Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

Таким образом, частотный коэффициент передачи и функция Грина связаны между собой преобразованием Фурье. Это общее свойство всех линейных систем.

Прямой подстановкой (1.345), (1.346) в (1.337), (1.338) нетрудно проверить, что найдено точное решение задачи дифракции. Простота решения указывает на адекватность использованного математического метода физическому содержанию задачи дифракции.

Инварианты распространения светового пучка

Нетрудно проверить, что результаты конкретных расчетов, проделанных выше, удовлетворяют общим соотношениям (1.355), (1.356). Формула (1.355) раскрывает причину устойчивости картины фраунгоферовой дифракции. Согласно этой формуле, картина дифракции, возникающая в дальней зоне, устойчива потому, что она повторяет форму углового спектра пучка, а угловой спектр является инвариантом распространения.

Приближение Френеля

Для слабо расходящегося светового пучка имеет место неравенство:

т.е. угловой спектр является достаточно узким. В этом случае можно записать приближенное равенство:

143

Подставив (1.359) в (1.349) и выполнив интегрирование, получим следующее выражение для функции Грина:

Полученное выражение совпадает с дифракционным интегралом в приближении Френеля. Таким образом, в рамках спектрального подхода удается воспроизвести все результаты френелевской теории дифракции. Кроме того, спектральные представления позволяют глубже понять физический смысл такого понятия как дифракционная расходимость светового пучка.

Дифракционная расходимость излучения

Рассмотрим, для определенности, дифракцию плоской волны на щели. Согласно спектральным представлениям, ограничение поперечного размера светового пучка приводит к уширению его углового спектра. При этом связь между поперечным размером пучка x и шириной углового спектра kx выражается формулой:

kx = ksin, где k = 2 / – волновое число, – длина световой волны.

Р и с. 4.36

Для малых углов можно, следовательно, записать kx = k и kx = k , где – ширина углового спектра или угловая расходимость пучка. Пусть ширина щелиx = d. Тогда из формулы (1.362) следует, что

в соответствии с формулой, полученной раньше. Таким образом, в спектральной теории оценка дифракционной расходимости излучения может быть получена как

144

следствие фундаментального соотношения между поперечным размером пучка и шириной его углового спектра.

Линза, как элемент, выполняющий пространственное преобразование Фурье

Из геометрической оптики известно, что линза собирает параллельный пучок света в точку, расположенную в фокальной плоскости (рис. 4.37). Произвольное световое поле можно представить как совокупность плоских волн (параллельных пучков), падающих на линзу под разными углами. Каждой такой волне линза ставит в соответствие определенную точку в фокальной плоскости. При этом распределение света в фокальной плоскости приобретает форму пространственного спектра поля, падающего на линзу. В этом смысле линза действует как элемент, выполняющий пространственное спектральное разложение света, или пространственное преобразование Фурье.

f

Р и с. 4.37

Указанное свойство линзы нетрудно описать на языке волновой оптики. Для этого введём коэффициент передачи линзы и воспользуемся френелевской теорией дифракции.

Коэффициент передачи тонкой линзы

Рассмотрим линзу, для которой луч, входящий в точке с координатами x, y на одной поверхности выходит на другой поверхности в точке с такими же координатами. Разумеется, данное условие является приближенным, однако оно выполняется тем точнее, чем тоньше линза. Этим и объясняется термин "тонкая" линза.

Определим комплексный коэффициент передачи тонкой линзы t (x, y) как отношение комплексных амплитуд прошедшей и падающей волн

Для вычисления этой характеристики линзы необходимо описать распространение света в стекле. Распространение света в различных оптических средах будет подробно рассмотрено ниже. Здесь же воспользуемся одним простым результатом, необходимым нам для расчёта. Этот результат заключается в том, что в

145

где c – скорость света в вакууме, n – действительная положительная величина, большая единицы, называемая показателем преломления среды.

Принимая во внимание последнее соотношение, запишем световую волну в стекле в виде

Р и с. 4.38

Обозначим через (x, y) толщину линзы в точке с координатами x, y, а через 0

146

В такой форме коэффициент передачи описывает не только плосковыпуклую, но и вообще любую тонкую линзу.

