Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

30 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 2827 28 > Следующая >>>

Обсудим теперь вопрос о том, насколько широким может быть множество точек разрыва производной. В рассмотренном выше примере производная f (x) имеет лишь одну точку разрыва

x 0. На базе этого примера можно построить функцию (x), производная которой имеет разрывы на любом заданном конеч- ном множестве точек. Действительно, легко заметить, что для произвольных фиксированных n точек a1, a2, ..., an функция

(x) f(x ak),

k 1

ãäå f(x) определяется формулой (3.38), имеет производную в каждой точке, причем (x) разрывна в ï точках ak (k 1, 2, ..., n).

Может ли производная иметь бесконечное множество точек разрыва на интервале (a, b)? Ответ на этот вопрос положительный. Построение искомой функции существенно основывается на свойствах рассмотренной выше функции (3.38).

Таким образом, производная f (x) может существовать в каждой точке интервала (a, b) и быть разрывной на бесконечном множестве точек этого интервала. Однако не существует дифференцируемой на интервале (a, b) функции, производная которой разрывна в каждой точке этого интервала, т. е. производная обязательно имеет точки непрерывности. Имеет место следующее утверждение, которое мы приведем без доказательства.

Если производная f (x) определена на интервале (a, b), то она непременно имеет на этом интервале точки непрерывности, причем таких точек бесконечное множество (мощности континуума).

Еще об одном удивительном свойстве производной говорит следующая теорема.

Теорема Дарбу. Пусть f(x) дифференцируема на интервале J и отрезок [a, b] J. Тогда для каждого числа C, заключенного между f (a) è f (b), существует точка c [a, b] такая, что f (c) C.

Заметим, что указанное свойство производной (принимать произвольное промежуточное значение на отрезке) было бы совсем тривиальным, если бы мы потребовали непрерывности производной на [a, b], но в теореме Дарбу требуется лишь существование f (x). Таким образом, производной, даже разрывной, присущи свойства непрерывной на отрезке [a, b] функции.

262

Все вышесказанное свидетельствует о том, что хотя класс дифференцируемых функций достаточно широк, однако не всякая функция g(x) может быть производной, то есть можно указать функцию g(x), для которой не существует дифференцируемой на (a, b) функции f(x), удовлетворяющей на этом интервале условию f (x) g(x).

В заключение проанализируйте «доказательство» следующего ошибочного утверждения: если функция дифференцируема на всей числовой оси, то ее производная будет непрерывной в каждой точке.

«Доказательство». По определению производной и теореме

Лагранжа в каждой точке x0 имеем
f (x )	lim	f(x) f(x0 )	lim	f (c) (x x0 )		lim f (c),

0	x x0	x x	x x0		x x	x x0

		0			0

ãäå ñ — промежуточный пункт между x0 è õ. Следовательно, если õ стремится к x0, òî ñ также стремится к x0. Поэтому мы можем записать

f (x0 ) lim f (c)	lim f (c).
x x0	c x0

Полученное соотношение lim f (c) f (x0 ) и означает непре-

c x0

рывность производной в точке x0.

Найдите ошибку в приведенном «доказательстве».

ЛИТЕРАТУРА

Богданов, Þ. Ñ. Лекции по математическому анализу : в 2 ч. /

Þ.С. Богданов. Минск, 1974. Ч. 1.

Бохан, Ê. À. Курс математического анализа : в 2 т. / К. А. Бохан,

Í.А. Егорова, К. В. Лащенов. М., 1972. Т. 1.

Бугров, ß. Ñ. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. М., 1988.

Валле-Пуссен, Ø.-Æ. Курс анализа бесконечно малых : в 2 т. / Ш.-Ж. Валле-Пуссен. Л. ; М., 1933. Т. 1.

Вышэйшая матэматыка ¢ прыкладах ³ задачах : у 2 ч. / Н. Р. Абрашына-Жадаева [³ ³нш.]. М³нск, 2007. Ч. 1.

Демидович, Á. Ï. Сборник задач и упражнений по математическому анализу / Б. П. Демидович. М., 1995.

Зорич, Â. À. Математический анализ : в 2 т. / В. А. Зорич. М., 1981. Т. 1.

Ильин, Â. À. Основы математического анализа : в 2 т. / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. М., 1971. Т. 1.

