Основы теории вероятностей (Прищепова)

В= {из трех, случайным образом отобранных человек, – одна женщина

идвое мужчин}.

Найдем вероятности событий двумя способами:

1)пользуясь формулами комбинаторики;

2)пользуясь теоремами сложения и умножения вероятностей.

1а) Определим вероятность события А = {из трех, случайным образом отобранных человек, – все три женщины}.

Определим число способов выбора 3 человек из 10 – выборка неупорядоченная без возвращения.

Число способов определим по формуле

Определим число способов выбора 3 женщин из 6 женщин, подавших

1б) Обозначим события:

А = {из трех, случайным образом отобранных человек, – все три женщины};

А1 = {первый, случайным образом отобранный кандидат, – женщина}.

Р(А1) = 106 (всего 10 кандидатов, из них 6 женщин).

Событие А2 = {второй, случайным образом отобранный кандидат, – женщина}.

Событие А3 = {третий, случайным образом отобранный кандидат, – женщина}.

Р(А3 / A2 ∩ A1) = 95−−11 = 84 {всего осталось 8 кандидатов, из них 4 жен-

щины}.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий

2а) В = {из трех, случайным образом отобранных человек – одна женщина и двое мужчин}.

80

Определим число способов выбора 3 человек из 10 по формуле

Определим число способов выбора одной женщины из 6 женщин, по-

Определим число способов выбора двух мужчин из (10 – 6) = 4 мужчин,

2б) Обозначим события:

В= {из трех, случайным образом отобранных человек, – одна женщина

идвое мужчин};

С1 = {первый, случайным образом отобранный кандидат, – женщина, второй – мужчина, третий – мужчина};

С2 = {первый, случайным образом отобранный кандидат, – мужчина, второй – женщина, третий – мужчина};

С3 = {первый, случайным образом отобранный кандидат, – мужчина, второй – мужчина, третий – женщина}.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий Р(В) = Р(С1) + Р(С2) + Р(С3).

Вероятность события С1 определим по формуле Р(С1) = P(В1) P(В2 / В1) P( В3/ B2 ∩ B1 ) .

Событие В1 = {первый, случайным образом отобранный кандидат, – женщина}.

Вероятность события Р(В1) = 106 (всего 10 кандидатов, из них 6 жен-

щин).

Событие В2 = {второй, случайным образом отобранный кандидат, – мужчина}.

Вероятность события P(В2 / В1) = 104−1 = 94 (всего осталось 9 кандидатов,

из них 4 мужчин).

Событие В3 = {третий, случайным образом отобранный кандидат, – мужчина, при условии, что первый и второй кандидаты (женщина и мужчина) уже отобраны}.

81

Вероятность события Р(В1) = 104 (всего 10 кандидатов, из них 4 мужчин).

Событие B2 = {второй, случайным образом отобранный кандидат, – женщина}.

Вероятность события Р( B2 / В1) = 106−1 = 96 (всего осталось 9 кандида-

тов, из них 6 женщин).

Событие В3 = {третий, случайным образом отобранный кандидат, – мужчина}.

Вероятность события P(В3 / B2 ∩ B1 ) = 94−−11 = 83 (всего осталось 8 канди-

датов, из них 3 мужчин).

По теореме умножения вероятностей зависимых событий P(С2) = P(В1) P( B2 / В1) P( В3/ B2 ∩ B1 )= 104 96 83 = 72072 = 0,1. Вероятность события С3 определим по формуле

Р(С3)= P(В1) P( B2 / В1) P( B3 / B2 ∩ B1 ).

Событие В1 = {первый, случайным образом отобранный кандидат, – мужчина}.

Вероятность события Р(В1) = 104 (всего 10 кандидатов, из них 4 мужчины).

Событие В2 = {второй, случайным образом отобранный кандидат, – мужчина}.

Вероятность события Р( B2 / В1) = 103−1 = 93 (всего осталось 9 кандида-

тов, из них 3 мужчин).

Событие В3 = {третий, случайным образом отобранный кандидат, – женщина}.

82

Вероятность события Р( B3 / B2 ∩ B1 ) = 96−1 = 68 (всего осталось 8 кан-

дидатов, из них 6 женщин).