Распределение света в фокальной плоскости линзы

Вычислим теперь распределение интенсивности света в фокальной плоскости линзы. Пусть на линзу с фокусным расстоянием f падает монохроматическая световая волна с комплексной амплитудой 0 = 0(x,y). Тогда комплексная амплитуда

Далее световая волна распространяется в соответствии с законами дифракции. Используя дифракционный интеграл в приближении Френеля

147

можно найти распределение амплитуды поля на любом расстоянии z от линзы

В частности, полагая z = f, найдём распределение поля в фокальной плоскости линзы

Формула (1.373) показывает, что в фокальной плоскости линзы формируется распределение поля, пропорциональное пространственному фурье-образу поля, падающего на линзу. Распределение интенсивности света в фокальной плоскости имеет форму углового спектра излучения падающего на линзу, а именно

Тот факт, что в фокальной плоскости образуется распределение интенсивности света, имеющее форму пространственного спектра поля, падающего на линзу, можно использовать для получения фурье-спектров оптических изображений. Для этого достаточно поместить транспарант с изображением непосредственно перед линзой, направить на него пучок когерентного света и поместить фотопластинку в задней фокальной плоскости линзы. Записанное на фотопластинке изображение будет иметь форму пространственной спектральной плотности изображения на транспаранте.

Формирование оптического изображения

В 70-х годах 19 - го века Эрнст Аббе проводил опыты, направленные на улучшение качества объективов для микроскопов. Работая в Йенском университете как сотрудник (а затем и как компаньон) Карла Цейса, Аббе обнаружил, что объектив микроскопа дает тем лучшее разрешение, чем больше его апертура. В экспериментах с объектами, имеющими периодическую структуру (чешуйки насекомых), он

148

показал, что влияние апертуры микроскопа связано с дифракцией света на самом образце, Аббе ввёл волновую теорию в инструментальную оптику, бывшую ранее исключительно сферой приложения геометрической оптики.

Согласно теории, развитой Аббе, процесс формирования линзой оптического изображения можно разбить на два этапа: фурье-анализ волнового поля объекта и фурье-синтез изображения. При этом важную роль играет фокальная плоскость линзы, в которой образуется распределение поля, пропорциональное фурье-образу поля источника.

Схема формирования изображения по Аббе показана на рис. 4.40. В качестве объекта, изображение которого строит линза, выбрана дифракционная решетка D. Так как свет, прошедший через решетку, имеет дискретный угловой спектр, имеется возможность проследить ход отдельных спектральных компонент пространственного спектра поля. Как видно из рисунка, на первом этапе линза L осуществляет фурьеанализ волнового поля, испускаемого объектом. Эта операция осуществляется в области пространства между линзой и ее задней фокальной плоскостью и математически выражается преобразованием Фурье. Распределение интенсивности света в задней фокальной плоскости линзы F представляет собой фурье-образ поля, испускаемого объектом. На втором этапе в процессе свободной дифракции осуществляется фурье-синтез изображения. Эта операция происходит в области пространства между задней фокальной плоскостью линзы и плоскостью изображения P и математически также выражается преобразованием Фурье. В итоге в плоскости изображения формируется световое поле, структура которого повторяет структуру объекта.

Р и с. 4.40

Разумеется, теория Аббе не противоречит принципам геометрической оптики, хорошо проверенным на опыте. Однако она позволяет глубже понять физику формирования оптических изображений, оценить предельную разрешающую способность оптических приборов, и, кроме того, несёт в себе плодотворную идею обработки изображений путем воздействия на пространственный спектр излучения.

149

f

Р и с. 4.41

Так, помещая в фокальной плоскости линзы диафрагму, экран или фазовую пластину, можно осуществить такое преобразование углового спектра излучения, при котором нужные детали изображения будут подчеркнуты, а помехи удалены. Таким образом в оптике удаётся реализовать частотную фильтрацию оптических полей – операцию, аналогичную фильтрации электрических колебаний, применяемой в радиотехнике. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих принципы фурье-оптики.

Опыты Аббе-Портера

Схема эксперимента показана на рис. 4.41. Предмет, которым служит сетка из тонкой проволоки, освещается когерентным светом. Свет, прошедший через сетку, падает на линзу, которая строит изображение сетки на экране. Из-за периодичности структуры сетки её фурье-спектр имеет вид системы пятен. При этом размер отдельного пятна определяется размером сетки, а расстояние между пятнами определяется периодом сетки. Вертикальные столбцы пятен соответствуют вертикальной неоднородности сетки, т.е. системе проволок, вытянутых в горизонтальном направлении. Горизонтальные "строки" пятен соответствуют системе проволок, вытянутых по вертикали.

Возможности спектральной фильтрации изображения хорошо видны на примере эксперимента, в котором в заднюю фокальную плоскость линзы помещают узкую щель, которая пропускает только один ряд спектральных компонент. На рис. 4.42а показан спектр, пропускаемый горизонтальной щелью. Соответствующее изображение, показанное на рис. 4.42б, содержит систему проволок, вытянутых по вертикали. Горизонтально вытянутые проволоки исчезают из изображения. Если повернуть щель на 90° так, чтобы она пропускала лишь вертикальный ряд пятен (рис. 4.43а), то получающееся изображение содержит лишь систему горизонтальных линий (рис. 4.43б).

