pascal_ar

________________________________________________________

Ï è ñ ü ì î ê ÷ è ò à ò å ë þ

Дорогой читатель!

В связи с эпистолярной формой этой книги мне хотелось бы сообщить Вам то, о чем Вы, верно, уже догадались, а именно, что профессора Анри Труверьяна никогда не существовало, следовательно, он не мог ничего найти (на это намекает и его имя - Труверьян, т.е. Ничего не нашедший) и, таким образом, приводимых в книге писем Паскаль в действительности не писал. Возможно, Вы все же ждете, чтобы я объяснил, почему для изложения основ теории вероятностей я избрал эпистолярную форму, причем прибегнул к вымышленным письмам Паскаля. Но вопрос этот не требует ответа. Если Вы внимательно и с интересом прочли эти письма, Вы не станете ни о чем спрашивать; если же письма Вам не понравились, то никакие объяснения не помогут. Поэтому я только замечу, что при выборе литературного жанра этой книги я руководствовался примерно теми же соображениями, что и при написании «Диалогов» [10], только на сей раз мне захотелось проэкспериментировать с другой его формой [впрочем, местами я комбинировал обе родственные формы, вводя в письма короткие диалоги]. Вымышленные письма - весьма распространенная форма литературного жанра, восходящая к Древней Греции. Уже при Платоне она была обычной, философские вопросы нередко излагались в форме писем. Это поэтическое искусство живо и в наши дни. В качестве примера я хотел бы сослаться на мастерское произведение Торнтона Уайльдера «Мартовские иды» [11].

Что же касается выбора корреспондентов, Паскаля и Ферма, то я придерживался тех же принципов, что и в «Диалогах»: я отнес их переписку ко времени возникновения понятий теории вероятностей, чтобы представить себе их in statu nascendi (т.е. в состоянии зарождения), сохранив при этом всю их первозданную свежесть.

«Письма о вероятности» и «Диалоги» роднит и то, что в обоих произведениях я стремился сохранить историческую правду, по возможности избежать анахронизмов и выдержать стиль, который соответствовал бы изображаемой эпохе. Желая приблизить письма к подлинникам, я включил в текст многие мысли и афоризмы из трудов Паскаля; некоторые строки даже полностью (или же с ничтожными изменениями) соответствуют подлинным словам ученого. На соответствующие выдержки из трудов Паскаля сделаны ссылки в примечаниях. В публикуемых письмах Паскаль часто цитирует других авторов; все эти цитаты заимствованы из трудов, о которых достоверно известно, что Паскаль их знал. Известно, что некоторые из них (например, «Очерки» Монтеня) были любимым его чтением.

Итак, дорогой читатель, я сделал все, что было в моих силах, чтобы Вы поверили в возможность написания этих писем. Разумеется, я был далек от мысли обмануть Вас и заставить думать, что Вы читаете подлинные письма. Что же касается их содержания, то я не смею утверждать, что оно в действительности было продумано Паскалем, но оно вполне возможно, и никакими историческими аргументами этого нельзя опровергнуть.

Вы вполне резонно можете спросить: почему же я не опубликовал и «ответы» Ферма? Конечно, я мог это сделать, но посчитал излишним, так как содержание ответов Ферма с большой точностью, за исключением некоторых деталей, нетрудно восстановить по письмам Паскаля. К тому же, как Вы помните, профессор Труверьян довольно убедительно разъяснил причины, в силу которых до нас не дошли письма Ферма.

Сердечно благодарю Вас за терпенье. Искренне Ваш

Альфред Реньи

________________________________________________________

Ä Î Ï Î Ë Í Å Í È ß ( à â ò î ð à )

