Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сыктывкарский лесной институт (филиал СПбГЛТА)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теор. Мех. Методическое пособие для КР

.pdf

Скачиваний:

155

Добавлен:

02.03.2016

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Общей мерой вращательного эффекта пары служит векторный момент па-

ры сил	R	× F ,	где r	– радиус-вектор одной силы пары относительно точки
	M = r

приложения второй.

Результаты решения двух основных задач статики для пространственной системы пар сил таковы: система пар сил приводится к одной результирующей паре сил; уравнения равновесия для пар сил представляют собой три уравнения проекций векторных моментов пар сил на декартовы оси (см. вторую строку табл. 2.1).

При изучении пространственной системы сил особое внимание следует уделить основной теореме статики о приведении произвольной пространственной системы сил к данному центру (теореме Пуансо). Сущность теоремы состоит в том, что произвольную систему сил можно преобразовать в систему сходящихся сил и систему пар сил, а последние заменить соответственно силой и парой сил. Уравнения равновесия для пространственной системы сил представляют собой три уравнения проекций сил на декартовы оси и три уравнения моментов сил относительно каждой из трех декартовых осей (см. третью строку табл. 2.1).

Результаты решения двух основных задач для плоской произвольной системы сил, представленные в последней строке табл. 2.1, являются частным случаем предыдущих. Следует отметить, что два уравнения проекций сил и одно уравнение алгебраических моментов сил относительно произвольного центра являются лишь одним из трех возможных вариантов записи уравнений равновесия для плоской произвольной системы сил. Два других представляют собой два уравнения алгебраических моментов и одно уравнение проекций сил (ось проекций не должна быть перпендикулярна отрезку, соединяющему моментные точки) или три уравнения алгебраических моментов сил (моментные точки не должны лежать на одной прямой).

2.2. Кинематика

Кинематику – раздел теоретической механики, изучающий движение материальных тел вне зависимости от сил, вызвавших это движение, – принято делить на кинематику точки и кинематику абсолютно твердого тела. В кинематике точки изучаются способы задания движения точки: векторный, координатный, естественный; методы определения кинематических характеристик движения точки (закон движения, скорость и ускорение). В табл. 2.2 приведены основные зависимости из кинематики точки.

Различают пять видов движения твердого тела:

1)поступательное;

2)вращательное вокруг неподвижной оси;

3)плоскопараллельное (плоское);

4)сферическое, или вращение тела вокруг неподвижной точки;

5)свободное.

Таблица 2.2

Способ задания движения

Векторный


			W		O
					O

	V			r
			M
	Координатный
	z		M
	z				V

	O	W	z
			z	x
					y
x y					y
x y
		Естественный
		M
		M		W t	V
	+
0
-		S
		S

		W n		W

Векторный

Уравнения		Скорость точки			Ускорение точки
движения		Скорость точки			Ускорение точки
движения
				R		R		R
R	R	R		dr	R	dV		d 2 r
r	= r (t )	V	=		W =		=
r	= r (t )	V	=	dt	W =	dt	=	dt 2
				dt		dt		dt 2

Проекции скорости на оси: Проекции ускорения на оси:

= x;

V =

= y;

d 2 x

d 2 y

x = x(t )

= x; Wy

= y;

y = y(t )

Vz =

d 2 z

= z.

Wz =

z = z(t )

dt2

= z.

Модуль скорости:

Модуль ускорения:

V = Vx2 + Vy2 + Vz2 .

W =

W 2

+ W

2 + W

2 .

Алгебраическая

величиМодуль

касательного

на скорости:

нормального ускорения:

; W

OM = S =

dt 2

= S(t)

Модуль скорости:

где ρ –

радиус кривизны.

