Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matan

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

712 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

43.

dx;

44.

xp2 + ln x;

x ln x

p1 + ln x

ln x dx

e4x dx

e2x dx

45.

;

46.

e2x 1

ex + 1

Використовуючи тригонометричнi пiдстановки x = a sin t i x = a tg t або гiперболiчнi пiдстановки x = a sh t i x = a ch t,

знайти такi iнтеграли:

47.

Z p

dx;

48.

Z p

dx;

1 x2

49.

Z p

dx;

50.

Z p

dx;

1 + x2

+ x2

51.

Z p

dx;

52.

Z p

dx;

x2 1

x2 16

53.

(9 x2)23 ;

54.

(4 + x2)23 .

4.3. Iнтегрування частинами в невизначеному iнтегралi.

Нехай u i v – диференцiйовнi функцiї. Тодi має мiсце рiвнiсть

u dv = u v v du;

яка називається формулою iнтегрування частинами. Для знаходження iнтеграла

f(x) g(x) dx

зручно використовувати формулу iнтегрування частинами в нижченаведених випадках.

1.Функцiя f(x) – многочлен, а g(x) – функцiя вигляду eax, sin ax або cos ax. При цьому функцiю g(x) вносять пiд знак

диференцiала i з допомогою формули iнтегрування частинами переходять до подiбного iнтеграла, в якого степiнь многочлена менший, нiж у початкового.

2.f(x) = xp, де p 6= 1, а g(x) – функцiя вигляду ln x, arcsin x, arccos x, arctg x або arcctg x. При цьому функцiю f(x) вносять пiд знак диференцiала i з допомогою формули iнтегрування частинами переходять до iнтеграла, у якого пiдiнтегральний вираз не мiстить логарифмiчної чи

оберненої тригонометричної функцiї.

3. f(x) = eax, а g(x) – функцiя вигляду sin bx або cos bx. При цьому двiчi використовують формулу iнтегрування частинами, вносячи пiд знак диференцiала функцiю f(x) або g(x), i переходять до такого ж iнтеграла, одержуючи в такий спосiб рiвняння вiдносно нього. Подiбним методом

px2 a2 dx,

pa2 x2 dx.

cos(ln x) dx,

можна знаходити

iнтеграли

sin(ln x) dx,

ДляRзнаходження Riнтегралiв In =

при

2 вико-

(x2+a2)n

ристовують рекурентну формулу

2n 1

In+1 =

In ;

2na2 (x2 + a2)n

2na2

яка одержується iнтегруванням частинами iнтеграла In.

З допомогою формули iнтегрування частинами знайти такi невизначенi iнтеграли:

1.	Z	x sin x dx;	2.	Z	x cos x dx;
3.	Z	x cos 2x dx;	4.	Z	x sin 3x dx;
5. Z x ex dx;			6. Z x e x dx;
7. Z x 2x dx;			8. Z x 3x dx;


	Z					Z	13
9.		x2e x dx;			10.		x3ex dx;
11.	Z	x cos2 x dx;			12.	Z	x2 sin2 3x dx;
13.	Z	ln x dx;			14.	Z	x ln x dx;
15.	Z	x2 ln x dx;			16.	Z	xn ln x dx, n 6= 1;
17.	Z	ln(x2 + 1) dx;			18.	Z	ln2 x dx;
19.	Z	x3 ln2 x dx;			20.	Z	x2 ln3 x dx;
21.	Z	arctg x dx;			22.	Z	arccos x dx;
23.	Z	x2 arcsin x dx;			24.	Z	x arctg x dx;
25.	Z	x arctg2x dx;			26.	Z	arctgp				dx;
										x
	Z		x dx			Z		x dx
27.				;	28.				.
			cos2 x					sin2 x

З допомогою формули iнтегрування частинами одержати рiвняння вiдносно наведених нижче iнтегралiв i знайти їх:

29.	Z	ex sin x dx;	30.	Z	ex cos x dx;
31.	Z	e2x cos 3x dx;	32.	Z	e x sin 2x dx;
33.	Z	sin(ln x) dx;	34.	Z	cos(ln x) dx;

Q(x)

P (x)

14
35.	Z	p		dx;	36.	Z	p		dx;
			x2 + a2					a2 x2
37.	Z	eax sin(bx) dx;			38.	Z	eax cos(bx) dx.