Краткая биография Паскаля

Блэз Паскаль родился в Клермон-Ферране 19 июня 1623 года. Его отец, председатель финансово-судебной палаты, был человеком обширных и глубоких знаний. Блэз очень рано, в трехлетнем возрасте, потерял мать - Антуанетту Бегон; с тех пор отец сам воспитывал его и двух дочерей - старшую Жильбер (впоследствии вышедшую замуж за Этьена Перье) и младшую Жаклин (которая затем ушла в монастырь). Паскаль не учился ни в школе, ни в университете, всему его обучал отец. Уже в отрочестве Паскаль обнаружил необыкновенный талант: когда ему было всего 16 лет, он написал трактат «Опыт теории конических сечений». В этой работе содержится знаменитая теорема, согласно которой три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в коническое сечение, находятся на одной прямой. В 1642 году, когда Паскалю исполнилось 19 лет, он сконструировал счетную машину. В последующие годы он изготовил еще семь счетных машин, некоторые из них сохранились; на выставке, организованной в Клермон-Ферране в 1962 году по случаю трехсотлетней годовщины со дня смерти Паскаля, можно было видеть одну из этих машин. Мы вправе считать Паскаля пионером кибернетики, ибо он понимал принципиальное значение своего изобретения. Это подтверждают следующие его слова: «Счетная машина способна производить действия, которые ближе к мышлению, чем все, на что способны животные».22

В 1648 году Паскаль повторил во многих вариантах опыт Торричелли и дал полное объяснение полученных результатов. Он доказал, что давление воздуха зависит от высоты, отсчитываемой от уровня моря, открыл основной закон гидродинамики и принцип устройства гидравлического пресса.

Чтобы понять, почему эти исследования Паскаля вызвали столь большой отклик и послужили поводом к страстным дискуссиям, нужно знать, что своими опытами Торричелли опровергал учение Аристотеля, согласно которому вакуум невозможен, так как природа боится пустоты. Тем самым опыты Торричелли означали тяжкое поражение схоластики. Паскаль полностью сознавал революционное значение эксперимента Торричелли и собственных экспериментов для научного мышления и потому проводил их с особой тщательностью и осмотрительностью. Он резко критиковал тех, кто в своем преклонении перед авторитетами оставался слепым к фактам. Сохранился набросок предисловия к запланированному, но не написанному трактату Паскаля о вакууме, который заканчивается следующими словами: «Как бы высоко мы ни ценили мнения древних, истина, сколь бы нова она ни была, всегда заслуживает еще более высокой оценки, ибо в действительности истина старше всех мнений. И если мы думаем, что истина родилась тогда, когда люди открыли ее, то это означает, что мы не знаем ее природы».23

Âвопросах науки Паскаль твердо придерживался экспериментального метода и свободного от предрассудков логического мышления, но был убежден,

что в вопросах религии невозможно достичь истины посредством только мышления; для этого необходима также вера.24

Âдуховном мире Паскаля религия играет большую роль начиная с 1646 года

-как отмечают биографы, времени его «первого обращения» к вере. Но все же в ту пору религия еще не стала главенствующей в его жизни. Годы 1652-1654 относятся к так называемому «светскому периоду» жизни Паскаля. В 1653 году со своими знатными друзьями - герцогом Роаннским, кавалером де Мере и Дамьеном Митоном - Паскаль ездил в Пуату. Во время этого путешествия де Мере задал Паскалю два вопроса об азартных играх, о которых в 1654 году

Паскаль переписывался с Ферма. В ходе этой переписки и зародилась теория вероятностей.25

Первое письмо Паскаля к Ферма датируется 29 июля 1654 года, второе - 24 августа и третье (всего несколько строк) - 27 октября 1654 года. Как уже говорилось выше, письма посвящены двум вопросам, заданным кавалером де Мере. Первый вопрос состоит в следующем: сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы вероятность хотя бы однажды выбросить две шестерки была больше половины? Эту задачу решил сам де Мере.

Второй вопрос потруднее, и ответить на него де Мере не смог. Вопрос заключается в следующем. Два игрока играют в азартную игру; в каждой партии шансы на выигрыш у них одинаковы; в начале игры ставки одинаковы; ставку выигрывает тот, кто первым наберет п выигранных партий. Как следует разделить ставку, если по какой-то причине игра прервана в тот момент, когда один игрок выиграл à партий, а другой b партий?

Мы приведем здесь несколько начальных строк первого письма, из которых читатель сможет сам составить представление о содержании и стиле этих писем.

