Metoditchka_Vyshka_ch2

71

Интеграл (3) называют также линейным интегралом вектора a(r). Аналогично определяются линейные интегралы в плоских и многомерных векторных

= ∫t1 (ax (x(t ), y(t ), z (t ))x′(t )+ ay (x(t ), y(t ), z (t ))y′(t )+ az (x(t ), y(t), z(t )))dt .

t0

ν =1

n → ∞), который не зависит ни от способа разбиения поверхности G на частичные поверхности, ни от выбора точек Pν на этих частичных

поверхностях, то этот предел называется поверхностным интегралом 2-го рода по поверхности G и обозначается через

т. е.

Если поле a(P) непрерывно на G , то интеграл (4) существует.

Поверхностный интеграл 2-го рода называют также потоком векторного поля a(P) через поверхность G . Его можно интерпретировать как количество

жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении через поверхность G . Переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности, а потому и знак поверхностного интеграла 2-го рода.

Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению поверхностного интеграла 1-го рода

∫∫(a,dσ) =∫∫(a,n)dσ =∫∫(ax cosα + ay cos β + az cosγ )dσ ,

G G G

где n = (cosα,cos β,cosγ ) – единичная нормаль к поверхности, или к вычислению суммы трёх двойных интегралов

∫∫(a,dσ) =∫∫ax (x(y, z), y, z)dydz +∫∫ay (x, y(x, z), z)dxdz +∫∫az (x, y, z (x, y))dxdy ,

G разрешением относительно соответствующих координат.

74

§37. Соотношения между различными характеристиками скалярных

ивекторных полей

1. Дивергенция векторного поля и теорема Гаусса – Остроградского.

Дивергенцией (или расхождением) векторного поля a = a(r), обозначаемой че-

рез div a , называется скалярная величина, равная пределу отношения потока векторного поля a через замкнутую поверхность ΣP к величине vP объёма те-

ла, ограниченного этой поверхностью, при vP → 0 , т. е. при условии, что поверхность стягивается в точку P :

Дивергенция характеризует отнесённую к единице объёма мощность потока векторного поля, «исходящего» из точки P , т. е. мощность источника (при

(div a)P > 0 ) или стока (при (div a)P < 0 ), находящегося в точке P .

Втрёхмерном евклидовом пространстве дивергенция поля выражается следующим образом:

div a = ∂∂axx + ∂∂ayy + ∂∂azz .

Теорема Остроградского – Гаусса. Поток векторного поля a(r) через замкнутую поверхность Σ, лежащую в этом поле, в направлении её

внешней нормали, равен тройному интегралу по области V , ограниченной этой поверхностью, от дивергенции этого векторного поля, т. е.

w∫∫(a,n)dσ = ∫∫∫div adv .

Здесь s – единичный вектор произвольного направления, lP – малый замкнутый контур, окружающий точку P , лежащий в плоскости, перпендикулярной

75

вектору s и обходимый в положительном по отношению к вектору s направлении, σP – площадь области, ограниченной контуром lP ; предел ищется при ус-

ловии, что контур lP стягивается в точку P . В трёхмерном пространстве rot a через декартовы прямоугольные координаты вектора a = axi + ay j + azk выражается следующим образом:

Теорема Стокса. Циркуляция дифференцируемого векторного поля a по произвольному кусочно-гладкому замкнутому контуру L равна потоку вектора rot a через поверхность G , ограниченную этим контуром L :

v∫(a,dr)= ∫∫(rot a, dσ),

При этом единичный вектор n нормали к поверхности G направлен в такую сторону, чтобы обход контура L происходил в положительном по отношению к

nнаправлении.

3.Оператор Гамильтона и его применение. Все операции векторного

анализа можно выразить при помощи оператора Гамильтона – символического вектора (читается – набла), определяемого равенством

= i ∂∂x + j ∂∂y +k ∂∂z .

Применяя известные операции умножения вектора на скаляр, скалярного и векторного произведения двух векторов, находим:

grad u = i ∂∂ux + j ∂∂uy +k ∂∂uz = u ;

∂∂us = (s,grad u)= (s, u)= (s, )u ;

77

rot grad u =[ , ]u ≡ 0 , div rot a=( ,[ ,a])≡ 0 .

Это следует из векторного смысла оператора : в первом случае формально мы имеем векторное произведение двух коллинеарных векторов, а во втором – смешанное произведение компланарных векторов.

§ 38. Специальные виды векторных полей

1. Потенциальное векторное поле. Векторное поле a = a(r) называется

потенциальным, если вектор поля a является градиентом некоторой скалярной функции u =u(P):

a(r) = grad u (P).