V =

Модуль полного ускорения:

W = (W t )2 + (W n )2 .

d 2r

= r (t )

V =

dt2

Рабочей программой предусмотрено изучение первых трех видов. Поступательное и вращательное движение вокруг неподвижной оси назы-

вают простейшими движениями тела. Первое – полностью определяется движением одной его точки, и для изучения такого движения достаточно знать кинематику точки. При изучении вращательного движения тела вводятся новые кинематические характеристики движения: угловая скорость и угловое ускорение тела. Они должны быть твердо усвоены. Необходимо запомнить формулы для скорости, центростремительного и вращательного ускорений любой точки вращающегося тела (табл. 2.3).

При изучении движения плоской фигуры в своей плоскости, к которому сводится изучение плоскопараллельного движения тела, очень важным является то обстоятельство, что такое движение состоит из двух простейших движений: поступательного движения вместе с полюсом и вращательного движения фигуры вокруг полюса. За полюс можно принять произвольную точку тела, например точку А. Если это положение усвоено, то легко понять тот факт, что скорость и ускорение любой точки плоской фигуры геометрически складываются из скоростей и ускорений полюса и скоростей и ускорений точки тела при

вращении вокруг полюса. Основные формулы для скорости и ускорения точки

плоской фигуры даны в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Кинематические характеристики

Формулы для скорости и

движения тела

ускорения точки тела

Вращение тела вокруг неподвижной оси:

Модуль

вращательной

скорости

точки

тела:

V = ωR.

Модули вращательного (касательного)

и осестремительного (нормального)

вр

ускорений точки тела:

ос

Wвр = εR; Woc = ω2R.

Модуль полного ускорения точки тела:

dϕ

d 2ϕ

dω

W = (W вр )2 + (W oc )2 = R ε 2 + ω4 .

= ω > 0,

= dt

= ε > 0.

ϕ = dt

ϕ = dt 2

Уравнение вращения: ϕ = ϕ(t )рад.

Алгебраические величины угловой скорости и

углового ускорения:

ω = ϕ рад/с,

ε = ω = ϕ рад/с .

Модули угловой скорости и углового ускорения:

ω = ϕ ,

ε = ω = ϕ ,

ускоренное вращение,

ϕ ;ϕ > 0 –

замедленное вращение.

; ϕ < 0 –

Плоско-параллельное движение

Скорость точки М:

а) VM

= V A

+ VMA ,

где VMA = ωAM;

VMA AM ;

б) VM = ωPM; VM PM .

(·)P –

мгновенный центр скоростей.

VMA

Ускорение точки М:

ос

вр

= W A + WMA

+ WMA

ос = ω2 AM , W вр

= еAM ,

ос

вр

AM .

WMA ||

АМ; WMA

Модуль полного ускорения точки М:

вр

W 2

+ W

ос

Mх

Mу

WMA

= (W

)

+ (W

ос

)

вр

)

= (W

)

+ (W

)

вр

)

ос

Достаточно трудным для изучения является сложное движение точки. Здесь прежде всего надо четко уяснить понятия относительного, переносного и абсолютного движений. Лишь после этого можно перейти к изучению теорем сложения скоростей и ускорений. Наиболее простое наглядное доказательство этих теорем дано в учебнике «Краткий курс теоретической механики» С. М. Тарга [10].

При изучении сложного движения точки студент знакомится с новым понятием – кориолисовым ускорением точки. Нужно внимательно разобраться в том, как определяются модуль и направление кориолисова ускорения, надо по-

нять физическую причину возникновения этого ускорения (Wкор ) :

		R				R	R
W	= 2	R	), по модулю W	= 2ω V	sin	R		.
W	= 2	(ω×V	), по модулю W	= 2ω V	sin	ω, V		.
кор		отн	кор	отн			отн

2.3. Динамика

Динамика – раздел теоретической механики, изучающий движение материальных точек и тел в зависимости от сил, вызвавших движение – делится на динамику точки и динамику механической системы.

Для успешного овладения динамикой студентом должна быть хорошо усвоена статика и кинематика. Он должен владеть техникой дифференцирования и интегрирования, иметь навыки решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

Раздел динамики чрезвычайно важен для формирования всех последующих инженерных знаний и навыков студента.

