x) — частинні розв’язки рівняння (8) на [a;b],

n

то будь-яка функція y(x) = ∑Ckyk(x) теж є частинним розв’язком

k=1

рівняння (8).

Доведення.

Оскільки y1(x), y2(x),…, yn(x) — частинні розв’язки лінійного однорідного рівняння (8), то, відповідно до визначення розв’язку, k = 1,n : L(yk) ≡ 0.

Теорема (Критерій ЛЗ для розв’язків ЛО рівняння)

Для того щоб n розв’язків рівняння (8) y1(x), y2(x),…, yn(x) були лінійно залежними на відрізку [a;b], необхідно й достатньо, щоб W(y1, y2 ,…, yn) ≡ 0 на [a;b].

Визначення

n лінійно незалежних на [a;b] частинних розв’язків лінійного однорідного рівняння (8) називаються фундаментальною системою розв’язків (ФСР) ЛОР на [a;b].

105

Теорема (про загальний розв’язок ЛОР)

Якщо y1(x), y2(x) ,…, yn(x) — ФСР рівняння (8), то загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння (8) має вигляд

k=1

6.4.3. ЛІНІЙНЕ НЕОДНОРІДНЕ РІВНЯННЯ

де f(x), pk(x) C[a;b], k = 1,n .

Теорема (про загальний розв’язок)

Нехай f(x), pk(x) C[a;b], k = 1,n , і y1(x), y2(x) ,…, yn(x) — ФСР

рівняння (8) на [a;b], а z(x) — деякий частинний розв’язок рівняння

(7). Тоді загальний розв’язок y(x) рівняння (7) має вигляд:

k=1

6.4.4. ЛІНІЙНІ ОДНОРІДНІ РІВНЯННЯ З ПОСТІЙНИМИ

КОЕФІЦІЄНТАМИ

106

де ak = const, k = 1,n . Як відомо, за теоремою про загальний розв’язок, загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння (12) має вигляд

n

y(x) = ∑Ckyk(x),

k=1

де yk(x), k = 1,n — ФСР рівняння (12). Таким чином, задача інтегрування лінійного однорідного рівняння зводиться до пошуку n ЛНЗ частинних розв’язків цього рівняння. У випадку змінних коефіцієнтів ця задача, загалом кажучи, нерозв'язна. Однак, для рівняння (12) вона має розв’язок в загальному вигляді.

Будемо шукати частинний розв’язок рівняння (12) у вигляді y0 = eλx, де λ — поки що невизначена постійна. Визначимо її виходячи з визначення розв’язку диференціального рівняння:

L(y0) = eλx (λn + a1λn–1 + a2λn–2 + … + an–1λ + an) ≡ eλxF(λ) = 0 (13)

Функція F(λ) називається характеристичним багаточленом, а рівняння F(λ) = 0 — характеристичним рівнянням для лінійного однорідного диференціального рівняння (12). Рівняння n-го ступеня (13) має рівно n комплексних коренів із урахуванням їх кратності. Таким чином, отримані n частинних розв’язків рівняння (12): yk = eλkx,

107

k = 1,n . Залишається з’ясувати, чи утворять знайдені розв’язки ФСР рівняння (12). Розглянемо кілька випадків.

I. λk, k = 1,n — прості корені характеристичного рівняння. Тоді загальний розв’язок рівняння з постійними коефіцієнтами має вигляд:

n

y = ∑Ckeλkx, Ck = const, k = 1,n .

k=1

Зауваження. Якщо λk R, k = 1,n , то загальний розв’язок є дійсним.

Теорема

Кореню λ характеристичного рівняння кратності m відповідає m ЛНЗ частинних розв’язків лінійного однорідного рівняння з постійними коефіцієнтами (12): y1 = eλx, y2 = x eλx, … , ym = xm–1 eλx.

6.4.5. ЛІНІЙНІ НЕОДНОРІДНІ РІВНЯННЯ З ПОСТІЙНИМИ

КОЕФІЦІЄНТАМИ Й ЗІ СПЕЦІАЛЬНИМ ВИГЛЯДОМ ПРАВОЇ ЧАСТИНИ

108

Визначення

Функцією спеціального вигляду будемо називати функцію вигляду f(x) = eax{Pm(x) cos bx + Ql(x) sin bx},

де a,b R, P,Q — поліноми ступенів m і l відповідно.

I випадок.

f(x) = Pm(x)eax, тобто b = 0, a R.

Теорема 1

Якщо число a R не є коренем характеристичного рівняння (тобто

F(a) ≠ 0), то рівняння (7) має частинний розв’язок вигляду z = Rm(x)eax.

Теорема 2

Якщо a R — корінь кратності k характеристичного рівняння (тобто F(a) = F′(a) = ... = F(k–1)(a) = 0, a F(k)(a) ≠ 0), то рівняння (7) має частинний розв’язок вигляду z = xkRm(x)eax.

II випадок

Теорема 3

Якщо комплексне число a + b i не є коренем характеристичного рівняння (тобто F(a + b i) ≠ 0), то рівняння (7) має частинний розв’язок вигляду z = eax{Rq(x) cos bx + Tq(x) sin bx},

109

де Rq(x), Tq(x) — поліноми ступеня q = max{m,l}.

Теорема 4

Якщо комплексне число a + b i — корінь характеристичного рівняння кратності m, то рівняння (6) має частинний розв’язок вигляду

z = xm eax{Rq(x)cos bx + Tq(x)sin bx},

де Rq(x), Tq(x) — поліноми ступеня q = max{m,l}.

110