По теореме умножения вероятностей зависимых событий

По теореме сложения вероятностей несовместных событий Р(В) = Р(С1) + Р(С2) + Р(С3) = 0,1+ 0,1+ 0,1 = 0,13 = 0,3 .

Ответ: а) вероятность того, что из трех, случайным образом отобранных человек, – все три женщины, равна 0,167;

б) вероятность того, что из трех, случайным образом отобранных человек, – одна женщина и двое мужчин, равна 0,3.

Задача 4 Два клиента зашли в магазин. Вероятность того, что первый клиент пожелает сделать покупку, равна 0,7, для второго клиента эта вероятность равна 0,5. Найти вероятность того, что захотят сделать покупку:

а) оба клиента ; б) только один клиент;

в) хотя бы один клиент. Решение. Обозначим события:

Ai = {i-й клиент пожелает сделать покупку}, i = 1, 2; B = {оба клиента пожелают сделать покупку};

C = {только один клиент из двух пожелает сделать покупку}; D = {хотя бы один клиент из двух пожелает сделать покупку}.

Согласно условию, вероятность события A1 P(A1) = 0,7, вероятность события A2 P(A2) = 0,5 .

Тогда вероятности противоположных событий: P(A1 ) =1− P(A1 ) =

= 1− 0,7 = 0,3 , P(A2) = 1− P(A2) = 1− 0,5 = 0,5 .

Определим все элементарные события данного случайного эксперимента и соответствующие вероятности:

Событие B можно представить в виде B= A1 A2.

83

Полагая, что события Ai (i = 1, 2) – независимы, и применяя теорему умножения вероятностей независимых событий, получим

P(B) = P(ω1) = P(A1)P(A2 ) = 0,7 0,5 = 0,35 . Событие С можно представить в виде C = A1 A 2 + A1 A2 .

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получим

P(C) = P(ω2 ) + P(ω3 ) = P(A1)P(A2 ) + P(A1)P(A2 ) = 0,7 0,5 + 0,3 0,5 = = 0,35+ 0,15 = 0,50.

Событие D можно представить в виде D = A1A2 + A1 A 2 + A1A2 или в

виде D = Ω − A1A2 = Ω − D ,

где D – событие, противоположное событию D : D = {оба клиента не пожелают сделать покупку}.

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получим

P(D) = P(ω1) + P(ω2 ) + P(ω3 ) = P(A1)P(A2 ) + P(A1)P(A2 ) + P(A1)P(A2 ) = = 0,7 0,5 + 0,7 0,5 + 0,3 0,5 = 0,35 + 0,35 + 0,15 = 0,85 ,

или P(D) = 1− P(D) , где P(D) = P(ω4) = P(A1)P(A2) = 0,3 0,5 = 0,15.

P(D) = 1− P(D) = 1 – 0,15 = 0,85.

Ответ: а) вероятность того, что захотят сделать покупку оба клиента, равна 0,35; вероятность того, что покупку пожелает сделать только один клиент из двух, равна 0,50; вероятность того, что покупку пожелает сделать хотя бы один клиент, равна 0,85.

Задача 5 Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 30 %. При росте спроса на продукцию, вероятность расширения фирмы в ближайшее время составит 0,4, если спрос на продукцию не возрастет, то вероятность расширения фирмы составит 0,2. Определить вероятность расширения фирмы в ближайшее время. Фирма расширилась, какова вероятность того, что спрос на продукцию возрос?

Решение. 1 Определим событие A = {в ближайшее время произойдет расширение фирмы}.

2 Относительно условий рассматриваемого случайного эксперимента, состоящего в том, что в ближайшее время произойдет расширение фирмы, можно выдвинуть две несовместные гипотезы:

H1 = {спрос на продукцию фирмы возрастет};

H2 = {спрос на продукцию фирмы не возрастет}.

84

Причём H1 + H2 = Ω.

Учитывая свойство вероятностей гипотез P(H1) + P(H2) = 1, определим:

3 Условные вероятности события A = {в ближайшее время произойдет расширение фирмы} при осуществлении этих гипотез известны и равны:

P(A | H1) = 0,4; P(A | H2) = 0,2.

