2011- МУ для магистров MathCAD_укр

Необхідно знайти оптимальний план загрузки машин, що забезпечить мі-

німальні сумарні грошові витрати на виконання всього об’єму робіт при зада-

ному ресурсі часу.

Рішення:

1. Складемо математичну модель задачі:

Позначимо через Xij – час роботи i-ої машини на j-ом виді робіт (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3).

Функція цілі висловлює витрати грошових коштів на виконання всіх робіт.

Z 5 X11 3 X12 3 X13 1 X21 6 X22 2 X23 5 X31 7 X32 2 X33 min

або

де Сij – вартість однієї години роботи i-ой машини на j-ом виді робіт.

2.Обмеження

Об’єм робіт повинен бути виконаним:

де Рij – продуктивність роботи i-ої машини на j-ом виді робіт.

Обмеження на ресурс часу.

Не заперечність плану робіт.

3. Рішення задачі в системі MathCAD.

Рис. 31. Рішення задачі про завантаження обладнання в MathCAD

51

ВИХІДНІ ДАНІ ДЛЯ ВИКОНАННЯ ПРАКТИЧНОЇ РОБОТИ 6

Задача про розподіл ресурсів

Примітка: Для вибору вихідних даних для всіх задач, приймаємо варіант у вигляді двозначного числа, при цьому n – перша цифра варіанту, m – друга ци-

фра варіанту. (Наприклад, для варіанту 3 – n=0; m=3; для варіанту 24 – n=2; m=4). Якщо значення виходить від’ємним, то для розрахунків приймається модуль цього значення.

52

ПРАКТИЧНА РОБОТА 7

ІНТЕРПОЛЯЦІЯ. НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ, ЗАДАНОЇ ТАБЛИЦЕЮ

Мета роботи: Освоїти математичні методи знаходження функціональних

залежностей, що зв'язують дані, набуті в результаті дослідів або спостережень

Потрібно:

1.Виконати лінійну інтерполяцію функції, що задана таблицею;

2.Виконати сплайн-інтерполяцію функції, що задана таблицею;

3.Відновити значення функції в 30-ти точках інтервалу.

КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ:

Деяка функція y=f(x) задана таблицею своїх значень на безлічі рівновідда-

лених значень аргументу х.

На графіку це виглядає таким чином:

y2

Рис. 32. Значення функції

Щоб знайти значення функції при будь-якому значенні аргументу х, необ-

хідно побудувати аналітичну функцію F(x), яка співпадала б з невідомою фун-

кцією f(x) у вузлах таблиці і наближалася б до неї поза вузлами. Тим самим, бу-

де, як би відновлена невідома функція f(x) замінена тепер на відому – F(x).

53

Лінійна інтерполяція. Значення функції поза вузлами таблиці найпрості-

ші обчислити, замінюючи невідому функцію на кожному відрізку xi , xi 1 лі-

нійною функцією

набутої з припущення, що значення невідомої функції f(x) і значення функції

F1(x) співпадають у вузлах х1 і х2.

Квадратична інтерполяція. Лінійна інтерполяція, як це видно з рис.33,

має велику погрішність. Щоб зменшити погрішність, невідому функцію f(x) ін-

терполюють поліномом другого ступеня.

(7.2). Значення коефіцієнтів b0, b1, b2 знаходять вирішуючи систему трьох рів-

нянь, отриманих з припущення, що значення невідомої функції f(x) і значення полінома F2(x) співпадають у вузлах х1, х2, х3.

54

Інтерполяційний поліном будь-якого n-ого ступеня можна побудувати,

маючи n+1 вузол табличний заданої функції. Ці поліноми Fn(x) називаються ін-

терполяційними поліномами Лагранжа.

Поліноми Лагранжа дають добру якість інтерполяції при великій кількості вузлів і високого ступеня полінома. Проте у поліномів Лагранжа є два важливі недоліки:

Існують функції, при інтерполяції яких, збільшення ступеня полінома не дає хорошого наближення.

Інтерполяційні поліноми Лагранжа у вузлах з'єднання мають злами. Це надто небажане явище, оскільки виникають труднощі з диференціюван-

ням і інтегруванням такої функції.

Інтерполяція сплайном. Для проведення гладкої кривої через вузлові то-

чки y1 , x1 ; y2 , x2 ; … yn , xn звичайно використовують гнучку сталеву лі-

нійку. Її ставлять на ребро і закріплюють у вузлах. Вісь лінійки описує при цьому гладку криву, яка і інтерполюватиме задану таблицею функцію. Одержа-

на таким чином інтерполяційна функція називається сплайном. Сплайн функція не має недоліків поліномів Лагранжа. У неї немає зламів, і гнучка крива легко приймає на одній ділянці вид прямої, а на сусідньому вид параболи.

Чисельні значення коефіцієнтів сплайн поліномів визначають з наступних умов:

Значення полінома дорівнює значенню шуканої функції у вузлах таблиці.

1-а і 2-а похідні сплайн поліномів ліворуч і праворуч від будь-якого вузла таблиці дорівнює один одному. Це означає, що сплайн функція не має у ву-

злах таблиці не лише зламів, але і зміни радіусів кривизни.

ПРИКЛАДИ ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ

Приклад 1: Невідома функція задана на деякому інтервалі таблицею своїх значень. Відновити значення функції в 20-ти точках інтервалу за допомогою лі-

нійної інтерполяції і сплайн інтерполяції.

55

56

ВИХІДНІ ДАНІ ДЛЯ ВИКОНАННЯ ПРАКТИЧНОЇ РОБОТИ 7

ПРАКТИЧНА РОБОТА 8

РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ОПТИМІЗАЦІЇ

Мета роботи: Освоїти математичні методи пошуку безумовних і умовних екстремумів функцій однієї і декількох змінних і способи розв’язання оптимі-

заційних задач на персональному комп'ютері (ПК).

Потрібно:

1.Знайти екстремум функції однієї змінної;

2.Знайти екстремум функції двох змінних;

3.Побудувати відповідні графіки і зробити висновки.

КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ:

Одномірна безумовна оптимізація:

Екстремум безперервної функції однієї змінної у(x), визначається з умови: y' x 0 (8.1)

Для вирішення цього рівняння використовуються аналітичні, якщо це мо-

жливо, і різні чисельні методи. Корінь х0 рівняння (8.1) називається критичною точкою. Критична точка не завжди є точкою екстремуму, це може бути і точка перегину графіка функції.

Графік функції демонструє всі особливості її поведінки. З його допомогою можна задати початкове наближення точки екстремуму. Точне положення точки екстремуму знаходиться при розв’язанні рівняння (8.1) вбудованою функцією:

В даному випадку функція root повертає таке значення змінної х в околі початкового наближення, при якому похідна функція обертається в нуль.

Двомірна безумовна оптимізація:

Екстремум безперервної функції двох змінних F(x, у), визначається з умо-

ви рівності нулю всіх окремих похідних функції

59