pmii098

Т.к. в рассматриваемой задаче полезность и не должна измениться, ее дифференциал равен нулю. С учетом того, что полезность денег не является нулевой величиной, получаем из

(3.61)

Если меняется только цена на 1-й товар (dр2 = 0), то величина компенсации: dI = x1 dp1. Значит, при изменении цены 1-го товара на р1 компенсирующая прибавка дохода должна быть равна

Полученная формула носит приближенный характер, т.к. уравнение (3.63) справедливо только при бесконечно малых изменениях цен, а в реальности изменение цены на товар всегда является конечной величиной.

Пример 3.7. Допустим, что в предыдущей задаче (пример 3.6) цена на первый товар изменилась и стала равной 3 единицам. Определить необходимую величину компенсационной прибавки к доходу потребителя и объемы спроса на товары, соответствующие оптимальному выбору потребителя в новых условиях.

Решение

Поскольку компенсация предполагает, что уровень полезности набора остается неизменным, функция полезности описывается той же формулой, что и в предыдущей задаче и имеет ранее найденное значение 2. Однако величина дохода потребителя теперь неизвестна. Обозначим ее I'. Теперь бюджетное ограничение запишется так:

I 3x1 2x2 .

141

Снова выразим х1 из выражений функции полезности и бюджетного ограничения и приравняем эти два выражения. Получается квадратное уравнение

Оптимальный выбор соответствует случаю D = 0. Тогда

I 24u2 .

Величина функции полезности не изменилась по сравнению с предыдущей задачей и по-прежнему равна 2. Тогда

I 24 22 96 9,8.

Величина компенсационной прибавки будет равна I = 9,8 – 8 = 1,8. Заметим, что формула (3.64) дает в данном случае величину прибавки в 2 единицы, так что эта формула действительно является приближенной. Спрос на первый товар, как и в предыдущей задаче, определяется единственным корнем квадратного уравнения

Спрос на второй товар находим из выражения функции полезности

Видно, что спрос на первый товар уменьшился, а на второй – увеличился, что подтверждает вывод, полученный ранее на основе графического анализа.

Пример 3.8. Решение задачи об оптимальном спросе потребителя с помощью электронных таблиц EXCEL.

142

Рассмотрим потребительский набор, который включает два товара и описывается неоклассической функцией полезности

u x1a1 x2a2 .

Цены на товары равны соответственно p1 и p2, а доход потребителя – I. Эти величины заданы.

Определить с помощью электронных таблиц EXCEL максимальный уровень полезности и значения спроса на блага, соответствующие оптимальному выбору потребителя.

Решение

В соответствии с общей постановкой задачи об оптимальном выборе потребителя, необходимо решить условную задачу оптимизации:

Для решения с помощью EXCEL составляем таблицу, показанную на рис. 3.15 (строки 1-10).

Вячейки, выделенные серой заливкой, заносятся значения параметров, заданных в условиях задачи – значения цен на блага, показатели степени для выражения функции полезности и величина дохода потребителя. В данном случае использованы значения параметров из примера 3.6.

Вячейках А10 и В10 вычисляются искомые параметры решения - величины спроса на блага 1 и 2. При составлении таблицы в них можно занести произвольные значения.

Вячейке С6 вычисляется искомое значение функции полезности, которая является целевой функцией поставленной задачи оптимизации. Для этого в ячейку заносится формула

=A10^B5*B10^C5.

Таким образом, искомые параметры решения задачи сосредоточены в ячейках А10, В10, С6. Эти ячейки выделены на рис. 3.15 жирными рамками, а значения в них даны крупным жирным шрифтом.

143

В ячейке D3 (она обведена тонкой рамкой) рассчитывается величина затрат потребителя на приобретение набора благ. Для этого использована функция

= СУММПРОИЗВ(B1:C1;A10:B10).

Знак в ячейке Е3 поставлен для наглядности. Он напоминает, что затраты потребителя не могут превышать его дохода.

Рис. 3.15. Решение задач расчета спроса в EXCEL

После подготовки таблицы в меню Сервис выбирается команда Поиск решения. Появившееся диалоговое окно заполняется так, как показано на рис. 3.16.

144

Рис. 3.16. Параметры поиска решения для расчета оптимального спроса

Заметим, что при решении задачи с помощью EXCEL бюджетное ограничение может иметь как вид равенства (3.36), так и более общий вид неравенства (3.35). Решение получится одинаковым.

После заполнения элементов диалогового окна, необходимо нажать клавишу Параметры и в появившемся окне диа-

лога Параметры поиска решения установить флажок Неотри-

цательные значения; затем нажать ОК для возврата в окно диалога. Затем щелчком по клавише Выполнить дается команда компьютеру на поиск решения задачи. Результат поиска показан на рисунке 3.15.

Пример 3.9. Решение задачи о компенсации повышения цен с помощью электронных таблиц EXCEL.

Допустим, что потребительский набор включает два блага и описывается неоклассической функцией полезности

u x1a1 x2a2 .

При ценах на блага соответственно p1 и p2, и доходе потребителя I0 определен максимальный уровень полезности u0 и соответствующие ему значения спроса на блага. Эти величины заданы.

145

Вслучае, когда цена на благо 1 возросла и стала равной

р'1, определить с помощью электронных таблиц EXCEL новые уровни спроса х'1 и x'2, соответствующие оптимальному выбору потребителя при условии сохранения прежнего значения функции полезности, а также необходимую для сохранения полезности величину компенсации дохода.