Для определения вероятности события A воспользуемся формулой полной вероятности

P(A) = P(Н1 ) P(A | Н1 ) + P(Н2 ) P(A | Н2 ) = 0,3 0,4 + 0,7 0,2 = = 0,12 + 0,14 = 0,26.

Для определения вероятности того, что спрос на продукцию возрос при условии, что фирма расширилась, воспользуемся формулой Байеса

P(Н1 | A) = P(Н1 ) P(A| Н1 ) = 0,3 0,4 = 0,4615 ≈ 0,462.

P(A) 0,26

Ответ: вероятность того, что в ближайшее время произошло расширение фирмы, равна 0,26; вероятность того, что спрос на продукцию возрос при условии, что фирма расширилась, равна 0,462.

Задача 6 В городе 8 коммерческих банков, работающих независимо друг от друга. У каждого банка риск банкротства в течение года составляет 5 %. Определить вероятность того, что в течение года обанкротится:

а) один коммерческий банк; б) хотя бы один коммерческий банк;

в) не менее двух коммерческих банков.

Решение. Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события A = {коммерческий банк обанкротится в течение года} одинакова и равна:

p = 1005 = 0,05; q = 1 – p = 1 – 0,05 = 0,95.

а) Для вычисления вероятности события B = {в течение года обанкротится один коммерческий банк из восьми} воспользуемся формулой Бернулли

85

P(X = m) = Cnm pmqn−m , где 0 ≤ p ≤ 1; q = 1 – p; m = 0, 1, 2,…, n. P(B) = P8 (1) = C81 p1q7 = 1! 7!8! 0,05 0,957 ≈ 0,279335 ≈ 0,279.

б) При вычислении вероятности события C = {в течение года обанкротится хотя бы один коммерческий банк из восьми} удобно перейти к рас-

смотрению события C = {в течение года не обанкротится ни один коммерческий банк}:

P(C) = P8 (m > 0) = P8 (m ≥1) =1− P(C ) =1− P8 (0). Применяя формулу Бернулли, вычисляем:

P8 (0) = C08 0,050 0,958 = 0,958 ≈ 0,6634;

P(C) = P8 (m > 0) =1− P(C ) =1 − 0,6634 = 0,3366.

в) При вычислении вероятности события D = {в течение года обанкротится не менее двух коммерческих банков} удобно перейти к рассмотрению

события D = {в течение года обанкротится менее двух коммерческих банков}:

P(D) = P8 (m ≥ 2) = 1− P8 (m < 2) = 1− P(D) = 1− (P8 (0) + P8 (1)).

Применяя формулу Бернулли, вычисляем: P8 (0) = C80 0,050 0,958 = 0,958 ≈ 0,6634; P8 (1) = C81 p1q7 = 1! 7!8! 0,051 0,957 ≈ 0,279.

P(D) =1− P(D) =1− (P8 (0) + P8 (1)) =1− 0,6634 − 0,279 = 0,0576.

Ответ: вероятность того, что в течение года обанкротится: а) один коммерческий банк, равна 0,279; б) хотя бы один коммерческий банк, равна 0,3366;

в) не менее двух коммерческих банков, равна 0,0576.

Задача 7 Предприятие для изучения потребительских предпочтений на товар в случайном порядке рассылает анкеты по n адресам (почтовый опрос). Вероятность того, что заполненные потребителями анкеты «возвратятся» на предприятие, составляет p %. Определить:

а) какова вероятность того, что из n разосланных анкет «возвратятся» не более k анкет;

б) найдите наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие, и соответствующую этому значению вероятность.

Рассмотрим решение задачи для двух вариантов:

86

Решение. Первый вариант.

а) Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 100 независимых испытаний, состоящих в рассылке анкет, в каждом из которых с веро-

ятностью p = 10040 = 0,4 может осуществиться событие A = {посланная анке-

та «возвратится» на предприятие}. Вероятность того, что посланная анкета «не возвратится» на предприятие, равна q = 1 – 0,4 = 0,6.

Определим наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие по формуле

np – q ≤ m0 ≤ np + p.

100 0,4 − 0,6 ≤ m0 ≤ 100 0,4 + 0,4, 39,4 ≤ m0 ≤ 40,4.

Наивероятнейшее число m0 = 40.