«Дорогой г-н Ферма! Мной овладело нетерпение, и хотя я еще нахожусь в постели, мне трудно удержаться от того, чтобы взять перо и сообщить Вам, что вчера вечером г-н Каркави передал мне Ваше письмо о справедливом разделе ставки, которое привело меня в неописуемый восторг. Не стану растягивать вступления и скажу сразу: Вы вполне правильно решили задачу о костях и задачу о справедливом разделе ставки. Для меня это большая радость, поскольку теперь, когда мы получили столь изумительно совпадающий результат, я больше не сомневаюсь в собственной правоте.

Метод, которым Вы решили проблему разделения, восхитил меня еще больше, чем решение задачи об игре в кости. Многие, и среди них сам кавалер де Мере и г-н Роберваль, удачно ответили на последний заданный вопрос. Но де Мере не смог правильно решить задачу о разделе ставки, он даже не смог подступиться к этому вопросу, так что до сих пор я был единственным, кто знал правильное соотношение раздела.

Ваш метод вполне надежен; в свое время, когда я сам начал размышлять над указанным вопросом, я тоже шел подобным путем. Однако подсчет различных встречающихся комбинаций утомителен, и поэтому позднее мне удалось найти другой, более простой и изящный метод, о котором мне и хотелось бы Вам рассказать. Я и впредь хотел бы по мере возможности делиться с Вами своими мыслями. Я более не сомневаюсь в правильности полученного мной результата, так как он удивительным образом

совпадает с найденным Вами. Как я вижу, истина одна: и в Тулузе, и в Париже».26

Эти письма посвящены только двум задачам де Мере, общие же проблемы теории вероятностей в них не затрагиваются, не упоминается даже само слово «вероятность».

На тот же 1654 год приходятся работы Паскаля о так называемом «треугольнике Паскаля» и связанных с ним вопросах комбинаторики. Интерес к комбинаторике был вызван теоретико-вероятностными исследованиями ученого.

Вскоре после написания этих трех писем, а именно 23 ноября 1654 года, произошел решительный поворот в жизни Паскаля, который биографы называют «вторым обращением» к вере. Записки, написанные им той знаменательной ночью в порыве религиозного экстаза, с тех пор он носил с собой в качестве памятки, зашив их в подкладку камзола.27

Вслед за этим Паскаль вступил в теологическую борьбу против иезуитов, встав со всей энергией на сторону янсенитов*. Он написал 19 полных блеска и остроумия писем, известных под названием «Письма провинциала» и являющихся шедевром французской художественной прозы. Не вызывает сомнения тот факт, что эта борьба была в центре внимания Паскаля с 1645 по 1658 год. Но утверждение, что после своего второго обращения к вере он полностью отошел от математики и науки вообще, ошибочно. Именно к 1658-1659 годам относятся его исследования циклоиды, имеющие исключительно большое значение: Паскаль определил площадь циклоиды, центр тяжести сегмента циклоиды, объем и центр тяжести тела, полученного от вращения сегмента циклоиды. Этим он сделал решительный шаг к созданию дифференциального и интегрального исчислений. И хотя он удовлетворился тем, что применил свое открытие к вычислению определенных интегралов, связанных с циклоидой, но и в этом уже содержались черты общего метода, позднее развитого Лейбницем. Сам Лейбниц подчеркивал, что на понятие производной его натолкнул трактат Паскаля «О синусе четверти круга» («Traite de sinus du quart de cercle»).

В 1658 году Паскаль трудился над работой «Разум геометра и искусство убеждения» («De l'esprit geometrique et de l'art de persuader»). Этой работой он опередил свой век в отношении оценки значения аксиоматического метода для математики. Проиллюстрируем это выдержкой из названной работы: «Все должно быть доказано, и при доказательстве нельзя использовать ничего, кроме аксиом и ранее доказанных теорем. Никогда нельзя злоупотреблять тем обстоятельством, что разные вещи нередко обозначаются одним и тем же словом, поэтому определяемое слово должно быть мысленно заменено определением».28

Самым известным произведением Паскаля, правда незаконченным, является его сборник афоризмов, появившийся уже после смерти автора под названием «Мысли» («Pensee»). Из помещенных там афоризмов я процитирую только один, который со всей определенностью показывает, что Паскаль-моралист неотделим от Паскаля-ученого: «Наше достоинство заключается в наших мыслях... Отсюда следует, что правильно мыслить должно быть принципом морали».29