Можно наблюдать и другие интересные эффекты. Например, если в фокальную плоскость линзы поместить ирисовую диафрагму и установить ее так, чтобы через неё проходила только осевая фурье-компонента спектра, то при постепенном расширении диафрагмы можно шаг за шагом проследить фурье-синтез сетки. Если же вместо диафрагмы поместить в фокальной плоскости маленький экран, который закрывал бы центральное пятно фурье-спектра, то получим изображение сетки с обращенным контрастом.

Метод тёмного поля

Метод темного поля используют в микроскопии для наблюдения структуры слабо поглощающих свет объектов, таких как срезы живых тканей, клетки и т.п. Идею метода иллюстрирует схема, показанная на рис. 4.44. Свет от источника проходит через исследуемый объект O и линзу L1. В точке фокуса расположен небольшой непрозрачный диск D. Линза L2 проецирует изображение на экране. В отсутствие диска D на экране видно светлое поле с почти однородной засветкой. При внесении диска освещенность экрана резко уменьшается – возникает "темное поле". При этом на темном фоне становится отчетливо видной структура объекта.

Объяснение опыта состоит в следующем. Неоднородная оптическая плотность или толщина прозрачного объекта вызывает преломление света и появление отклоненных лучей. Эти лучи, несущие информацию о структуре объекта и являющиеся полезным сигналом, пропускаются диском D, размер которого достаточно мал. В то же время прямые лучи, которые не несут информации об объекте и являются помехой, задерживаются диском D. Это и приводит к улучшению видности структуры объекта.

O – объект, D – непрозрачный диск, L1, L2 – линзы.

Р и с. 4.44

Метод фазового контраста

Этот метод, предложенный Фрицем Цернике в 1935 г., также используют в микроскопии для получения изображений прозрачных и бесцветных объектов. Неоднородность показателя преломления объекта, например, живой клетки, приводит к тому, что прошедшая через объект световая волна претерпевает в разных точках объекта разные изменения фазы, т.е. приобретает фазовый рельеф. В методе фазового контраста этот рельеф преобразуется в изменения яркости света – амплитудный рельеф – с помощью специальной фазовой пластинки, расположенной вблизи заднего фокуса объектива микроскопа.

Упрощенная схема метода подобна схеме, используемой в методе тёмного поля, только вместо непрозрачного диска в фокальной плоскости линзы расположен стеклянный диск – фазовая пластина. Толщина пластины подобрана так, что она осуществляет изменение фазы падающей на нее световой волны на /2.

151

Как и в методе тёмного поля, на пластину падает свет, не претерпевший преломления в объекте. Этот свет, не несущий информации о структуре объекта, линза собирает в точке фокуса. В то же время преломленные объектом лучи – полезный сигнал – минуют фазовую пластину, проходя сбоку от нее. Затем фоновая волна, фаза которой сдвинута на /2, и сигнальная волна интерферируют, в результате чего формируется изображение структуры объекта.

Поясним сказанное с помощью простых формул. Пусть объект характеризуется комплексным коэффициентом пропускания.

T x, y exp i x, y ,

где (x,y) – действительная функция, модуль которой меньше единицы:

x, y 1.

В этом случае можно приближенно написать:

T x, y 1 i x, y .

Комплексную амплитуду волны, падающей на объект, обозначим через 0. Тогда волна, прошедшая через объект, имеет амплитуду

В отсутствие фазовой пластины поле с амплитудой (x,y) непосредственно проецируется на экран или наблюдается в окуляр микроскопа. При этом наблюдаемое распределение интенсивности

почти однородно, структура объекта просматривается плохо. Иная ситуация имеет место, если в фокусе линзы находится фазовая пластинка, сдвигающая фазу фоновой волны на /2. В этом случае слагаемое 0 в правой части формулы (1.376) следует заменить на i 0. При этом второе слагаемое i 0(x,y), описывающее волну, преломленную в объекте, остаётся без изменения, так как преломленные волны проходят мимо фазовой пластины, размер которой достаточно мал. В итоге амплитуда волны, прошедшей через объект и фазовую пластину, приобретает вид

что при наличии фазовой пластины в фокусе линзы контраст наблюдаемой картины должен значительно возрасти. Эксперименты подтверждают этот вывод.

Разрешающая способность микроскопа и телескопа

Из теории Аббе следует, что даже самая совершенная линза строит изображение с некоторой ошибкой. Это связано с тем, что световое поле объекта имеет, вообще говоря, произвольный спектр пространственных частот, в то время как линза из-за конечности своей апертуры способна уловить лишь конечную полосу частот из этого спектра. Не все лучи, испускаемые объектом, попадают на линзу. Лучи, соответствующие высоким пространственным частотам, проходят мимо линзы и, следовательно, не принимают участие в формировании изображения. Поэтому

152