Teoriya avtomatichnogo keruvannya

Глава 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Оскільки и не має обмеження, то не існує значення и, при якому досягається екстремум. Якщо функція Я розглядається у замкнутому інтервалі [-итах, + итах ] змінювання и, то вона набуває максимуму на межах інтервалу (рис. 11.3). Отже, функція Ядосягає максимуму при

Цей вираз є справедливим для будь-якого моменту часу, тому оптимальне керування

У загальному випадку при т > 1 кожна складова вектора керування и (и] (/), и2 (/),..., и,„(()) змінюється в межах зони керування незалежно від решти складових і має набувати максимального значення. Очевидно, що умова (11.75) виконуватиметься, якщо керування

З цього виразу випливає, що керування в лінійних системах, оптимальних за швидкодією, має бути релейним.

Розв'язування задачі максимальної швидкодії за принципом максимуму виконується в такому порядку.

1. Записуються рівняння динаміки об'єкта у вигляді (11.57).

н

+ит

5 8 0

11.3. Принцип максимуму

2. Складається функція Гамільтона, що дорівнює скалярному добутку векторів ф і \{/, тобто

Я = ф,!}/, + ф2 \|/2 + ... + ф/;\|/„.

3. Відшукуються частинні похідні функції // за ц , які визначають екстремум функції Я Якщо Я лінійно залежить від и1, то частинна похідна дН/дц є функцією однієї або кількох складових вектора \|/. І Іри цьому для досягнення додатного максимуму Я необхідно, щоб

Отже, керуюча дія повинна скачком набувати значення +иітах або

тах '

Якщо залежність Я від и1 нелінійна, то частинна похідна дН/дц прирівнюється нулю та із знайденого виразу визначається и1, при якому Я набуває екстремуму.

4.Визначаються допоміжні функції \\іІУ для чого складається і розв'язується система рівнянь вигляду (11.70).

5.Для замкнутих систем визначається керування як функція змінних стану об'єкта її = /(х).

Складність аналітичного розв'язування задачі оптимального керування в тому, що загальна кількість невідомих параметрів становить (2/7 + 1): п змінних стану х{, п функцій і загальний час керування Т = і{ - ї0. Для їхнього визначення необхідно мати 2/7 граничних умов, а також умову для визначення Т. Проте звичайно початкові та кінцеві значення задаються для змінних х,, а для функцій \|/,. вони не задаються. Прямих способів розв'язування таких задач немає — більшість із них можна розв'язувати числовими методами.

Один з можливих підходів до розв'язання задачі такий. Беруть довільні початкові значення \|//, тобто довільний вектор \}/(г0), розв'я- зують рівняння (11.69), (11.70) і визначають функції хД/), \|/Дґ). Потім при І - г{ перевіряють, чи виконується умова х(/|) = х(1). Якщо вона не виконується, тобто система в кінці керування не набуває поірібного стану, то беруть нове значення \|/(/0)і для нього визначають

)і т. д. Отже, шукане оптимальне керування визначають методом послідовних наближень. Процедура триває доти, доки не буде знай-

581

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

дено т а к и й вектор \|/(/0 ), для я к о г о умова х(7,) = х ( , ) в и к о н у в а т и м е т ь с я з п р и й н я т н о ю т о ч н і с т ю .

А н а л і т и ч н и й розв'язок м о ж н а знайти т і л ь к и для відносно прос - тих задач.

•П р и к л а д 11.2. Визначити закон змінювання струму якоря двигуна постійного струму з незалежним збудженням, що забезпечує відпрацювання кутового переміщення 00 протягом мінімального часу Т при

обмеженні струму якоря |/|< /тах і статичному моменті Мс = 0.

Р о з в ' я з а н н я . Рівняння, що описують динаміку двигуна,

СІІХ) /сії = с / / / ; СІВ/сії = ш,

де аз — кутова швидкість двигуна; с — сталий коефіцієнт; / — момент

при початкових умовах х,(0) = 0, х2(0) = 0 і кінцевих значеннях змінних стану х{ (Т) = 0, х2(Т) = 60.

Введемо дві допоміжні функції часу і]/, і \|/2 і складемо функцію Гамільтона для системи рівнянь (11.77):

5 8 2

11.3.Принцип максимуму

И= 'тах8І8П (С, - С2ї).