Я не стану даже пытаться нарисовать в этой книге полный портрет интереснейшей и противоречивой личности Паскаля; к тому же через 300 лет нелегко проанализировать сложные повороты на его жизненном пути. Я не чувствую себя подготовленным к выполнению столь ответственной задачи, да это и не является целью моей книги. Мне бы хотелось только в заключение процитировать следующие строки (см. [12]), принадлежащие поэту Эндре Ади**:

Я, как и каждый человек, Величие, Северный полюс, Тайна, Необычность, Далекий блуждающий огонек, Далекий блуждающий огонек.

Творчество Паскаля, несмотря на его незавершенность и противоречивость, и теперь, спустя три столетия, можно уподобить ярко горящему факелу.

* Янсенизм - религиозное течение в Голландии и общественно религиозное движение во Франции, возникшее в XVII вехе на базе учения Корнеллия Янсения (1585-1638). Он отрицал свободу воли человека, учил о предопределении избранных к спасению и грешников - к вечной гибели. Во Франции янсенизм отразил разочарование населения в католицизме и ненависть к иезуитам и явился своеобразной формой оппозиции абсолютизму Паскаль своими «Письмами провинциала» нанес сильнейший удар авторитету ордена иезуитов во Франции. - Ïðèì. ðåä. À Ë Ü Ô Ð Å Ä Ð Å Í Ü È ©

** Эндре Ади (1877—1919) —один из крупнейших венгерских поэтов XX века; его перу принадлежат двенадцать сборников поэтических произведенийÏ È Ñ Ü ÌНебольшойÀ сборникÎ стихов ŠÐв русскомÎ ß ÒпереводеÍ Î ÑáûëÒ изданÈ Изд-вом художественной лит-ры в 1958 году. — Ïðèì ðåä.

Vive Liberta и Век Просвещения, 2009

II. О датах писем

Как я уже отмечал в биографическом очерке, последнее письмо Паскаля к Ферма, в котором обсуждаются вопросы де Мере, датируется 27 октября 1654 года. Упоминалось также, что ночь на 23 ноября 1654 года была поворотным пунктом в жизни Паскаля. Если предположить, что помимо сохранившихся писем Паскаль послал ферма еще письма, посвященные понятию вероятности, то эти письма относились к периоду с 28 октября по 23 ноября 1654 года. Они не могли быть написаны до 27 октября—в этом случае в дошедших до нас письмах были бы на них ссылки. Не могли быть они написаны и после 23 ноября — после этой даты Паскаль был занят совсем иными мыслями. Все известные нам биографические данные почти полностью исключают предположение о том, что после 23 ноября 1654 года Паскаль возвращался к проблеме «Математика случайного».

Но вполне возможно, что между 27 октября и 23 ноября Паскаль продолжал заниматься этими вопросами. Таким образом, для датировки наших писем оставался очень короткий промежуток времени — приблизительно четыре недели. Так как в те времена передвижение осуществлялось медленно, мы имеем возможность заключать, что если бы Паскаль написал письмо в конце октября, то ответ на него он не смог бы получить раньше 5 ноября. И даже если бы он в свою очередь ответил немедленно, все равно ответа Ферма до 15 ноября не мог бы получить. Естественно предположить, что тема так волновала Паскаля, что, не дожидаясь ответа, он написал еще письмо, которое дополняло второе послание. Когда же он получил от Ферма ответ на свое второе письмо (по нашим предположениям, в период 15—20 ноября), он написал свое четвертое письмо. Вряд ли возможно, чтобы сверх этих четырех* могли быть написаны еще какиенибудь письма.

Итак, основываясь на предположении, что в течение этих четырех недель Паскаль написал четыре письма, можно рассчитать даты их написания с точностью до одного-двух дней.

Как отмечают биографы, последние недели перед 23 ноября Паскаль находился в крайне возбужденном состоянии. Это обстоятельство обыграно в части писем (особенно во второй половине третьего письма, где Паскаль сообщает о своем кошмарном сне).