Динамика дает мощный и гибкий аппарат для решения разнообразных задач техники.

Втабл. 2.4 приведены основные дифференциальные уравнения динамики, которые позволяют найти уравнения движения того или иного объекта, если известны характеристики его инертных свойств, действующие силы и начальные условия движения. Особое значение имеют уравнения Лагранжа II рода. Они позволяют составить дифференциальные уравнения движения самых разнообразных машин и механизмов. Студент должен освоить последовательность действий при составлении дифференциальных уравнений движения конкретной механической системы с помощью уравнений Лагранжа II рода.

Втабл. 2.5 приведены дифференциальные уравнения колебаний материальной точки, общие решения и уравнения колебаний.

Втабл. 2.6 даны общие теоремы динамики механической системы и сведения о величинах, входящих в уравнения, выражающие ту или иную теорему.

Втабл. 2.7 выписаны уравнения, выражающие содержание метода кинетостатики и принципов теоретической механики.

В табл. 2.8 приведены примеры простейшего вида систем сил инерции частиц тела. Данные этой таблицы полезно использовать при решении задач методом кинетостатики и с помощью общего уравнения динамики.

Таблица 2.4

Основные дифференциальные уравнения динамики

Вид дифференци-

Дифференциальные уравнения

альных уравнений

Дифференциальные

m&x& = ∑ Fix ,

m&y& = ∑ Fiy ,

m&z& = ∑ Fiz ,

уравнения

движения

где m –

масса точки; Fix, Fiy, Fiz

–

проекция силы Fi

на оси коор-

материальной точки в

декартовых координа-

динат.

тах

Дифференциальные

уравнения

движения

M&x&c = ∑ Fix ,

M&y&c = ∑ Fiy ,

M&z&c = ∑ Fiz

где М – масса

системы;

xc,

yc,

–

координаты

центра масс;

центра

масс

механи-

ческой системы

Fixe , Fiye ,... Fize – проекция внешней силы

Fie на оси координат.

Дифференциальное

I z ϕ = ∑ M z (Fi

)= M z ,

уравнение

вращения

где Iz –

момент инерции тела относительно оси z вращения, M ze –

тела

вокруг

непод-

вижной оси

главный момент внешних сил относительно оси z.

Дифференциальные

= ∑ Fiх

= ∑ Fiy ,

уравнения

плоского

Mxc

Myc

Icz ϕ = M cz ,

где Icz –

момент инерции относительно оси cz,

перпендикулярной

движения тела

плоскости движения; M cze

–

момент внешних сил относительно

оси cz.

Дифференциальные

∂T

−

∂T

= Q ,

уравнения

движения

механической

систе-

∂q1

∂T

мы, имеющей

сте-

−

= Q ,

пеней

свободы

обобщенных

коорди-

∂q&2

∂q2

..............................

натах (уравнения Ла-

∂T

гранжа II рода)

−

= Q

∂qs

где Т –

кинетическая энергия системы;

Q1, Q2,

…, Qs – обобщен-

ные силы; q&1, q&2 ,

..., q&s –

обобщенные скорости.

Таблица 2.6

Общие теоремы динамики механической системы

Название теоремы

Теорема о движении центра масс

		а) в дифференци-
изменении	движения	альной форме
изменении	движения
Теорема об	количества	б) в конечной фор-
		ме

измененииобТеорема	моментакинетического	а) относительно
измененииобТеорема	моментакинетического	неподвижного цен-
		неподвижного цен-
		тра
		б) относительно
		неподвижной оси
Теорема измененииоб кинетической энергиив конечнойформе		Oz
Теорема измененииоб кинетической энергиив конечнойформе		мой системы
		а) в общем случае
		б) для неизменяе-

