Математика. Лаб. практикум. Ч.1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусско-Российский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

yk −1 + yk

yk −1 + yk

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

896 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Лабораторная работа № 7. Приближенное вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона

1 Постановка задачи. Вычислить по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона с точностью ε =10−3 определенный интеграл

	1	dx
	I = ∫		.	(1)

	0	1 + x
2 Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.
Разобьем отрезок	[a;b] на n равных частей точками			xk = a +kh , где

h = b −n a , k = 0,n и вычислим значения подынтегральной функции в узлах

xk , получим yk = f (xk ).

Формула прямоугольников имеет вид (рисунок 1):

b
∫ f (x)dx ≈ h (y0 + y1 + y2 +... + yn−1 ).	(2)

y = f (x)

Sk ≈ yk −1 h, k =

0,n −1

yn−1

a = x x

k −1

xn−1

= b

0 1

Рисунок 1

Формула трапеций имеет вид (рисунок 2):


b	y		+ y
	y	0	+ y	n
∫ f (x)dx ≈		0		n	+ y1 + y2	+... + yn−1	h	(3)
∫ f (x)dx ≈			2		+ y1 + y2	+... + yn−1	h	(3)
a			2

Формула Симпсона ( n = 2m ) имеет вид (рисунок 3):

b		(y0 + yn + 4(y1 + y3 +... + yn−1 )+ 2(y2 + y4 +... + yn−2 )) (4)
∫ f (x)dx ≈ h
a	3

	y2
	y1		yn
	y0
О	a = x0 x1 x2	xk −1 xk	xn−1 xn = b	х

y = f (x)

О a = x0 x1

	yn
	x2k
	x2k
x2k −2 x2k −1	xn−1 xn = b	х
x2k −2 x2k −1	xn−1 xn = b	х

Рисунок 3

3 Приближенное вычисление интеграла (1) по формулам (2)–(4).
Разобьем		отрезок	[0;1] сначала на n = 4 равных частей			с шагом
h = b −a	= 1 −	0 = 0,25 .	Вычислим значения функции yk =		1	в узлах
				1	+ xk
n	4

xk = a +kh = 0 +k 0,25 = 0,25 k , (k = 0,4). Результаты вычислений записаны в таблице 1.

Таблица 1


			k				0			1		2	3		4
			xk				0			0,25		0,5	0,75		1
		yk =		1			1			0,8		0,6667	0,5714	0,5
		yk =	1+ xk				1			0,8		0,6667	0,5714	0,5
			1+ xk
	Воспользуемся формулами (2)–(4):
	I 4П ≈ h(y0 + y1 + y2						+ y3 )= 0,25(1 + 0,8 + 0,6667 + 0,5714)≈ 0,7595 ;
I		≈ h			y0 + y4	+ y + y			+ y	= 0,25	1+0,5 +0,8 +0,6667 +0,5714				≈
I	4Т	≈ h				+ y + y		2	+ y	= 0,25	1+0,5 +0,8 +0,6667 +0,5714				≈
	4Т					1		2	3		2
				2							2

										≈ 0,6970;
	I4C ≈ h			(y0 + y4 + 4(y1 + y3 )+ 2 y2 )= 0,25 (1+ 0,5 + 4(0,8 +0,5714)+
			3					+ 2 0,6667)				3
								+ 2 0,6667)				≈ 0,6932.
	Затем			разобьем отрезок					[0;1] на				n = 8	равных		частей с					шагом
h = b −a = 1−0						= 0,125 . Вычислим значения функции									y	k	=		1		в узлах
h = b −a = 1−0						= 0,125 . Вычислим значения функции									y		=	1	+ x		в узлах
	n			8														1	+ x
																				k
xk = a +kh = 0 +k 0,125 = 0,125 k , (k =													). Результаты вычислений запи-
xk = a +kh = 0 +k 0,125 = 0,125 k , (k =											0,8		). Результаты вычислений запи-
саны в таблице 2.
	Таблица 2

		k			0		1	2		3		4		5			6			7		8
		xk			0		0,125	0,25		0,375		0,5		0,625	0,75					0,875		1
yk	=		1		1		0,8889	0,8		0,7273		0,6667		0,6154	0,5714					0,5333		0,5
yk	=	1	+ xk		1		0,8889	0,8		0,7273		0,6667		0,6154	0,5714					0,5333		0,5
		1	+ xk

Воспользуемся формулами (2)–(4):

I8П ≈ h(y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 )=

=0,125(1+0,8889 +0,8 +0,7273 +0,6667 +0,6154 +0,5714 +

+0,5333) ≈ 0,7254;

I		≈ h	y0 + y8	+ y	+ y		+ y	+ y		+ y	+ y	+ y		=
	8Т					2			4				7
			2	1			3			5	6

=0,125 1+0,5 +0,8889 +0,8 +0,7273 +0,6667 +0,6154 +0,5714 +

+0,533)≈ 0,6941;

I8C ≈ h (y0 + y8 + 4(y1 + y3 + y5 + y7 )+ 2(y2 + y4 + y6 ))=

= 0,1253

(1+0,5 + 4(0,8889 +0,7273 + 0,6154 + 0,5333)+

+ 2(0,8 +0,6667 +0,5714))≈ 0,6937.