Так как число испытаний достаточно велико для вычисления вероятностей событий B = {из 100 разосланных анкет менее 40 «возвратились» на предприятие} и C = {из 100 разосланных анкет ровно 40 «возвратились» на предприятие } можно воспользоваться приближёнными формулами МуавраЛапласа:

1) Для вычисления вероятности события B воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа при n = 100; p= 0,4; q = 1 – 0,4 = 0,6; k1 = 0; k2 = 40:

P (B) = P100 (0 ≤ m ≤ 40) ≈ Φ (x2 ) − Φ (x1 ) ;

= – 0,5, Φ (0) = 0,0. Таким образом,

P(B) = P100 (0 ≤ m ≤ 40) = 0 − (−0,5) = 0,5 .

2) Для вычисления вероятности события С воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. В данном случае n = 100; p = 0,4; q = 0,6; m = 40:

87

Ответ: а) вероятность того, что из 100 разосланных анкет не более 40 «возвратятся» на предприятие, равна 0,5; б) наиболее вероятное число разосланных анкет, «возвратившихся» на предприятие, составит 40, соответствующая этому числу вероятность 0,0814.

Решение. Второй вариант.

б) Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 200 независимых испытаний, состоящих в рассылке анкет, в каждом из которых с веро-

та «возвратится» на предприятие}. Вероятность того, что посланная анкета «не возвратится» на предприятие, равна q = 1 – 0,05 = 0,95.

Определим наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие, по формуле

np – q ≤ m0 ≤ np + p,

200 0,05−0,95 ≤ m0 ≤ 200 0,05 + 0,95, 9,05 ≤ m0 ≤ 10,05.

Наивероятнейшее число m0 = 10.

В данном случае для вычисления вероятностей воспользуемся приближенной формулой Пуассона с параметром a = np, так как число испытаний n = 200 достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании p = 0,05 очень мала (p < 0,1), то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко:

нии В.

a = np = 200 0,05 =10 .

88

1) Определим событие В = {не более двух анкет «возвратятся» на предприятие, то есть или 0, или 1, или 2}.

Вероятность события В

Ответ: а) вероятность того, что из 200 разосланных анкет не более 2 «возвратятся» на предприятие, равна 0,002769; б) наиболее вероятное число разосланных анкет, «возвратившихся» на предприятие, составит 10, соответствующая этому числу вероятность 0,12511.

Задача 8а Для определённой в условии задачи дискретной случайной величины:

а) построить ряд распределения и столбцовую диаграмму; б) найти функцию распределения и построить её график;

в) вычислить числовые характеристики: математическое ожидание, моду, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Студент пришел на экзамен, зная ответы на 3/4 вопросов по каждому из трёх разделов программы. Случайная величина X – число вопросов, на которые он сможет ответить при условии, что экзаменационный билет содержит по одному вопросу из каждого раздела.

Решение. а) Возможные значения данной случайной величины X: 0, 1, 2, 3. Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 3 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события A = {студент сумеет ответить на поставленный вопрос} равна 3/4. В данном случае для вычисления вероятностей возможных значений случайной величины X воспользуемся формулой Бернулли:

Столбцовая диаграмма, соответствующая этому ряду распределения, приведена на рисунке 28.

pi

27/64

9/64

1/64

Рисунок 28 – Столбцовая диаграмма

б) Вычислим функцию распределения данной случайной величины:

F(x) = P(X < x) = ∑P(X = xi ) :

xi <x

Итак, функция распределения рассматриваемой случайной величины0 при x ( −∞, 0];

1

при x (0,1];

64

График функции F(x) приведён на рисунке 29.

F(x)

1

Рисунок 29 – Функция распределения

в) Вычислим числовые характеристики данной случайной величины. Математическое ожидание

то есть среднее число вопросов, на которые студент сможет дать ответ, равно 2,25.

Как следует из ряда распределения, данная случайная величина имеет две моды: xmod = 2, xmod = 3 , то есть наиболее вероятное число вопросов,

на которые студент сможет дать ответ, равно 2 и 3. Дисперсия

= 36064 − 2,252 = 0,5625 [вопросов2].

Среднее квадратическое отклонение σ[X ] = D[X ] = 0,5625 = 0,75 [во-

просов], то есть среднее квадратическое отклонение числа вопросов, на которые студент сможет дать ответ, равно 0,75.