Функція \і/,(/)на інтервалі (О, Т) змінює знак не більше одного разу. Позначимо момент змінювання знака /,. Тоді

'тах ПРИ / < /, , I-'тах ПРИ І >

Визначимо момент перемикання /,. Для цього використаємо перше рівняння системи (11.77). На першій ділянці гіри / </, значення

И = 'тах'ТОМУ

= с/тах//.

Розв'язок цього рівняння при початкових умовах х, (0) = 0

с .

7 '

При і = /, швидкість у кінці першої ділянки

На другій ділянці при і > /, значення и = -/т а х , тому

сіх, І сії = -с/тах//.

Розв'язок цього рівняння

При І = Т X, (Г) = 0, тобто

с2с

0 = -7 'тах Т + — /тах/,,

звідки

= Т/ 2.

Час Твизначимо з умови, що при і = Т кутове переміщення дорівнює 00. Тоді з другого рівняння системи (11.77) маємо

т

X,: | X, (ОЛ = Є0

о

583

Глава 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

СІ т лч

Позначивши струм якоря / і швидкість со, запишемо закони змінювання струму і швидкості під час відпрацювання двигуном заданого переміщення:

"я М =

" ' т а х * + 7 • ( Т ' - О ПрИ Г/2 < / < Г.

Графіки змінювання струму, швидкості і напруги на якорі двигуна наведено на рис. 11.4.

Рис. /1.4

584

1 1 . 4 . Теорема про п інтервалів

11.4

Теорема про п інтервалів

О,кдна з окремих, але досить важливих задач оптимальної швидкодії розв'язана в 1953 р. у працях А А. Фельдбаума незалежно від праць Л. С. Понтрягіна. А. А. Фельд-

іиум довів таку теорему:

для об'єктів, що описуються лінійним диференціальним рівнянням зі сталими коефіцієнтами

корені характеристичного рівняння якого є дійсними від'ємними або нульовими, а | и < итах, оптимальне керування має не більше, ніж п інтервалів максимального значення ±итах і п - 1 моментів перемикання.

Ця теорема дістала назву теореми про п інтервалів. Згідно з нею оптимальне керування за наявності обмеження керуючого сигналу складається з п інтервалів, у кожному з яких керуючий сигнал досяіас свого максимального значення, тобто час перебігу оптимального процесу х(і) поділяється на п інтервалів, у кожному з яких процес описується рівнянням

де а = ±1, і не змінюється протягом кожного інтервалу. В кінці кожного інтервалу знак керуючого сигналу змінюється. Цей висновок повністю збігається з результатом, який дістали для лінійних систем іа принципом максимуму Понтрягіна.

Теорема про п інтервалів може поширюватися також на випадок, коли обмеження накладаються не тільки на керування и, а й на змінні стану системи. У цьому разі кількість інтервалів оптимального керування збільшується, бо крім інтервалів, у яких максимального значення набуває керування, додаються ще й інтервали, коли обмежені змінні стану системи мають свої граничні значення.

Сама по собі теорема про п інтервалів не визначає правила вибору знака керування на першому інтервалі та способів визначення іривалості інтервалів або моментів перемикання.

У багатьох випадках знак керуючого сигналу на початку процесу визначається потрібним напрямком змінювання вихідного сигналу х.

5 8 5

Г л а в а 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Розглянемо спочатку найпростіший випадок, коли об'єкт описується рівняннями

Х| {і\ )= 0, х2(/, )= 0 протягом мінімального часу при обмеженні \и\< 1. Рівняння (11.83) лінійні, тому оптимальне за швидкодією керування и може набувати тільки двох значень: и = +1 і и = -1. Розглядувана система є системою другого порядку, тому згідно з теоремою про п інтервалів у ній має відбуватися одне перемикання.

Для розв'язування задачі синтезу оптимального керування побудуємо фазові траєкторії об'єкта. Для цього з рівнянь (11.81) вилучи-

Керування и може набувати лише двох значень +1 і -1, тому рівняння (11.82) подамо у вигляді

сІХ\ І сіх2 = х2 при и=+1,

СІХ{ /йх2 - -х2 при и = -1.