* Стремясь ускорить обмен письмами, я предположил, что с середины ноября Ферма находился в Орлеане, т.е. ближе к Парижу. Кстати, Паскаль и Ферма лично никогда не встречались.

III.Об истории теории вероятностей

Теория вероятностей - сравнительно молодая ветвь математики. Ее развитие как самостоятельной науки началось с переписки Паскаля и Ферма в 1654 году, хотя значительно раньше этих ученых многие математики занимались задачами, относящимися к азартным играм. Так, например, Лука Пачиоли (14451514) в своей книге «Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e Proportionalita» рассматривал одну задачу о вероятностях, но пришел к ошибочному решению. Однако уже Кардано (1501-1576) и Галилей (1564-1642) правильно решали специальные теоретико-вероятностные задачи. Понятие вероятности восходит к древним временам; оно было известно уже античным философам (вспомним, что во втором письме приведена цитата из Платона). Мысль о том, что законы природы проявляются через множество случайных событий, впервые возникла у древнегреческих материалистов. Ее подробное изложение дано в поэме Лукреция Кара «О природе вещей», важнейшие отрывки из которой цитируются в беседе Паскаля и Митона (и в примечаниях), приводимой в четвертом письме. В развитии теории вероятностей весьма большую роль играли задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости. Уже в древности игра в кости была популярна и любима. Сведения о таксиллусе, который упоминался во втором письме, я заимствовал из превосходной работы Хагстр¸ма [5]. История теории вероятностей от Паскаля до Лапласа была подробно изучена Тодхентером [13]; много интересных задач содержится в книге К.Иордана [14] и в недавно вышедшей работе Ф.Дэвида [28].

Я не намерен на страницах этой книги подробно излагать историю теории вероятностей; мне хотелось бы только отметить влияние переписки Паскаля и Ферма на дальнейшее развитие этой новой области науки. В 1658 году появилась книга Христиана Гюйгенса (1629-1695) «О расчетах в азартных играх» («De ratiociniis in ludo aleae»), в которой давалось подробное изложение вопросов, рассмотренных Ферма и Паскалем (автор явно опирался на переписку этих двух ученых), но, кроме того, им было выдвинуто и много аналогичных вопросов. С работой Гюйгенса непосредственно связана основная работа Якоба Бернулли (1654-1705) «Искусство догадок» («Ars conjectandi»), которая была опубликована лишь после его смерти в 1713 году. В первой части своего труда Бернулли воспроизводит и комментирует книгу Гюйгенса, приводит полные решения тех вопросов, которые Гюйгенс поставил, но не решил. Однако важнейшей частью книги является четвертая, в которой изложен закон больших чисел. Произведение Монморта (1678-1719) «Опыт анализа азартных игр» («Essai d'analyse sur les jeux de hazard»), написанное несколько позже, чем «Искусство догадок» Бернулли, появилось раньше (в 1708 году). Оно также опирается на книгу Гюйгенса и тем самым косвенно связано с перепиской Паскаля и Ферма. То же можно сказать и относительно важнейшей работы Абрахама де Муавра (1667-1754) «Об измерении случайности, или о вероятностях результатов в азартных играх» («De Mensura sortis seu de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus»), которая была опубликована в журнале Philosophical Transactions â 1711 ãîäó.

Наряду с задачами азартных игр уже в самом начале возникновения теории вероятностей появились задачи, связанные с составлением таблиц смертности и вопросами страхования. В Лондоне уже с 1592 года велись точные записи о смертности. На основе этих записей Джон Граунт (1620-1674) в 1662 году впервые составил таблицы вероятности смерти как функции возраста. Несколькими годами позднее Ван Худде и Ван де Витт в Голландии, проделав аналогичные расчеты, использовали их для вычисления пожизненной ренты. Подробнее эти вопросы в 1693 году были изложены Галлеем. Не доказано, но вполне естественно предположить, что уже Паскаль обратил внимание на связь теории вероятностей с закономерностями смертности и страхованием; именно поэтому я счел возможным в четвертом письме говорить о связи теории вероятностей со страхованием судов.