З допомогою формули iнтегрування частинами вивести рекурентнi формули i знайти такi iнтеграли:

39.	Z	(1 + x2)2 ;	40.	Z	(4 + x2)2 ;
		dx			dx
41.	Z	(9 + x2)3 ;	42.	Z	(1 + x2)3 ;
		dx			dx
43.	Z	(3 + x2)4 ;	44.	Z	(5 + x2)4 .
		dx			dx

4.4. Iнтегрування рацiональних функцiй.

Функцiя R(x) вигляду R(x) = QP ((xx)) , де P (x) i Q(x) – деякi многочлени, називається рацiональною функцiєю. Рацiональна

функцiя R(x) = називається правильним рацiональним дробом, якщо степiнь многочлена P (x) менший, нiж степiнь многочлена Q(x).

Серед правильних рацiональних дробiв розрiзняють простi дроби чотирьох типiв:

1) x a – простий дрiб першого типу;

2) (x a)n (n = 2; 3; : : : ) – простий дрiб другого типу;

Bx + D

3) x2 + p x + q (x2 +p x+q – незвiдний квадратний тричлен) –

простий дрiб третього типу;

Q(x)

другий – до знаходження iнтеграла In =

Bx + D

4) (x2 + p x + q)n (x2 +p x+q – незвiдний квадратний тричлен i n = 2; 3; : : : ) – простий дрiб четвертого типу.

Теорема 4.3. Довiльний правильний рацiональний дрiб можна подати у виглядi скiнченної суми простих дробiв.

Простi дроби 1 – 4-го типiв iнтегруються так:

1) Z	x a dx = A ln jx aj + C;
	A

AA 1

2)(x a)n dx = 1 n (x a)n 1 + C;

3 - 4) iнтеграл Z

Bx + D

dx подаємо у виглядi суми

(x2 + px + q)n

B d(x2 + px + q)

+ (D

)

;

2 Z (x2 + px + q)n

(x + p2 )2 + (q

p42 )

перший доданок в якiй зводиться до табличного iнтеграла (аналогiчно, як при iнтегруваннi дробiв першого i другого типiв), а

(x2 + a2)n dx.

Схема iнтегрування довiльної рацiональної функцiї

1.Рацiональну функцiю R(x) = QP ((xx)) подаємо у виглядi суми многочлена S(x) i правильного рацiонального дробу

R1(x) = P1(x) (видiлення цiлої частини).

2.Знаменник Q(x) дробу R1(x) розкладаємо в добуток взаємно простих незвiдних множникiв

Q(x) = (x a1)n1 ::: (x2 + p1x + q1)m1 ::: :

(4:1)

3.Використовуючи метод невизначених коефiцiєнтiв, правильний рацiональний дрiб R1(x) розкладаємо в суму

простих дробiв, породжених множниками (x a1)n1 , : : : ,

(x2 + p1x + q1)m1 , : : : .

4.Iнтегруємо многочлен S(x) i простi дроби з розкладу, одержаного на попередньому кроцi, i знаходимо суму цих iнтегралiв.

Метод Остроградського iнтегрування рацiональних функцiй

У випадку, коли розклад (4.1) знаменника Q(x) правильного дробу R(x) = QP ((xx)) мiстить множники з показниками ni; mj 2, тобто в розкладi функцiї R(x) на простi дроби є значна кiлькiсть дробiв 2-го та 4-го типiв, зручно використовувати дещо iншу схему iнтегрування. Вона полягає у знаходженнi рацiональної

частини iнтеграла R(x) dx i називається методом Остроградського.

