Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский институт экономики и информационных технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2_0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Так как tрасч > tтабл , то коэффициент множественной корреляции между

регрессантом и регрессорами значим.

4) Анализ статистической значимости параметров модели (коэффици- ентов регрессии) проводится с использованием t-статистики путём проверки гипотезы о равенстве нулю j -го параметра уравнения (кроме свободного

члена):

taˆ =

aˆ j

( j =1,2,...,m),

Saˆ

где Saˆ j

– стандартное (среднеквадратическое) отклонение коэффициен-

та уравнения регрессии aˆ j .

= Se

C jj , j =

Saˆ

1,m

где C jj

– диагональный элемент матрицы ( X ′X )−1 .

Значения C jj ,

взяты

из

матрицы ( X ′X )−1

будут: C00 = 7,677 ,

C11 = 0,307, C22 =1,084 ,

C00

= 2,771,

C11 = 0,554 , C22 =1,041,

∑ei2

0,350

i=1

= 0,264 ,

− m

8 − 2 − 1

− 1

Saˆ

= Se

C00

= 0,264 2,771=0,732 ,

taˆ

aˆ0

3,509

= 4,793,

Saˆ

0,732

aˆ

= S

= 0,264 0,554=0,146 ,

aˆ

aˆ1

0,416

= 2,849 ,

Saˆ

0,146

Saˆ

= Se

C22

= 0,264 1,041=0,275 ,

taˆ

aˆ2

1,040

=3,782

Saˆ

0,275

Если

расч

> t

считается значимым.

tˆ

, то коэффициент регрессии a

a j

α ; n-m-1

В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из модели (при этом её качество не ухудшится).

В нашем случае	tˆ	> t	и	tˆ	> t	. Поэтому коэффициенты
	a1	α ,n−m−1		a2	α ,n−m−1

a1, a2 существенны (значимы).

Доверительные интервалы коэффициентов регрессии определяются по

−

;

), где

= tтабл Saˆ

формуле (aj

aj +

Находим доверительные интервалы коэффициентов регрессии:

= tтабл

Saˆ

=2,571 0,732=1,882

a ) = (3,509-1,882; 3,509+1,882)=(1,627; 5,391)

−

a ;

(a0

= tтабл

Saˆ

=2,571 0,146=0,375

a ) = (0,416-0,375; 0,416+0,375)=(0,041; 0,791)

−

a ;

(a1

= tтабл

Saˆ

=2,571 0,275=0,707

a ) = (1,040-0,707; 1,040+0,707)=(0,333; 1,747)

−

a ;

(a2

5) Среднюю относительная ошибку аппроксимации найдем по форму-

ле:

1 n

− yx

Eотн =

∑

100%

∑

100%=

0,093 100% =1,163%.

n i=1

Можно сделать вывод, что полученная нами модель хорошо аппрокси- мирует исходные данные.

6) По построенной модели можно сделать прогноз следующим обра-

зом: по формуле yпр	= a0	+ a1x1пр	+ a2x2пр находим прогнозное значение yпр
	ˆ	ˆ	ˆ
для x1пр = 8, x2пр = 9 .

Вычисления прогнозных значений произведем в матричном виде:

пр

X ′

1 8 9

пр

yˆ

= X ′

3,509

= 16,195 .

0,416

пр

1,040

Будущие значения прогноза yпр

с вероятностью 0,95 попадут в довери-

тельный интервал: yпр −

пр ≤ yпр

≤ yпр +

пр .

Рассчитаем его для нашего случая. Для этого

X′

(XX′ )−1 X

7,677

1,319

−2,704

1 8 9

1,319

0,307

−0,566

= 5,997.

пр

−2,704

−0,566

1,084

= S t

1+ X ′

(

X ′X )−1 X

пр

= 0,264 2,571 1+ 5,997 = 1,795,

пр

e α

пр

yˆ

−

S t

1 +

′

( X ′X )

− 1

; yˆ

р + S t

1 +

X ′

( X ′X )

−1

пр

yпр (16,195 − 1,795; 16,195 + 1, 795) = (14, 4; 19,99) .

Будущие значения прогноза математического ожидания прогнозного yпр с вероятностью (1− α ) попадут в доверительный интервал

Setα X

′

−1

X пр

= 0, 264

2, 571

5,997 = 1, 662 ,

пр

( X X )

т.е.

yпр

Setα X

( X X )

пр ;

M ( yпр )

пр

−

′

−1

yˆ

+ S t X ′

( X ′X )−1

пр

e α

пр

M(yпр ) (16,195 − 1,662; 16,195 + 1,662) = (14,533; 17,857) .

7)По полученным результатам можно сделать некоторые экономиче- ские выводы.