Сравнивая два последовательных приближения (т. е. два приближения

по каждому методу), приходим к выводу:

1) вычисляя по формуле прямоугольников, получили ∫

≈ 0,7 , по-

1 + x

грешность этого приближенного равенства 10−1 , т. к.

I8П − I4 П

0,7254 −0,7595

= 0,0371 < 0,1;

2) вычисляя по формуле трапеций, пришли к результату ∫

≈ 0,69 ,

0 1

+ x

получили значение интеграла с точностью 10−2 , т. к.

I8T

− I4T

0,6941 −0,6970

= 0,0029 < 0,01;

3) вычисляя по формуле Симпсона, получили ∫

≈ 0,693 и значе-

1+ x

ние интеграла с требуемой точностью 10−3 , т. к.

I8C − I 4C = 0,6937 − 0,6932 = 0,0005 < 0,001.

Чтобы получить результат с необходимой точностью по формулам прямоугольников и трапеций, надо продолжить вычисления, выбирая n =16 , n = 32 и т. д.

1 dx

4 Ответ: ∫0 1+ x ≈ 0,693.

5 Проверка полученного результата.

Способ 1. Интеграл (1) можем вычислить точно:

1	dx	1	d (1 + x)			1

∫		= ∫		= ln	1 + x	= ln 2 −ln1 = ln 2 ≈ 0,693.

	1 + x		1 + x
0		0				0

Способ 2. Вычислим интеграл (1) с заданной точностью по формуле

1 dx

Симпсона на компьютере и получим результат ∫0 1+ x ≈ 0,693.

6 Варианты заданий к лабораторной работе № 7.

1 ∫xe−x2 dx ;

2 ln x

2 ∫1 x dx ;

π 2

3 ∫ x cos x2dx ;

π 2

4 ∫cos(x + x2 )dx ;

0
2		1
	− x+
5 ∫e		x dx ;
1

6∫0 1 +dxx4 ;

π2

7∫ esin x dx ;4

π 2

8 ∫ ln (1 +cos x)dx ;

9∫ex dx ;

10π∫ sin x dx ;

π2 x3

	2	dx
11 ∫0		dx				;
11 ∫0		1 + x3				;
	2
12	∫		x cos xdx ;
	0
	2
13	∫		xexdx ;
	0
	π		cos x dx
14	∫		cos x dx					;
	π 2			x
	2	x
15	∫0	x		dx ;
15	∫0	ex		dx ;
	3	dx
16	∫1	dx					;
16	∫1	x + x2					;
	π 3
17	∫		cos xdx ;
	0
	2
18	∫sin x dx ;
	1			x
	3		dx
19	∫		dx		;
19	∫				;
	2 ln x
	π
20	∫2 cos x dx							;
	0		1 + x

	2
21	∫			1 + x3 dx ;
	0
	2
22	∫ln (1 + x)dx ;
	0
	1		dx
23	∫0		dx			;
23	∫0		1 +ex			;
	4				dx
24	∫				dx								;
24	∫	1		+	2x +1								;
	0	1		+	2x +1
	1
25	∫x				2 − x2 dx ;
	0
	5			xdx
26	∫			xdx							;
26	∫			4x +5							;
	1			4x +5
	1				dx
27	∫				dx						;
27	∫			4 − x				2			;
	0			4 − x
	1			dx
28	∫			dx						;
28	∫			1 + x			4			;
	0			1 + x
	4				dx
29	∫				dx							;
29	∫	1+				x			)		2	;
	1	1+				x
		(
	π
30	∫sin				xdx .
	0

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025439 Кб4Маланкова Ин.яз КД..doc
#
01.03.2025189 Кб1Маркетинг для МА.doc
#
01.04.2025154 Кб4Маркетинговые исследования для контрольной.doc
#
01.07.2025129 Кб0Массивы и строки.docx
#
01.07.20255 Мб3математика вопросы и решения.docx
#
29.02.2016896 Кб16Математика. Лаб. практикум. Ч.1.pdf
#
29.02.2016577 Кб13Математика. Лаб. практикум. Ч.2.pdf
#
01.07.202559 Кб4Материал к АКР ПО БАНКОВСКОМУ АУДИТУ.docx
#
29.02.20161 Мб45Материаловедение. Лаб. практикум. Ч.2.pdf
#
10.09.2019682 Кб8Материаловедение.Метод.doc
#
29.02.2016510 Кб7МАТЕША.pdf