Зінтегрувавши ці рівняння, дістанемо рівняння фазових траєкто-

рій:

Фазові траєкторії становлять дві сім'ї парабол (рис. 11.5). При С - 0 параболи описуються рівняннями

і проходять через початок координат, який відповідає кінцевому стану об'єкта X! = 0, х2 = 0. Частини цих парабол, по яких зображуюча точка приходить у початок координат, утворюють лінію перемикання Позначимо частину цієї лінії при и = +1 через Ц, а при и = -1 — через Ц. Отже, на останньому інтервалі оптимального процесу зо-

5 8 6

1 1 . 4 . Теорема про п інтервалів

С,> О

Рис. 11.5

по параболі, що описується рівнянням (11.85), і проходить через точку М{ . У момент часу, коли зображуюча точка потрапляє в положення , необхідно змінити керування на и = +1. Після цього зображуюча точка рухатиметься в початок координат по параболі ТУ, О. Крива М{ М{ 0 є оптимальною траєкторією, що відповідає початковому стану Х^О), Х2(0).

Якщо в початковий момент часу зображуюча точка знаходиться у зоні 02 і має положення М2, то необхідно прийняти и = +1. У цьому

5 8 7

Глава 11 ОПТИМАЛЬНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Відповідно до нього рівняння оптимальне керування

РЕ, сигнал на виході якого и - -1 8І£п а, .

Розглянемо випадок, коли об'єкт керування описується лінійним диференціальним рівнянням п-го порядку зі сталими коефіцієнтами,

Вважатимемо, що керуючий орган один, тобто керування скалярне, і обмеження керування дорівнює одиниці: \и\< 1. Тоді рівняння (11.89) можна записати у вигляді двох рівнянь

Крім того, приймаємо, що шукане оптимальне керування має протягом мінімального часу переводити зображуючу точку з довільного початкового стану в кінцевий, яким вважається початок координат простору станів. Ця задача про повернення зображуючої точки

Рис. 11.7

5 8 8

1 1 . 4 . Теорема про п інтервалів

п початок координат простору станів протягом мінімального часу відповідає поверненню об'єкта у вихідний усталений стан, відносно якого змінні стану набули деякого відхилення х,, х 2 , . . . , хп під дією ібурень, прикладених до об'єкта. Змінні х,, х 2 , ... , х„ можна також розглядати як відхилення (або похибки) відносно нового усталеного

рез початок координат. Вітки цих траєкторій, що закінчуються в початку координат, становлять півтраєкторії Ц і Ц. Об'єднаємо їх в одну траєкторію Ц . Очевидно, що зображуюча точка може потрапиги в початок координат обов'язково по лінії Ц , що відповідає останньому інтервалу оптимального процесу.

Протягом оптимального процесу знаки керуючої дії на сусідніх інтервалах чергуються, тому кінці множини гіівтраєкторій передостаннього інтервалу 12 належать півтраєкторії Ц, а кінці і2 — півтраєкторії Ц. Сукупності півтраєкторій £2 і І2 утворюють дві поверхні, кожна з яких за межу має криву Ь{. Обидві поверхні стикуються по лінії Ц і створюють поверхню Ь2, рухаючись якою зображуюча точка потрапляє на лінію Ц і по ній — в початок координат. Продовжуючи цю побудову, дістанемо поверхні £3 , Ь4 ,..., Ьп.

Для об'єктів з дійсними від'ємними коренями характеристичного рівняння процес синтезу полягає в знаходженні поверхні Ьп_ х, яка розділяє простір станів на дві зони, в одній з яких зображуюча точка рухається траєкторіями, що відповідають рівнянню (11.90), а в іншій — рівнянню (11.91). При цьому, якщо початкова точка перебуває в зоні Ц} простору станів, то в кінці першого інтервалу зображуюча точка потрапляє в зону Цг_{, де керування перемикається. Нада-

бражуюча точка потрапляє на поверхню Ь2 і після останнього перемикання по лінії Ц — у початок координат.

Поверхні, що розглядаються, описуються трансцендентними рівняннями, тому задача синтезу (визначення поверхні перемикання Ьп_х) розв'язується в замкнутому вигляді лише для систем другого і третього порядку. Для систем вищого порядку можна знайти частинний розв'язок або обмежитися керуванням, близьким до оптимального.

589