Сборник_ТЗ

б) lim .

Розв’язання. При підстановці граничного значення аргументу функції, ми отримаємо невизначеність типу |∞ ∞|. Перед тим, як застосувати правило Лопіталя, ми повинні виконати перетворення, а саме: привести дробі до спільного

Як бачимо, правилом Лопіталя ми були вимушені скористатися двічі, попередньо спростив функцію.

Відповідь. Границя функції дорівнює 0.

в) lim .85 · 6785/.

Розв’язання. При підстановці граничного значення аргументу функції, ми отримаємо невизначеність типу |0 · ∞|. Функція представлена у вигляді добутку. Для того, щоб скористатися правилом Лопіталя ми повинні записати функцію

Відповідь. Границя функції дорівнює 8.

г) lim:.1 < 5= / .

Розв’язання. При підстановці граничного значення аргументу функції, ми отримаємо невизначеність типу |∞ |. Функція має вигляд степенево-показникової. Для того, щоб

301

скористатися правилом Лопіталя, прологарифмуємо границю. Задану границю позначимо як >, знайдемо її логарифм

Тепер використання правила Лопіталя можливо. Обчислимо границю:

виконав необхідні перетворення, щоб повернутися до заданої

границі, згадаємо основну властивість показникової функції:

> =@A C = =.

Відповідь. Границя функції дорівнює =.

2. Дослідити функції на монотонність та екстремуми:

а) D 25 452 5.

Розв’язання. Дослідження проведемо за схемою, представленою у п. 4.4.3:

-нанесемо на числову вісь критичні точки та дослідимо знак DJ у кожному з отриманих інтервалів

302

Відповідь. Функція зростає на інтервалах 5 H . 1; 0/ Q

.1; <∞/, спадає – 5 H . ∞; 1/ Q .0; 1/; в точках R . 1; 7/ та

R .1; 7/ - мінімуми функції, в точці R .0; 5/ - максимум.

-нанесемо на числову вісь критичні точки та точку, в якій функція не існує .5 3/, дослідимо знак DJ у кожному з отриманих інтервалів

в точці з абсцисою 5 1 - мінімум, в точці з абсцисою 5 7 -

R .1;2/ - мінімум функції, в точці R . 7; 14/ - максимум.

303

3. Дослідити функцію на опуклість, угнутість та точки

перегину:

a) D 35 45 65 < 15.

Розв’язання. Дослідження проведемо за схемою, представленою у п. 4.4.6:

-нанесемо на числову вісь критичні точки та точки, в яких функція не існує та дослідимо знак другої похідної в кожному з отриманих інтервалів

Обчислимо ординати точок перегину:

D.0/ 15;

D X Y 3 X Y 4 X Y 6 X Y < 15 9S .

Відповідь. Функція опукла на інтервалі 5 H X0; Y, угнута

- 5 H . ∞; 0/ Q X ; <∞Y, в точках Z .0;15/, Z X ; 9S Y - точки перегину функції.

304

- знайдемо критичні точки:

DJJ 0: 0; 2 25 0;

. /

5 1.

-нанесемо на числову вісь критичні точки та точки, в яких функція не існує та дослідимо знак другої похідної в кожному з отриманих інтервалів

та відрізок, який відсікає асимптота на осі ординат (4.52):

305

Отже, рівняння похилої асимптоти має вигляд:

D 35 16.

Відповідь. Функція має вертикальну асимптоту 5 5 та похилу асимптоту D 35 16.

асимптота перетворюється в горизонтальну.

Відповідь. Функція має горизонтальну асимптоту D 0

при 5 ∞.

5. Провести повне дослідження функції та побудувати графік: D .

Розв’язання: Загальна схема дослідження функції

приведена в п. 4.4.8. Проведемо дослідження за схемою. - ОДЗ: 5 1 U 0; 5 U 1; 5 U O1;

5 H . ∞; 1/ Q . 1; 1/ Q .1; <∞/.

306

-Знайдемо інтервали знакопостійності. Нанесемо на числову вісь точки перетину з віссю абсцис та точки,

в яких функція не існує, дослідимо знак функції в кожному з отриманих інтервалів:

симетричний відносно початку координат.

-Періодичність. Функція не періодична.

-Дослідимо функцію на монотонність та екстремуми.

Ми детально розглянули цю схему у завданні 2.

критичних точок нема, тому й екстремумів у функції нема. Дослідимо на монотонність:

Функція спадає на всій області визначеності. Екстремумів нема.

-Дослідимо функцію на опуклість, угнутість та точки перегину. Ми детально розглянули цю схему у завданні 3.

307

Знайдемо асимптоти функції (см. Завдання 4):

та асимптоти.

асимптота5 1 - вертикальніD _5 < `:5 1прямі- похила

похила асимптота перетворюється в горизонтальну D 0.

Об’єднаємо отримані результати дослідження на графіку функції:

y

6. Знайти найбільше та найменше значення функції D c на інтервалі 2; .

308

Розв’язання: Схема дослідження функції на найбільше та найменше значення функції в замкненому інтервалі приведена в п. 4.4.4. Проведемо дослідження за схемою.

ОДЗ: 5 H I Знайдемо похідну:

7. Визначити оптимальне для виробника значення випуску 5 за умови, що весь товар реалізується за фіксованою

ціною q 52 за одиницю товару і відома функція витрат r.5/ 12 < 45 < 5 .

Розв’язання: За формулою (4.55) прибуток визначається як

Z.5/ s.5/ r.5/ 525 12 45 5 485 12 5 , де s.5/ q · 5 525.

Оптимальне значення випуску – значення, при якому прибуток є найбільшим. Розв’яжемо задачу про найбільше

значення функції. Знайдемо похідну:

ZJ.5/ 48 35 .

309

Розв’яжемо рівняння ZJ.5/ 0. Тобто 48 35 0. Критичні точки: 5, O4. За умовою задачи зрозуміло, що мають сенс лише додатні значення, отже 5 4. В цій точці функція набуває максимуму (за результатами дослідження знаків похідної), тому оптимальне значення випуску дорівнює 5 4.

8. На початковому етапі виробництва фірма мінімізує середні витрати, при цьому функція витрат має вигляд r.5/ 24 < 105 < 65 . Подалі ціна на одиницю товару встановлюється на рівні q 46. На скільки одиниць товару фірмі потрібно збільшити виробництво? На скільки при цьому збільшаться середні витрати?

Розв’язання: За формулою (4.56) функція середніх

витрат виробництва має вигляд

>.5/ t./ < 10 < 65.

прямує, що необхідно збільшити виробництво на 1 одиницю

.∆5 5опт. 5 /.

З’ясуємо середні витрати виробництво

>.2/ < 10 < 6 · 2 34; >.3/ < 10 < 6 · 3 40; ∆> 40 34 6.

Отже, середні витрати зміняться на 6 грошових одиниць.

310