Êîøè, Î. Ë. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении / О. Л. Коши. СПб., 1831.

Êíóò, Ä. Искусство программирования для ЭВМ : в 3 т. / Д. Кнут. М., 1976. Т. 1.

Курант, Ð. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 2 т. / Р. Курант. М., 1970. Т. 1.

Математический анализ в вопросах и задачах / В. Ф. Бутузов [и др.]. М., 1958.

Ландау, Ý. Основы анализа / Э. Ландау. М., 1947.

Лузин, Í. Í. Дифференциальное исчисление / Н. Н. Лузин. М., 1960.

Немыцкий, Â. Â. Курс математического анализа : в 2 т. / В. В. Немыцкий, М. И. Слудская, А. Н. Черкасов. М., 1957. Т. 1.

Никифоровский, Â. À. Путь к интегралу / В. А. Никифоровский. М., 1985.

Новоселов, Ñ. È. Алгебра и элементарные функции / С. И. Новоселов. М., 1950.

264

Рудин, Ó. Основы математического анализа / У. Рудин. М., 1976. Уваров, Â. Á. Математический анализ / В. Б. Уваров. М., 1984. Фихтенгольц, Ã. Ì. Курс дифференциального и интегрального ис-

числения : в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. М., 1969. Т. 1. Фихтенгольц, Ã. Ì. Основы математического анализа : в 2 т. /

Г. М. Фихтенгольц. М., 1955. Т. 1.

Хавин, Â. Ï. Основы математического анализа / В. П. Хавин. Л., 1989.

Шварц, Ë. Анализ / Л. Шварц. М., 1972.

Шилов, Ã. Å. Математический анализ, функции одного переменного / Г. Е. Шилов. М., 1969.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ .....................................................................	3
Ã ë à â à 1
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ
1.1. Множества......................................................................................	5
1.1.1. Множества, подмножества, включения ........................	5
1.1.2. Операции, производимые над множествами..................	6
1.1.3. Свойства объединений и произведений множеств ..........	8
1.1.4. Отступление: о словах «и», «или», «если… то», «не» ......	10
1.1.5. Упражнения.............................................................	10
1.1.6. Множество действительных чисел ...............................	12
1.1.7. Упражнение .............................................................	16
1.2. Некоторые понятия логики ...............................................	16
1.2.1. Логические соотношения ...........................................	16
1.2.2. Кванторы и их использование .....................................	18
1.3. Суммы и произведения .....................................................	21
1.3.1. Сигма-символика ......................................................	21
1.3.2. Индексы суммирования .............................................	22
1.3.3. Суммирование по нескольким индексам.......................	23
1.3.4. Простейшие операции над суммами.............................	24
1.3.5. Произведения и факториалы ......................................	29
1.3.6. Упражнения.............................................................	31
1.4. Метод математической индукции .......................................	33
1.4.1. Принцип математической индукции. Примеры.............	33
1.4.2. Историческая справка ...............................................	41
1.4.3. Упражнения.............................................................	43
1.5. Бином Ньютона................................................................	45
1.5.1. Биномиальные коэффициенты ....................................	45
1.5.2. Бином Ньютона ........................................................	49
1.5.3. Упражнения.............................................................	52
1.6. Комплексные числа..........................................................	53
1.6.1. Определение и условие равенства комплексных чисел ....	53
1.6.2. Арифметические операции над комплексными числами....	54