IV. О математических основах вероятности

Как и любые понятия, математическое понятие вероятности возникло не сразу. В переписке Паскаля и Ферма оно еще явно не определяется. Любопытно, что у Гюйгенса основным понятием является математическое ожидание, а не вероятность. Гюйгенс так определяет математическое ожидание: «Если число случаев, в которых я выигрываю сумму à, равно ð, а число случаев, в которых я выигрываю сумму b, равно q, причем все случаи одинаково возможны, то значение моего ожидания равно (pa+qb)/(p+q)» (см.[30], стр.8). Определение вероятности встречается впервые в «Ars conjectandi» Якоба Бернулли. Согласно Бернулли, вероятность есть «степень уверенности и относится к достоверности как часть к целому». Хотя это определение имеет скорее философский, чем математический характер, Бернулли дает в основных чертах и так называемое классическое определение вероятности: «...вероятность события есть отношение числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев, причем все случаи предполагаются равновозможными». Правда, Бернулли говорит об этом несколько по-иному; приведенная же формулировка принадлежит Лапласу (17491827). Она дается в его основополагающем труде «Аналитическая теория вероятностей» («Theorie analytique de la probabilites»), который не только подытожил успехи классической теории вероятностей, но и дал значительный толчок ее дальнейшему развитию. Такое же определение содержится и в другом труде Лапласа «Опыт философии вероятности» («Essai philosophique sur la probabilites» [31], стр.4, 7), в котором можно найти подробное, ясное, увлекательное и волнующее изложение принципиальных вопросов, связанных с понятием вероятности. И хотя приведенное определение в подлинных письмах Паскаля явно не фигурирует, я отнюдь не считаю анахронизмом помещение классического определения в вымышленные письма, ибо в действительности он пользовался им при решении задач кавалера де Мере. Это определение было удовлетворительно и с точки зрения практики - до тех пор, пока теория вероятностей занималась элементарными задачами, связанными преимущественно с азартными играми. С принципиальных же позиций оно неудовлетворительно, несмотря на то что аргументы, приведенные Паскалем в его защиту во втором письме, верны и теперь и, следовательно, в нем нет ' ничего порочного.

В действительности же недостаток этого определения состоит не в том, что ему свойствен порочный круг (как утверждают иногда и теперь [31]), а в том, что оно не является определением. На вопрос, что такое вероятность, оно не отвечает, дает лишь метод ее вычисления в простейших случаях (по современной терминологии, в случае «классических вероятностных полей»).

Создатели теории вероятностей и не вкладывали иного смысла в понятие вероятности; собственно определением вероятности они считали упомянутое выше определение Бернулли, согласно которому вероятность есть не что иное, как степень нашей уверенности. В значительной мере они не ощущали потребности в формальном определении вероятности, поскольку считали вероятность основным понятием, значение которого очевидно и не требует определения. Настоящую задачу они усматривали в том, чтобы в конкретных вопросах вычислить вероятности событий, которые представляют для них интерес. Принимая во внимание уровень развития математики того времени, этому не приходится удивляться: ведь и понятия числа, функции, предела равным образом не были выяснены в современном смысле этого слова, но тогда в этом и не ощущали потребности.

Положение дел существенно изменилось в XIX веке, когда сама математика и понятие математической строгости значительно преобразились; возникли современные концепции математики и ее отношения к реальности. Согласно этим представлениям, каждая ветвь математики должна быть построена аксиоматически, абстрагирована от ее реального происхождения; она должна развиваться как замкнутая в себе и логически непротиворечивая теория, в которой основные понятия нельзя (да и не нужно) определять и вносить в них какого-либо содержания извне, кроме того, который неявно уже содержится в аксиомах.

Математическая теория, построенная таким аксиоматическим путем, может быть использована в качестве абстрактной модели окружающей нас действительности. Последовательное проведение этой концепции в жизнь преобразовало математику и послужило исходным пунктом ее современного стремительного расцвета. Развитие теории множеств, теории функций действительного и комплексного переменного, топологии, современной алгебры и функционального анализа, появление математической логики коренным образом изменили лицо современной математики. Выяснение принципиальных вопросов математики дало мощный толчок ее применению в различных областях естественных и общественных наук.