Нехай

Q1(x) = (x a1)n1 1 ::: (x2 + p1x + q1)m1 1 : : : ;
Q2(x) = (x a1) ::: (x2 + p1x + q1) : : : :
Тодi			Z
Z
	R(x) dx = R1(x) +			R2(x) dx;		(4:2)
де вирази		P1(x)			P2(x)
R1	(x) =		i R2	(x) =
		Q1(x)			Q2(x)

є правильними дробами. Продиференцiювавши (4.2), методом невизначених коефiцiєнтiв знаходимо многочлени P1 i P2.

Розклавши на простi дроби вiдповiдний правильний дрiб, знайти невизначенi iнтеграли:

1. Z		x (x 1);	2. Z		x (x + 1);
		dx			dx
3.	Z	(x + 1)(2x 3);	4.	Z	(x 2)(3x + 1);
		2 dx			3 dx

x + 3

x dx

dx;

;

(x 2)(x + 5)

(x + 1)(2x + 1)

7. Z

;

8. Z

;

x2 7x + 10

x2 + 3x 10

2x3 11x2 + 4x + 6

; 10.

x4 + 5x3 + 4x2 + 13

;

x2 6x + 5

x2 + 5x + 6

(2x2 + 41x 91) dx

x dx

11.

(x 1)(x + 3)(x 4)

;

12.

(x + 1)(x + 2)(x + 3)

;

13.

x2 + 1

dx;

14.

3x2 + 10x

dx;

(x + 1)2(x 1)

(x + 2)(x2 4)

15.

4x dx

;

16.

2x2 + 8

dx;

x4 2x2 + 1

x4 8x2 + 16

x2 dx

8x2 36

17.

(x + 2)2(x + 4)2 ;

18.

x4 18x2 + 81

;

19.

2x3 + 6x

dx;

20.

12x2 + 16

dx;

x6 3x4 + 3x2 1

x6 12x4 + 48x2 64

21.

8x4 + 20x3 27x2 + 13x 4

;

(x 1)3(x 2)2(x 3)

22.

;

(x + 1)(x + 2)2(x + 3)3

23.

;

x5 + x4 2x3 2x2 + x + 1

24.

;

25.

16x + 8

dx;

x4 + 3x2 + 2

x4 + 10x2 + 9

x2 + 5x + 4

2x2

8x + 6

26.

dx;

27.

dx;

x4 + 5x2 + 4

x4 + 6x2 + 5

x + 1

2x 3

28.

x2 + 2x + 5

;

29.

x2 4x + 5

;


18	Z		+ 6x + 10 dx;
30.		x2
			x + 1
32.	Z	x3	+ 1;
		dx
	Z	x4 + 3
34.				dx;
		x4	1
	Z	x2 + 2
36.		2			dx;
		x4 + 1

Zx2 + 2x 1

38.x(x + 1)(x2 + 1) dx;

40.	Z	(x2 + 1)2 ;
		dx
42.	Z	(x2 + 9)3 ;
		dx

31.	Z	(x + 1)(x2	+ 1);
		dx
33.	Z	x3 1;
		x dx

Z2x2 dx

35.x4 16;

4x dx

37. x4 + 4;

Zx2 + x + 2

39.x(x 1)(x2 + 1) dx;

41.	Z	(x2 + 4)2 ;
		dx
43.	Z	(x2 + 1)4 .
		dx

Використовуючи метод Остроградського, знайти невизначенi iнтеграли:

44.

x2(x + 1)2 dx;

45.

(x 1)2(x + 1)2 ;

2x + 1

4x dx

46.

(x 1)2(x + 1)3 ;

47.

x2(x 1)3 dx;

x dx

x + 1

x2 + 3x + 1

x3 + 12x

48.

dx;

49.

dx;

x3(x + 1)3

(x2

4)3

x2 dx

50.