Коэффициент aˆ1 = 0,416 показывает, что при увеличении основных

фондов на один миллион гривен валовой доход за год увеличиться на 0,416 млн. грн. Соответственно при увеличении оборотных средств на 1 млн. грн. валовой доход увеличиться на 1,040 млн. грн. (aˆ2 = 1,040).

Для каждого коэффициента регрессии вычислим коэффициент эла- стичности, бета-коэффициент и дельта-коэффициент

Э1 = aˆ1 x1 / y = 0,416 8,625/14,375=0,250 ,

Э2 = aˆ2 x2 / y = 1,040 7/14,375=0.506 ,

β1 = a1Sx1 / Sy = 0,416 3,623/ 3,503=0,430,

β2 = a2Sx2 / Sy = 1,040 1,927 / 3,503=0,572 ,

1 = ry,x1 β1 / R2 = 0,992 0,430/0,996=0,428 ,

2 = ry,x2 β2 / R2 = 0,995 0,572/0,996=0,572 .

Коэффициент эластичности Э1 показывает, что при увеличении основ- ных фондов на 1% валовой доход увеличиться на 0,25%.

Коэффициент β1 показывает, что при увеличении основных фондов на 1 ед. среднеквадратического отклонения Sx1 валовой доход увеличиться на 0,430 сред- неквадратического отклонения Sy .

Дельта-коэффициент 1 показывает, что 42,8% валового дохода зави-

сит от основных фондов, а 57,2% – от оборотных активов.

Для управнения процессом, который исследуется (валовой доход) мож- но сказать, что оборотные активы и основные фонды существенно влияют на валовой доход. Большее влияние оказывают оборотные активы. Поэтому для более быстрого роста валового дохода торговых предприятий необходимо обращать внимание больше всего на рост оборотных активов, т.к. они на 14,4% сильнее воздействуют на рост валового дохода по сравнению с основ- ными фондам.

Решение задачи с помощью Анализа данных: «Excel»; Разместить столбцами единой таблицей исходные данные для Y и X1, X2 ; «Сервис»;

«Анализ данных»; «Регрессия»; «ОК»; выделяем входной интервал Y ; пе- реводим курсор во входной интервал X и выделяем одновременно оба столбца X1, X2 ; «Остатки»; «ОК». Получим вывод итогов.

Чтобы определить, где и что написано в полученной таблице, надо смотреть объясняющую таблицу.

Вывод итогов

Множественный R			0,998
R-квадрат			0,996
Нормированный R-квадрат			0,994
Стандартная ошибка			0,264
Наблюдения			8
Дисперсионный анализ
	df	SS			MS	F	Значимость F
Регрессия	2,000	85,525		42,763		611,669	0,00000106
Остаток	5,000	0,350		0,070
Итого	7,000	85,875

	Коэф-		Стан-	t-	P-Зна-	Нижние		Верхние
	фици-		дартная	стати-	P-Зна-	Нижние		Верхние
	фици-		дартная	стати-	чение		95%	95%
	енты		ошибка	стика
Y-пересечение	3,509		0,733	4,790	0,005		1,626	5,392
Переменная X 1	0,416		0,146	2,840	0,036		0,039	0,792
Переменная X 2	1,040		0,275	3,777	0,013		0,332	1,747
Вывод остатка

Наблюдение		Предсказанное Y, yi			Остаткиei
				ˆ
1			12,243		-0,243
2			8,916		0,084
3			15,987		0,013
4			10,788		0,212
5			16,403		-0,403
6			19,730		0,270
7			14,947		0,053
8			15,987		0,013

2.8. Производственные функции

Пример 2.8. В табл. 2.8.1. приведены данные фирмы о выпуске продук- ции Y, затратах производственных фондов K и затратах труда L за десять лет:

Таблица 2. 8.1

Годы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Выпуск продукции – Y	4,3	5,2	6,1	6,9	8,3	9,1	10,8	11,2	12,1	13,1

Затраты труда – L	1,8	1,9	2,3	2,5	2,8	3,3	3,6	3,7	4,1	5,1
Затраты фондов – K	4,8	5,7	6,6	7,9	8,2	9,6	10,9	11,8	13,1	16,2

Используя эти данные, требуется:

построить производственную функцию Кобба-Дугласа: y = a0 La1 K a2 ;

рассчитать характеристики:

среднюю производительность труда; среднюю фондоотдачу; предельную производительность труда; предельную фондоотдачу;

эластичность выпуска продукции по затратам труда; эластичность выпуска продукции по производственным фондам; потребность в ресурсах труда; потребность в производственных фондах; фондовооруженность труда;

предельную норму замещения затрат труда производственными фон-

дами;

эластичность замещения ресурсов;

найти прогноз выпуска yпр для заданных значений x1 и x2.

Решение. Отметим, что в этой модели число наблюдений, n = 10 , а ко- личество регрессоров m = 2 .