Теория вероятностей удивительно долго стояла в стороне от указанной грандиозной перестройки, вплоть до первых десятилетий XX века. И несмотря на то что в XIX столетии Гаусс, Лаплас, Пуассон, Чебышев, Марков, Бертран, Пуанкаре и многие другие обогатили теорию вероятностей новыми направлениями исследований, а ее практические применения в естествознании, общественных науках и в экономике приобрели фундаментальное значение, в области оснований теории вероятностей серьезного прогресса не наблюдалось.

Это привело к тому, что еще в начале текущего столетия большинство математиков не признавало теорию вероятностей равноправной и органической частью математики; они считали ее наукой сомнительной ценности, находящейся где-то между математикой и физикой или математикой и философией. На вредность подобного отставания еще в 1900 году указал Давид Гильберт. Он включил проблему аксиоматического обоснования теории вероятностей - и тем самым способствовал ее подъему на уровень математики XX века - в составленный им список важнейших нерешенных проблем математики.

Первая серьезная попытка* решить эту задачу, сделанная Рихардом фон Мизесом (1883-1953), относится к 1919 году. И хотя предложенная им система не привела к цели и теперь имеет скорее лишь историческое значение, вызванные ею дискуссии привлекли внимание многих математиков к этой проблеме. Построение теории вероятностей в духе современной математики, основанное на точном аксиоматическом фундаменте, впервые вполне удовлетворительным

образом было осуществлено в 1933 году А.Н.Колмогоровым** (род в 1903 году [16]).

В аксиоматическом построении теории вероятностей по Колмогорову случайные события рассматриваются как некоторые множества, а соответствующие им вероятности являются определенной на них нормированной мерой; математическое ожидание в этой теории является попросту лебеговским интегралом (абстрактным). Поставив теорию вероятностей на теоретикомножественную основу, точнее на фундамент теории множеств и теории меры,

Колмогоров одним махом дал не только логически удовлетворительное обоснование теории вероятностей, но и включил ее в кровеносную систему современной математики, позволив тем самым использовать развитые ее ветви для нужд теории вероятностей. По простоте и естественности, а также упомянутым преимуществам теория Колмогорова быстро стала общепринятой и служит твердой основой для построения теории вероятностей на протяжении последних 30 лет***.

Выяснение основ не только способствовало развитию теории вероятностей как математической науки, но и позволило сделать огромный скачок в отношении применения ее в других науках. С этого времени теория вероятностей бурно развивается и находит все более широкий круг применений.

*Первая такая попытка принадлежит С.Н.Бернштейну (1880-1968) и относится к 1917 году, см. его «Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей». Сообщения Харьковского математического общества, 15, 209-274 (1917). – Ïðèì.ðåä.

**Как и всякое научное открытие, теория Колмогорова опиралась на попытки предшественников [17].

***Некоторые проблемы, связанные с физикой (в частности, с квантовой механикой), статистикой и другими науками, требовали развития теории Колмогорова и введения понятия условных вероятностей [18] На возможность этого логического развития своей теории указывал и сам Колмогоров, но не разрабатывал эту идею.

_______________________________________________________

Еще одно письмо к читателю

Дорогой читатель!

Перечитав обращенное к Вам письмо, я увидел, что оно нуждается в дополнении. В этом письме я попытался объяснить, почему именно выбрал форму вымышленных писем Паскаля для изложения, но не объяснил, что привело меня к мысли написать об этих вопросах. Я хочу исправить этот просчет

âнастоящем письме.

Âдополнении IV я стремился показать, что в отношении самой математической теории вероятностей среди компетентных математиков разногласий нет. Этого, однако, нельзя сказать в отношении ее принципиальных вопросов, которые касаются взаимосвязи теории вероятностей с окружающим нас миром, применимости и интерпретации положений теории вероятностей. В действительности же эти вопросы являются скорее философскими, гносеологическими, чем математическими, и не удивительно, что до сих пор они служат предметом острых дискуссий. Каждый, кто хочет глубже изучить теорию вероятностей, а также с успехом применять ее результаты в какой-либо практической области, кто стремится понять, чем полезна эта теория и что она может дать естествоиспытателю или практику, неизбежно сталкивается с этими вопросами.