Функцию u(P) в этом случае называют потенциалом векторного поля.

Необходимым и достаточным условием потенциальности дважды дифференцируемого в односвязной области поля a(r) является равенство нулю вихря этого

поля:

rot a ≡ 0 .

Потенциальное поле обладает следующими свойствами.

1. В области непрерывности потенциала поля линейный интеграл от вектора поля, взятый между двумя точками поля, не зависит от пути интегрирования и равен разности значений потенциала поля в конце и начале пути интегрирования

(использована легко проверяемая формула (grad u,dr) = du ).

2.Циркуляция вектора поля по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области непрерывности поля, равна нулю.

3.Если поле a потенциально, то потенциал поля u(P) в произвольной

точке P может быть вычислен по формуле (5):

78

причём C =u (A), что легко получается подстановкой в (6) вместо переменной

точки P фиксированной точки A.

Для вычисления интеграла (6) можно выбрать любой путь – проще всего в качестве такого пути выбрать ломаную со звеньями, параллельными осям координат, соединяющую точки A и P . За точку A удобно принимать начало координат (если оно лежит в области непрерывности поля).

Замечание. Изложенный метод отыскания потенциала поля применяется при решении таких эквивалентных рассмотренной задач математического анализа, как восстановление функции двух, трёх и n переменных по их полным дифференциалам, а также при интегрировании дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.

Если в плоском потенциальном поле есть точки, в которых поле теряет свойство непрерывности (так называемые особые точки), то циркуляция по замкнутому контуру, окружающему такую точку, может быть отлична от нуля. В этом случае циркуляция по контуру, обходящему данную особую точку один раз в положительном направлении, не зависит от формы контура и называется циклической постоянной относительно данной особой точки.

Аналогичными свойствами обладают трёхмерные поля с особыми линиями, вдоль которых поле теряет свойство непрерывности.

2. Соленоидальное поле. Векторное поле a = a(r) называется соленои-

дальным, если дивергенция этого поля равна нулю: div a ≡ 0 . Для трёхмерного поля это условие можно переписать в виде

div a = ∂∂axx + ∂∂ayy + ∂∂azz ≡ 0 .

В таком поле в силу теоремы Гаусса – Остроградского равен нулю поток вектора поля через любую замкнутую поверхность. Исключение может быть только в случае наличия в таком поле особых точек (в которых вектор поля не определён и дивергенция поля отлична от нуля). В этом случае поток через замкнутую поверхность может быть отличен от нуля, но будет иметь одно и то же значение для всех замкнутых поверхностей, окружающих данную группу особых точек.

Для любого дважды дифференцируемого трёхмерного векторного поля

a= a(r) поле вихрей соленоидально.

3.Лапласово (или гармоническое) поле. Векторное поле называется ла-

пласовым (или гармоническим), если оно одновременно и потенциальное, и соленоидальное, т. е. если

rot a ≡ 0 и div a ≡ 0 .

Потенциал u двумерного или трёхмерного лапласова поля является гармонической функцией двух или трёх переменных, т. е.

Список литературы

1 Высшая математика: Общий курс: учебник / Под ред. С. А. Самаля. –

Минск : Выш. шк., 2000. – 351 с.

2Гусак, А. А. Высшая математика: учебник / А. А. Гусак. – 4-е изд. – Минск : ТетраСистемс, 2003. – Т. 1. – 544 с.

3Гусак, А. А. Высшая математика: учебник / А. А. Гусак. – 4-е изд. – Минск : ТетраСистемс, 2004. – Т. 2. – 448 с.

4Гусак, А. А. Справочник по высшей математике / А. А. Гусак, Г. М. Гусак, Е. А. Бричикова. – 5-е изд. – Минск : ТетраСистемс, 2004. – 640 с.

5Жевняк, Р. М. Высшая математика. Функции многих переменных. Интегральное исчисление функций одной и многих переменных. Векторный анализ: учебник / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск : Выш. шк., 1993. – 411 с.

6Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / В. А. Болтов [и др.]; под ред. А. В. Ефимова и Б. П.

Демидовича. – 2-е изд. – М. : Наука, 1986. – Т. 1. – 464 с.

7Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / В. А. Болтов [и др.]; под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Де-

мидовича. – 2-е изд. – М. : Наука, 1986. – Т. 2. – 368 с.

8Шипачев, В. С. Высшая математика: учебник / В. С. Шипачев. – 7-е

изд. – М. : Высш. шк., 2005. – 479 с.