Равенство, выражающее теорему

					R		R
			MWc = ∑ Fie
					R		n R
				dK			n R
				dK		=	∑ Fie ,
						=	∑ Fie ,
					dt		i=1
R	n	R	R
где K = ∑ miVi = MVc – количество движения системы.
	i−1
			R		R		n	R
			K		− K 0		= ∑ Sie ,
R	R						i=1
R	R
где K 0 , K –		количество движения системы в начальном
						R	t	R
и конечном положениях; Sie = ∫								Fie dt –	импульс внеш-

ней силы Fie за промежуток времени t ее действия.

dL0

∑ M 0 (Fie ),

i=1

где

= ∑ ri

× miVi

– кинетический момент системы

i=1

О;

относительно

неподвижного

центра

× F e –

векторный момент внешней силы

(F e )= r

относительно центра О.

F e

dLz

= ∑ M 0z (Fie ),

где Lz –

i=1

кинетический момент системы относительно

оси

Оz;

относи-

0 z

(F e ) –

момент внешней силы F e

тельно оси Оz.

T − T

= Ae

+ Ai ,

где Т0, Т – кинетическая энергия системы в ее начальном и конечном положениях; Ae, Ai – сумма работ всех внешних и внутренних сил соответственно.

T – T0 = Ae

Дополнение к табл. 2.6.

1. Кинетический момент тела относительно неподвижной оси Oz вращения:

Loz = Iozωoz,

где Ioz – момент инерции тела относительно оси Oz; ωoz – угловая скорость вращения.

2. Основные формулы для определения кинетической энергии тела: а) при поступательном движении:

T= 1 MVc2 , 2

где М – масса тела, Vc – скорость центра масс;

б) при вращении тела вокруг неподвижной оси Oz:

T= 1 Ioz ω2 ; 2

в) при плоскопараллельном движении:

T =	1	MV 2	+	1	I		ω2 =	1	I		ω2	,

2		c	2			cz	2			pz

где Icz – момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной плоскости движения; ω – угловая скорость вращения тела; Ipz – момент инерции тела относительно мгновенного центра скоростей.

3. Некоторые формулы для расчета работы: а) работа силы тяжести тела:

A = ±PH,

где Р – сила тяжести, Н – высота опускания (+) или поднятия (–) центра масс тела;

б) работа постоянного момента М, приложенного к вращающему телу:

A = ±Mϕ,

где ϕ – угол поворота тела в радианах, знак (+), если направление действия момента совпадает с направлением угла поворота, и знак (–), если не совпадает;

в) работа момента сопротивления качению:

A = −M с.качϕ = − fк NS, r

где fк – коэффициент трения качения; r – радиус цилиндрического катка; N – нормальная реакция опорной поверхности; S – пройденный осью катка путь;

г) работа силы трения скольжения:

A = – FmS = – fNS,

где f – коэффициент трения скольжения.

Таблица 2.7

Метод кинетостатики и принципы механизма

Название метода

кинетостатики

Уравнения метода кинетостатики или принципа

или принципа

Метод кинетоста-

Векторное уравнение равновесия для сил F ,

действующих на матери-

тики для матери-

альную точку, и условно приложенной к ней силы инерции Ф = −mw,

альной точки

имеет вид ∑ Fi + Ф = 0, где m – масса точки, w –

ускорение точки.

Векторные уравнения равновесия для внешних сил системы и сил

Метод кинетоста-

инерции Даламбера, условно приложенных к точкам системы:

F e

+ Φ

= 0, M е + M ф = 0,

где F e

, Φ

– главные векторы внешних

тики для механи-

сил

инерции

материальных

точек

системы

соответственно;

ческой системы

М0е

, М0ф –

главные векторные моменты внешних сил и сил инерции

относительно центра О соответственно.

Уравнение элементарных работ активных сил или общее уравнение

статики:

Принцип возмож-

δБ

= ∑ Fi

= 0,

ных перемещений

δri

=∑ Fi

δri cos Fi

δri

– возможное перемещение точки приложения активной силы F а.