Решение

Вданной задаче целевой функцией становится новая величина дохода потребителя. Для того чтобы на компенсацию роста цены не расходовались лишние средства, отыскивается минимально необходимое значение компенсированного дохода I' при условии сохранения прежнего значения функции полезности. Получаем условную задачу оптимизации следующего вида:

Результаты решения задачи с помощью электронных таблиц EXCEL при параметрах примера 3.7 показаны на рисунке 3.15 (строки 13-22). Функции для расчета значений затрат потребителя и функции полезности имеют ту же структуру, что и в предыдущем примере:

- затраты (ячейка D15):

СУММПРОИЗВ(B15:C15;A22:B22); - функция полезности (ячейка С18):

=A22^B17*B22^C17.

Параметры заполнения диалогового окна Поиск решения для этого случая читателю предлагается разработать самостоятельно по аналогии с предыдущим примером. Обратите внимание на изменение параметров оформления ячеек в таблице, показывающих роль содержимого ячеек в решении задачи (исходные данные выделены серой заливкой, искомые значения спроса и целевой функции затрат (дохода потребителя) – крупным жирным шрифтом и жирными рамками, вспомогательная функ-

146

ция для создания ограничения – функция полезности – тонкой рамкой).

В качестве ограничивающего функцию полезности значения можно взять как непосредственно числовое значение решения предыдущего примера – 2 – так и сослаться для этого на ячейку С6, содержащую это значение. Таким образом, ограничение при поиске решения может иметь вид

С18 = 2 или С18 = С6.

Второй вариант удобен, если приходится одновременно решать как первичную задачу расчета оптимального спроса, так и задачу расчета компенсации роста цен относительно первоначального уровня.

Величина компенсационной прибавки к доходу рассчитывается в ячейке F15 по формуле

= D15 – D3.

147

3.5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

3.5.1. Технологические способы и производственные функции

В основе деятельности любого предприятия (фирмы) лежит процесс преобразования некоторых ресурсов (факторов) в конечные результаты. Набор факторов характеризуется вектором х = (х1, х2, …, хN), компонентами которого являются объемы затраченных ресурсов. Результаты производственной деятельности характеризуются вектором у = (у1, у2, …, уM), компонентами которого могут быть объемы выпуска различной продукции, прибыль, рентабельность и другие характеристики. Компоненты обоих векторов объединяют вместе в один вектор

( )

Он характеризует определенный вариант деятельности предприятия, называемый "технологическим способом" (ТС). Таких технологических способов в деятельности предприятия может быть много, они характеризуются разными расходами ресурсов, выпуском различного ассортимента продукции и т.п. Совокупность различных технологических способов образует

"технологическое множество" V.

Отдельные технологические способы могут быть неравноценны. Можно выделить более выгодные технологические способы, при которых либо удается добиться повышения выпуска продукции при таких же затратах, что и в менее выгодном технологическом способе, либо произвести такое же количество продукции, израсходовав меньшее количество ресурсов.

Рассмотрим два технологических способа: v1 и v2. Говорят, что технологический способ v1 предпочтительнее, технологического способа v2, если

и при этом справедливо, по крайней мере, одно из условий

148

1) существует хотя бы один номер i0, при котором

;

2) существует хотя бы один номер j0, при котором

.

Следует заметить, что если рассмотреть два технологических способа, для которых нарушается одно из условий (3.65), то говорить о предпочтительности одного другому вообще невозможно. Такие технологические способы несопоставимы.

Если некий технологический способ ̃ принадлежит технологическому множеству и не существует другого технологического способа, который также принадлежал бы этому множеству и был бы предпочтительнее ̃, то технологический способ ̃ называется эффективным. Поскольку в различных подмножествах технологического множества V, состоящих из сопоставимых между собой технологических способов, имеются свои эффективные технологические способы, то внутри V возникает подмножество V*, состоящее из эффективных технологических способов. Оно называется эффективным подмножеством V.

Отображение вектора х на вектор у: х → у – задается производственной функцией у = f(x). Такое определение производственной функции шире, чем данное в 1-й главе 3-й части, поскольку теперь производственная функция оказывается векторной, а значения ее компонентов могут выражать не только объем выпуска продукции, но и другие результаты хозяйственной деятельности. Тем не менее, в дальнейших рассуждениях мы ограничимся случаем, когда:

1) Производственная функция однозначна – каждому вектору х соответствует только один результат у (это, вообще говоря, не обязательно)

2) Производственная функция скалярная – результат деятельности описывается одним численным показателем у. Обычно в таких случаях у – это денежный эквивалент полного объема произведенной продукции во всем ее ассортименте.

149

Если производственная функция при каждом векторе аргументов х соответствует эффективному технологическому способу, то уравнение (3.66) задает в N-мерном пространстве факторов некую гиперповерхность, которая является границей технологического множества V.

Такие производственные функции для конкретных предприятий строятся на основе статистического анализа производственных процессов (при этом неявно предполагается, что эти процессы являются эффективными). Наиболее часто для моделирования используются следующие формы производственных функций:

1) линейная:

(3.67)

2) степенная:

(3.68)

Частным случаем степенной производственной функции (3.68) для двухфакторного технологического процесса является производственная функция Кобба-Дугласа (3.3). В таком частном случае двумя факторами могут оказаться труд L и капитал

K.

Задание производственной функции позволяет ввести некоторые характеристики технологического процесса:

1) Отношение

(3.69)

называется ресурсоотдачей фактора (ресурса) xj. Ресурсоотдача определяет выпуск продукции в расчете на единицу затрат соответствующего ресурса.

2) Обратная ресурсоотдаче величина

(3.70)

называется ресурсоемкостью единицы продукции (затрата ресурса на единицу выпущенной продукции).

3) Частная производная

150