;

51.

;

(x2 + 1)3

(x2

+ 2x + 2)2

52.

(x2 + 4)4 ;

53.

(x2

+ 4x + 5)3 .

x dx

R(u; v) =

4.5. Iнтегрування iррацiональних функцiй.

Нехай R(u; v) – рацiональна функцiя двох змiнних, тобто

P (u; v); Q(u; v)

де P (u; v) i Q(u; v) – деякi многочлени.

Iнтегрування найпростiших iррацiональностей. Iнте-


грал	n cx + d! dx; де n 2 N;
R x;
Z	r	ax + b


з допомогою замiни t = n ax+b
рацiональної функцiї.	qcx+d зводиться до iнтеграла вiд деякої

Iнтегрування з допомогою пiдстановок Ейлера. Iнте-

грал Z p

R x; ax2 + bx + c dx

зводиться до iнтеграла вiд деякої рацiональної функцiї з допомогою таких пiдстановок Ейлера:

1)ax2 + bx + c = pa x + t, якщо a > 0;

2)pax2 + bx + c = x t pc, якщо c > 0;p

= a (p			1) (			2).
3)	a (x x1) (x x2) = t (x x1), якщо ax2 + bx + c =
x		x		x	x
Iнтегрування бiномiальних диференцiалiв. Iнтеграл
			Z	xm(a + bxn)p dx; де m; n; p 2 Q;

з допомогою вказаних нижче пiдстановок можна звести до iнтеграла вiд деякої рацiональної функцiї в таких випадках:

1)якщо p 2 Z (пiдстановка x = tN , де N – спiльний знаменник дробiв m i n);

2)якщо mn+1 2 Z (пiдстановка a+bxn = tN , де N – знаменник дробу p);

3) якщо	m+1	+ p 2 Z (пiдстановка	a+bxn	= t	N	, де N – зна-
	n		xn

менник дробу p).

Зводячи до iнтегралiв вiд рацiональних функцiй, знайти не-

визначенi iнтеграли:

1. Z

2. Z

1 + p

;

1 + p3

;

3. Z

4. Z

x + 1

;

x 1

;

1 p4 x + 1

2 + p3 x 1

5. Z

2p4

+ 3

x + 2

dx;

(x + 2)p4

+ 2x p

+ 4

x + 2

6. Z

;

7. Z

;

x(p

+ p3

)

x(1 + 2p

+ p3

)

8. Z

9. Z

x2 + p

;

1 + x

dx;

+ p3

x + 1

1 + x

10.

;

11.

;

(1 + p4

)p3

+ p3

+ 2p4

12.

Z r

1 x dx

;

13.

Z r

2 + x dx

;

1 + x

x 2

3 + x dx

1 x

14.

Z r

;

15.

Z r

;

1 + x

x 1

+ p

1 x

1 + x

x + 1

x 1

16.

p1 x

p1 + x

;

17.

px + 1 + px

;

18.

;

19.

;

(x + 1)2(x

1)4

1)3(x + 2)5

20.

Z s

1 px

;

21.

1 + px

;

1 + px

Z s1 p3 x

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.11.20182 Мб26marketing new part 1.doc
#
30.04.2019368 Кб3marketing_11-12_OEF_ep.doc
#
01.03.20251 Мб1Marketing_shpori.docx
#
01.05.2025125 Кб0marketing1.doc
#
29.09.2019150 Кб3Marketingovi_doslidzhennya_Vosstanovlen.docx
#
23.02.2016712 Кб36Matan.pdf
#
19.09.2019411 Кб5matematika.docx
#
21.12.201892 Кб7matematuka.docx
#
18.12.2018135 Кб6materiali_do_lektsiyi_Fenomen_svidomosti.doc
#
23.02.2016773 Кб67Materialna_tochka.doc
#
28.07.201936 Кб3maugham 7-9.docx