91

Задача 8б Три клиента зашли в магазин. Вероятности совершения покупки для каждого из трех клиентов соответственно равны: 0,7; 0,6; 0,8. Случайная величина X – число клиентов, которые совершат покупку в магазине.

Решение. а) Возможные значения данной случайной величины X: 0, 1, 2, 3. Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 3 независимых испытаний. В данном случае для вычисления вероятностей возможных значений случайной величины X можно воспользоваться теоремами сложения вероятностей несовместных событий и умножения вероятностей независимых событий:

Обозначим события:

Ai = {i-й клиент совершит покупку}, i = 1, 2, 3.

Согласно условию вероятность события A1 P(A1) = 0,7, вероятность события A2 P(A2) = 0,6, вероятность события A3 P(A3) = 0,8. Тогда вероятности

противоположных событий: P(A1 ) =1− P(A1 ) =1− 0,7 = 0,3,

P(A2 ) =1− P(A2 ) =1− 0,6 = 0,4 , P(A3 ) =1− P(A3 ) =1− 0,8 = 0,2.

Определим все элементарные события данного случайного эксперимента и соответствующие вероятности:

P (X = 0) = P(ω8 ) = P(A1 )P(A2 )P(A3 ) = 0,3 0,4 0,2 = 0,024;

P(X =1) = P(ω5 ) + P(ω6 ) + P(ω7 ) = P(A1 )P(A2 )P(A3 ) + P(A1 )P(A2 )P(A3 ) +

+ P(A1 )P(A2 )P(A3 ) = 0,3 0,4 0,8 + 0,7 0,4 0,2 + 0,3 0,6 0,2 = 0,096 + + 0,056 + 0,036 = 0,188;

92

P(X = 2) = P(ω2 ) + P(ω3 ) + P(ω4 ) = P(A1 )P(A2 )P(A3 ) + P(A1 )P(A2 )P(A3 )

Столбцовая диаграмма, соответствующая этому ряду распределения, приведена на рисунке 30.

pi

0,452

Рисунок 30 – Столбцовая диаграмма

б) Вычислим функцию распределения данной случайной величины:

= 0,664 ;

при x (3, +∞) F(x) = P(X = 0) + P(X =1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,024+ +0,188 + 0,452 + 0,336 =1.

93

Итак, функция распределения рассматриваемой случайной величины

График функции F(x) приведён на рисунке 31.

F(x)

1

Рисунок 31 – Функция распределения

в) Вычислим числовые характеристики данной случайной величины. Математическое ожидание

n

M[X] = ∑xi pi = 2,1 [клиентов], то есть среднее число клиентов, кото-

i=1

рые совершат покупку в магазине, равно 2,1.

Как следует из ряда распределения, данная случайная величина имеет моду xmod = 2 [клиентов], (для xi = 2 вероятность принимает максимальное

значение pi = 0,452), то есть наиболее вероятное число клиентов, которые совершат покупку в магазине, равно 2.

n

Дисперсия D[X]= ∑xi2 pi −(M[X])2 = 5,02−2,12 = 0,61 [клиентов2].

i=1

Среднее квадратическое отклонение σ[X ] = D[X ] = 0,61 = 0,781 [кли-

ентов], то есть среднее квадратическое отклонение числа клиентов, которые совершат покупку в магазине, равно 0,671.

Задача 9 Закон распределения непрерывной случайной величины задан функцией плотности распределения вероятностей f(x). Требуется:

а) определить значение параметра c;

б) построить график функции плотности распределения вероятностей;

94

в) найти функцию распределения данной случайной величины и построить её график;

г) вычислить числовые характеристики данной случайной величины: математическое ожидание, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

д) найти вероятность того, что данная случайная величина примет значение, принадлежащее отрезку [a; b]:

Решение. а) Для определения неизвестного параметра c воспользуемся соотношением

+∞

∫ f (x)dx = 1.

−∞

В данном случае имеем

Таким образом, функция плотности распределения вероятностей

б) График функции f(x) изображён на рисунке 32.

Рисунок 32 – График плотности распределения f(x)

95

в) Вычислим функцию распределения данной случайной величины:

x

F(x) = ∫ f (t)dt ,

−∞

График функции F(x) приведён на рисунке 33.