266

1.6.3. Алгебраическая форма комплексных чисел ..................	55
1.6.4. Тригонометрическая форма комплексных чисел............	57
1.6.5. Запись операций умножения, деления и возведения
в степень в тригонометрической форме ......................................	60
1.6.6. Извлечение корня .....................................................	61
1.6.7. Запись комплексных чисел в показательной форме........	63
1.6.8. Историческая справка ...............................................	64
1.6.9. Примеры..................................................................	65
1.7. Многочлены.....................................................................	66
1.7.1. Тождественность двух многочленов .............................	67
1.7.2. Деление многочленов.................................................	68
1.7.3. Деление на x a ........................................................	69
1.7.4. Разложение многочленов на множители.......................	70
1.7.5. Кратные корни многочлена ........................................	71
1.7.6. Еще раз о тождественности многочленов ......................	71
1.7.7. Интерполяционная формула Лагранжа ........................	72
1.7.8. Разложение многочленов с действительными
коэффициентами......................................................................	73
1.7.9. Задача о разрешимости алгебраических уравнений
в радикалах ............................................................................	74
1.8. Точные границы числовых множеств. Аксиома Дедекинда...	75
Глава 2
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
2.1. Предел последовательности...............................................	79
2.1.1. Последовательности ..................................................	79
2.1.2. Понятие предела последовательности ..........................	80
2.1.3. Практические рекомендации по использованию
определения предела ...............................................................	82
2.1.4. Геометрическая интерпретация ..................................	83
2.1.5. Расходящиеся последовательности ..............................	83
2.1.6. О сути определения предела........................................	85
2.1.7. Ì-лемма ..................................................................	86
2.2. Свойства сходящихся последовательностей.........................	86
2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности ...	90
2.4. Некоторые замечательные пределы ...................................	92
2.5. Особые случаи пределов и неопределенности ......................	95
2.5.1. Частное õn / yn ..........................................................	95
2.5.2. Произведение õn yn ...................................................	96
2.5.3. Сумма õn yn ............................................................	97

267

2.6. Монотонные последовательности .......................................	99
2.6.1. Признак сходимости монотонной последовательности....	99
2.6.2. Парадокс Перрона .....................................................	102
2.6.3. Число e как предел последовательности........................	103
2.7. Лемма о вложенных отрезках............................................	104
2.8. Принцип выбора (теорема Больцано — Вейерштрасса) ........	105
2.8.1. Подпоследовательности .............................................	105
2.8.2. Принцип выбора .......................................................	106
2.8.3. Частичные пределы последовательности ......................	107
2.9. Принцип сходимости (критерий Больцано — Коши) ............	108
2.10. Предел функции .............................................................	111
2.10.1. Функции одной переменной ......................................	111
2.10.2. Два определения предела функции в точке..................	111
2.10.3. Доказательство равносильности двух определений
предела функции ....................................................................	112
2.10.4. Отрицание определений предела функции ..................	113
2.11. Теоремы о пределах функций ..........................................	116
2.11.1. Аналоги теоремам о пределах последовательностей......	116
2.11.2. Предел сложной функции.........................................	117
2.12. Односторонние и несобственные пределы..........................	118
2.12.1. Односторонние пределы............................................	118
2.12.2. Несобственные пределы............................................	119
2.13. Замечательные пределы ..................................................	122
2.14. Критерий Коши существования предела функции..............	125
2.15. Частичные пределы функций ..........................................	127
2.16. Непрерывность функции .................................................	128
2.16.1. Понятие непрерывности функции в точке ...................	128
2.16.2. Геометрическая интерпретация.................................	129
2.16.3. Односторонняя непрерывность и непрерывность
на промежутке .......................................................................	130
2.17. Классификация разрывов................................................	131
2.18. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций ....	134
2.18.1. Локальные свойства непрерывных функций ...............	134
2.18.2. Глобальные свойства непрерывных функций...............	136
2.19. Обратная функция и ее непрерывность.............................	141
2.20. Непрерывность элементарных функций............................	143
2.21. Использование непрерывности при вычислении пределов
функций ................................................................................	145

268

2.22. Равномерная непрерывность функции ..............................	147
2.23. Бесконечно малые функции и их применение к нахожде-
нию пределов.........................................................................	152
2.23.1. Бесконечно малые функции ......................................	152
2.23.2. Сравнение бесконечно малых функций.......................	153
2.23.3. Бесконечно большие функции ...................................	155
2.23.4. Свойства символа «î малое» ......................................	156
2.23.5. Асимптотические формулы.......................................	157
2.23.6. Некоторые приемы нахождения пределов функций......	159
Глава 3
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
3.1. Производная функции ......................................................	164
3.1.1. Определение производной ..........................................	164
3.1.2. Односторонние производные.......................................	166
3.1.3. Замечания о бесконечной производной.........................	169
3.1.4. Производная и непрерывность функции .......................	170
3.1.5. Геометрический смысл производной ............................	170
3.1.6. Физический смысл производной .................................	177
3.1.7. О функциях, не имеющих производной ........................	178
3.1.8. Таблица производных элементарных функций..............	182
3.1.9. Правила дифференцирования .....................................	184
3.1.10. Производная обратной функции ................................	189
3.1.11. Производная сложной функции — правило цепочки ....	191
3.1.12. Приложения теоремы о производной сложной
функции ................................................................................	196
3.1.13. О некоторых особенностях, возникающих при вычисле-
нии производных ....................................................................	205
3.2. Дифференцируемые функции и дифференциал ...................	207
3.2.1. Определение дифференцируемости функции.................	207
3.2.2. Дифференциал функции ............................................	208
3.2.3. Понятие дифференциала функции у Коши ...................	211
3.2.4. Геометрический и физический смысл
дифференциала ......................................................................	212
3.2.5. Таблица дифференциалов и правила нахождения
дифференциалов .....................................................................	213
3.2.6. Использование дифференциала в приближенных
вычислениях...........................................................................	214
3.2.7. Инвариантность формы дифференциала.......................	216
3.3. Производные и дифференциалы высших порядков..............	219
3.3.1. Производные высших порядков ..................................	219
3.3.2. Пример функции, имеющей производные не выше
n-го порядка............................................................................	220