Рассчитаем (оценим) параметры а0, а1, а2 производственной функцию Кобба-Дугласа y = a0La1 K a2 с помощью метода наименьших квадратов.

Функция Кобба-Дугласа является степенной. Чтобы использовать метод наименьших квадратов, предназначенный для линейных зависимостей, пролога- рифмируем ее и перейдем к линейной функции.

ln y = ln a0 + a1 ln L + a2 ln K .

Замечание. На этапе моделирования свободный член ln a0 желательно

исключать, так как он ухудшает статистические свойства модели. В этом случае в исходной мультипликативной модели a0 принимается соответст-

венно за единицу. Параметр a0 в экономической литературе интерпретирует-

ся как коэффициент нейтрального технического процесса.

Для общности и простоты рассуждений в нашей модели мы не будем исключать этот параметр.

Введем обозначения

			A0 = lna0 ,		Z = ln y,
			A1 = a1,		x1 = ln L,
			A2 = a2.		x2 = ln K.
В новых обозначениях
				Z = A0 + A1x1 + A2 x2 .
Исходные данные тоже подлежат логарифмированию.
								Таблица 2.8.2

Z = ln y	1,459	1,649	1,808	1,932	2,116	2,208	2,380	2,416	2,493	2,573
x1 = ln L	0,588	0,642	0,833	0,916	1,030	1,194	1,281	1,308	1,411	1,629
x2 = ln K	1,569	1,740	1,887	2,067	2,104	2,262	2,389	2,468	2,573	2,785

Методом наименьших квадратов находим логарифм функции Кобба- Дугласа. Правило её нахождения выведено в предыдущих разделах курса и определяется следующей зависимостью

ˆ	ˆ	−1	X ′Y.
Z = XA , где	A = ( X ′X )		X ′Y.

В этой модели:

	1	0,59	1,57		1,46
	1	0,64	1,74		1,65
	1	0,83	1,89		1,81
X =	1	0,92	2,07	Y =	1,93
X =	1	1,03	2,1	Y =	2,12
	1	1,19	2,26		2,21
	1	1,28	2,39		2,38
	1	1,31	2,47		2,42
	1	1,41	2,57		2,49
	1	1,63	2,79		2,57

1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 X ′ = 0,588 0,642 0,833 0,916 1,030 1,194 1,281 1,308 1,411 1,629 1,569 1,740 1,887 2,067 2,104 2,262 2,389 2,468 2,573 2,785


X ′X =	10	10,8	21,8	( X ′X )−1 =				60,8			67,8	-61,4	X ′Y =	21
X ′X =	10,8	12,8	24,8	( X ′X )−1 =				67,8			80,6	-71	X ′Y =	23,9
	21,8	24,8	49					-61,4 -71 63,3						47,2
			ˆ		−1	X ′Y =
									0,226
									0,301
			A = ( X ′X )						0,301
									0,710
							0,226
					ˆ	=	0,301
					A	=	0,301			.
							0,710

Замечание. Намного проще (без каких-либо вычислений) уравнение регрессии находится следующим способом: «Excel»; «Сервис»; «Анализ данных»; «Регрессия»; «ОК». Вводятся данные, и получаем решение.

Таким образом

Z = 0,226 + 0,301x1 + 0,710x2 .

Переходим к логарифмам

lnY =0,226+0,301 lnL+0,710 lnK

и потенцированием получаем функцию Кобба-Дугласа

y = e0,226+0,301ln L+0,710ln K = e0,226+ K 0,301 L0,710 = e0,226 L0,301 K 0,710.

Таким образом, функция Кобба-Дугласа будет иметь следующий вид:

y = 1,254 L0,301 K 0,710 .

Для проведения экономического анализа рассчитаем основные харак- теристики функции Кобба-Дугласа.

1. Средняя производительность труда равна

a La1

Ka2

a Ka2

1.254 K

0,710

L(1−a1)

L0,699

Следовательно, с увеличением затрат труда L (при неизменных затра- тах производственных фондов K ) средняя его производительность снижается и наоборот, увеличение затрат производственных фондов K (при неизмен- ных затратах труда L ) ведет к росту средней производительности труда. Этот факт полностью соответствует логике экономического анализа роста производительности труда.

2. Средняя фондоотдача равна

a La1

K a2

a La1

1,254 L0,301

(1−a2 )

0,290

Отсюда следует, что с увеличением затрат производственных фондов K (при неизменных затратах труда L ) средняя фондоотдача снижается. Уве- личение же затрат труда L (при неизменных затратах производственных фондов K ) ведет к росту средней фондоотдачи.

3. Найдем предельную производительность труда

ν1 =	∂y	=	∂	(a0	La1 Ka2 ) = a0	a1	L1(a1−1) Ka2 =	a0 a1 Ka2	=	0,377 K0,710	.
			∂L					L(1−a1)
	∂L									L0,699

Следовательно, с увеличением затрат труда L (при неизменных затра- тах производственных фондов K ) предельная производительность труда снижается и наоборот, увеличение затрат производственных фондов K (при неизменных затратах труда L ) ведет к росту предельной производительности труда.