Рисунок 33 – График функции распределения F(x)

г) Вычислим числовые характеристики данной случайной величины. Математическое ожидание

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой

∞

D[X ] = ∫x2 f (x)dx − (M[X ])2 ,

−∞

Среднее квадратическое отклонение σ [X ] = D[X ] = 0,0266 ≈ 0,163 .

Мода данной случайной величины, как следует из графика функции f(x), равна 1.

Для определения медианы воспользуемся соотношением

По условию плотность распределения случайной величины не равна 0 в интервале [0,1], поэтому xmed = 0,841.

Медиану также можно определить из соотношения F(xmed) = 0,5.

Решая уравнение xmed4 = 0,5 , получим xmed = 40,5 ≈ ±0,841.

По условию плотность распределения случайной величины равна 0 в интервале [0,1], поэтому xmed = 0,841.

д) Для вычисления вероятности того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее отрезку [0; 0,5], можно воспользоваться, напри-

На рисунке 32 штриховкой выделена фигура, площадь которой равна вероятности P(0 ≤ X ≤ 0,5) = 0,0625.

Задача 10а Поток заявок, поступающих на телефонную станцию, представляет собой простейший поток событий. Известно, что в течение некоторого промежутка времени среднее число вызовов, поступающих за один час, равно 240. Для этого промежутка времени найти вероятность того, что за одну минуту поступит не менее 2 вызовов.

Решение. Поскольку поток заявок можно считать простейшим, случайная величина X1, определяющая число вызовов, поступивших в течение минуты, может принимать значения 0, 1, 2, 3,… и, согласно условию, рас-

пределена по закону Пуассона с параметром a = λ t = 240 601 = 4 (так как

интенсивность потока λ = 240; t = 601 [час]). Вероятность каждого из возможных значений случайной величины X1 определяется по формуле

P(X = m) = am e−a . m!

Обозначим событие: A = {в течение минуты поступит не менее 2 вызовов}. Тогда

−40 e−4 − 41 e−4 ≈1− 0,0183 − 0,0733 = 0,9084. 0! 1!

Ответ. Вероятность того, что за одну минуту поступит не менее 2 вызовов, равна 0,9084.

Задача 10б Поток отказов оборудования в течение рабочей смены удовлетворяет требованиям простейшего потока событий. Найти вероятность того, что в течение смены произойдёт не более двух отказов оборудования, если известно, что вероятность хотя бы одного отказа в течение рабочей смены равна 0,9.

Решение. Поскольку поток отказов можно считать простейшим, случайная величина X, определяющая число отказов оборудования в течение смены, распределена по закону Пуассона. Возможные значения данной случайной величины: 0, 1, 2, …, m, …, а вероятность каждого из значений опре-

деляется по формуле P(X = m) = am e−a , где a – интенсивность потока отка- m!

зов.

Согласно условию вероятность события A = {в течение смены произойдёт хотя бы один сбой}: P(A) = 0,9. Из соотношения

определим неизвестный параметр a = – ln 0,1 = 2,3.

Теперь можно вычислить вероятность события B = {в течение смены произойдёт не более двух отказов оборудования}:

98

P(B) = P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) =

15 мин. Пассажир подходит к троллейбусной остановке в некоторый момент времени. Определите среднее время ожидания пассажиром троллейбуса, дисперсию и среднее квадратическое отклонение времени ожидания пассажиром троллейбуса. Какова вероятность появления пассажира не позднее чем за 5 мин до отхода следующего троллейбуса?

Решение. Рассмотрим случайную величину X – время ожидания пассажиром троллейбуса. Все возможные значения данной случайной величины принадлежат отрезку [0; 15], и, согласно условию, все эти значения равновозможны. Следовательно, случайная величина распределена по равномерному закону с параметрами a = 0 и b = 15. Функция плотности распределения вероятностей (рисунок 34) данной случайной величины:

0 при x (−∞; 0);

f (x) = 1/15 при x [0; 15];

0 при x (15; ).

∞

Рисунок 34 – График плотности распределения вероятностей равномерного закона

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по равномерному закону на участке [a, b], можно определить по формуле

M[X ] = a +2 b = 0 +215 = 7,5[мин],

99