269

3.3.3. Производные n-го порядка некоторых элементарных
функций ................................................................................				221
3.3.4. Правила нахождения производных высшего порядка.....				224
3.3.5. Производные высших порядков сложных функций
и функций, заданных параметрически.......................................				226
3.3.6. Дифференциалы высших порядков..............................				227
3.3.7. Нарушение инвариантности формы y дифференциалов
высшего порядка ....................................................................				228
3.4. Дифференциальные теоремы о среднем..............................				230
3.4.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.....................				230
3.4.2. Комментарий к теореме Ролля ....................................				232
3.4.3. Комментарий к теореме Лагранжа...............................				234
3.4.4. Комментарий к теореме Коши.....................................				237
3.4.5. Замечание о промежуточных пунктах в формулах
Лагранжа и Коши ...................................................................				240
3.5. Правило Лопиталя — Бернулли ........................................				244
3.5.1. Раскрытие неопределенностей вида	0	...........................		245
3.5.1. Раскрытие неопределенностей вида				245
0
3.5.2. Раскрытие неопределенностей вида			..........................	249
3.5.2. Раскрытие неопределенностей вида			..........................	249

3.5.3. Несколько замечаний по применению правила Лопиталя ..				252
3.5.4. Раскрытие неопределенностей других типов .................				255
3.5.5. Замечание об обращении правила Лопиталя .................				257
3.6. Некоторые дополнительные сведения о производных...........				258
3.6.1. Определение конечных разностей................................				258
3.6.2. Определение производных через конечные разности ......				258
3.6.3. О разрывах производной ............................................				260
ЛИТЕРАТУРА .......................................................................				264

Учебное издание

Чупригин Олег Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:

ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ

Пособие для студентов физического факультета

Редактор О. Н. Кохно

Художник обложки Т. Ю. Таран Технический редактор Т. К. Раманович

Корректор А. Г. Терехова

Компьютерная верстка Е. В. Заиченко

Подписано в печать 27.01.2010. Формат 60 84/16. Бумага офсетная.

Гарнитура SchoolBook. Печать офсетная. Усл. печ. л. 15,81. Уч.-изд. л. 14,7. Тираж 100 экз. Зак. 354.

Белорусский государственный университет. ЛИ ¹ 02330/0494425 от 08.04.2009. Пр. Независимости, 4, 220030, Минск.

Отпечатано с оригинала-макета заказчика. Республиканское унитарное предприятие

«Издательский центр Белорусского государственного университета». ЛП ¹ 02330/0494178 от 03.04.2009.

Ул. Красноармейская, 6, 220030, Минск.

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 2827 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.20196 Мб24chast1.doc
#
14.04.20192 Мб25chast2.doc
#
14.04.20196 Мб22chast3.doc
#
01.03.2016337 Кб15cherchenie-8.pdf
#
29.02.2016157 Кб31chrp.doc
#
29.02.201630 Мб22Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf.pdf
#
01.07.2025961 Кб0Churley_KSR_2.doc
#
09.08.2019240 Кб5cikloalkany.docx
#
01.05.202586 Кб0codexes.doc
#
16.08.2019931 Кб12comment_file_1.doc
#
01.07.20256 Мб1Commercializing Innovation Turning Technology Breakthroughs into Products.docx