4. Найдем предельную фондоотдачу

∂y

∂

(a2

−1)

a0 a2 La1

0,890 L0,301

ν2

(a0 L

)= a0 a2 L

∂K

∂x2

(1−a2 )

0,290

Таким образом, с увеличением затрат производственных фондов K (при неизменных затратах труда L ) предельная фондоотдача снижается. Увеличение же затрат труда L (при неизменных затратах производственных фондов K ) ведет к росту предельной фондоотдачи. Одновременное измене- ние обеих переменных может приводить к различным результатам.

5. Эластичность выпуска продукции по затратам труда

Ey / L	=	L	∂y	=	L	(a0 a1 L(a1−1) Ka2 ) = a1 = 0,301.
					La1 Ka2
		y ∂L a
	0

Данный показатель показывает, что при увеличении затрат труда L на 1% выпуск продукции у предельно увеличивается на 0,301%.

6. Эластичность выпуска продукции по производственным фондам

Ey/ K	=	K		∂y	=	K		(a0 a2 La1 K(a2−1) )= a2 = 0,710.
		y
				∂K a		La1 Ka2
			0
Этот показатель указывает на то, что при увеличении производствен-
ных фондов K	на			1% выпуск			продукции предельно увеличивается на
0,710 %.

Производственная функция позволяет рассчитать потребность в одном из ресурсов при заданном объеме выпуска продукции у и величине другого ресурса.

7. Потребность в ресурсах труда L составляет:

ya1

y3.332

L =

= 0,470

Ka2

K2.359

K a1

8. Потребность в производственных фондах K составляет:

1,408

K =

= 0,727

La1

L0,424

La2

9. Производственная функция позволяет исследовать вопросы соотно- шения, замещения, взаимодействия ресурсов. В частности, на основе соот- ношения K/L определяется важный экономический показатель – фондово- оруженность труда

La1

ya2

y1,408

= 0,727

1,424

10. Взаимодействующие в рамках производственной функции ресурсы L и K могут замещать друг друга. Предельная норма замещения затрат труда L производственными фондами K равна

h = dK = − a1 K = −0,424 K . dL a2 L L

Предельная норма замещения h зависит не только от параметров а1 и а2 производственной функции Кобба-Дугласа, но и от соотношения объемов ре- сурсов L и K .

Знак «минус» означает, что при фиксированном объеме выпуска про- дукции у необходимо при уменьшении одного ресурса увеличивать другой.

11. Влияние соотношения объемов ресурсов на предельную норму за- мещения h находит свое выражение в показателе эластичности замещения ресурсов. Этот показатель определяется как отношение относительных при- ращений фондовооруженности труда и предельной нормы замещения ресур-

сов

∂

ω =

−

= 1.

∂h

Отсюда следует, что эластичность замещения ресурсов для производст- венной функции Кобба-Дугласа всегда равна единице. Т.е. изменению фон- довооружённости труда на 1% соответствует изменение предельной нормы замещения также на 1%.

12. Найдем прогноз выпуска продукции уnp для заданных значений

L = 10,2 и K = 20 :

yпр = 1,254 10,20,301 200,710 = 21,166 .

13. Рассмотрим поведение функции Кобба-Дугласа при изменении масштаба производства. Пусть затраты каждого ресурса увеличатся в λ раз. Тогда новое значение производственной функции равно

y = a0 (λ L)a1 (λ K )a2 = λ a1+a2 y.

Если a1 + a2 = 1, то уровень эффективности ресурсов не зависит от масштаба производства. Если a1 + a2 < 1, то с расширением масштабов произ-

водства средние затраты ресурсов в расчете на единицу продукции умень- шаются, а если a1 + a2 > 1, то – увеличиваются. В последнем случае подразу-

мевается интенсивное развитие производства.

Таким образом, функция Кобба-Дугласа даёт возможность анализиро- вать производственную деятельность фирмы и на основании анализа давать рекомендации по усовершенствованию управления фирмой.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.12.2018626 Кб11--план_практики_2011_2012_КМ.doc
#
23.02.201670 Кб1804_Лаб.раб._IF+CASE.doc
#
01.05.202549 Кб41-39.docx
#
01.07.202545 Кб41. Web-Студия.docx
#
23.02.201669 Кб1231.1. Вправи на дієслово to be (Голіцинський).doc
#
23.02.20162 Мб492_0.pdf
#
01.04.20256 Мб23_R_1-2.doc
#
01.05.202586 Кб25. Міжособистісні стосунки в групах.doc
#
01.05.202581 Кб457.docx
#
01.05.202570 Кб458.docx
#
01.05.202559 Кб761.docx