где δr

Уравнение элементарных работ активных сил и сил инерции матери-

Принцип

альных точек механической системы, или общее уравнение динамики:

δБа + δБΦ = ∑ Fiаδri

+ ∑ Φiδri

Даламбера –

Лагранжа

= ∑ Fi

δri cos Fi

, δri + ∑ Φiδri cos Фi δri

= 0.

Таблица 2.8

Простейший вид системы сил инерции частиц тела

Вид движения тела

Простейший вид системы сил инерции частиц тела

		c
		c	Wc
Поступательное	Ф		Wc
Поступательное
движение					Модуль силы инерции тела:
		R			Модуль силы инерции тела:
		Φ = −МWc			Φ = МWс.
		ε	z
		ω
Вращение тела вокруг				вр
Вращение тела вокруг			W	вр
неподвижной оси,		h	с		Ф ц
перпендикулярной		h	c
перпендикулярной		ос	M	Ф
плоскости материаль-		Wс	M
ной симметрии тела

Фвр

							Окончание таблицы 2.8
1					2
	Модули и векторы центробежной и вращательной сил инерции
	тела:					R		R
		Φц = МW oс =			Мω2h,	R		R	,
		Φц = МW oс =			Мω2h,	Φ	ц = −МW oc		,
			с					c
		Φвр = МW		вр = Мεh,		R		R
		Φвр = МW		вр = Мεh,		Φвр = −МW вр.
			с					с
	Модуль и вектор главного момента сил инерции (момента инер-
	ционной пары сил тела):
			M Φ = Icz ε, M Φ = −Icz ε.
					R			R
								R
		ε			Модуль		и	вектор	силы	инерции
		ε			тела
					тела			R		R
								R		R
Плоское движение		M	Ф			Φ =		МWс, Φ = −МWс.
тела. Центр масс дви-		M			Модуль и вектор главного момен-
жется в плоскости ма-	Φ	c		Wc	та сил инерции (момента инерци-
териальной симмет-					онной пары сил тела):
								R		R
рии тела						M Φ = Icz ε, M Φ = −Icz ε.
		z
		3. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Требования к контрольной работе

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке которой студент пишет свой адрес и учебный шифр. При выполнении работы следует переписать условие задачи, сделать аккуратный чертеж, пояснить решение задачи и выполнить предложенные исследования (плохо оформленная работа возвращается без рецензирования).

3.1. Контрольная работа № 1

Состоит из четырех задач по статике. Первая задача (1-1) – на равновесие плоской системы сходящихся сил, вторая (1-2) и третья (1-3) – на равновесие плоской произвольной системы сил, приложенной к одному телу, четвертая (1-4) – на равновесие плоской произвольной системы сил, приложенной к системе связанных (сочлененных) между собой тел.

Номера задач 1-2 из «Сборника задач по теоретической механике» И. В. Мещерского [5] студент найдет по двум последним цифрам своего шифра в табл. 3.2. Условия и данные задач 1-1, 1-3, 1-4 приведены в данных указаниях; по предпоследней цифре шифра (ПрЦШ) студент определяет схему, а по последней (ПЦШ) – числовые данные, приведенные в табл. 3.1, 3.3, 3.4.

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.03.201639 Кб16темы ДП каф.МиМ 2014.docx
#
13.11.201934 Кб15темы ДП каф.МиМ.docx
#
22.09.201974 Кб51Темы ДР на 2011-2012 уч.год.doc
#
09.11.201961 Кб79Темы ДР на 2012-2013 уч.год.doc
#
10.07.2019132 Кб120темы исследоват работ экология.doc
#
02.03.20164 Мб155Теор. Мех. Методическое пособие для КР.pdf
#
01.05.202518 Мб47ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЙ АЭРОБИКА Ш...doc
#
01.05.20251 Мб41Теория и методика физ. культуры.doc
#
16.08.2019190 Кб130Теория перевода 13-16.doc
#
02.03.2016322 Кб424Теория статистики, вопросы(зачет,экзамен) .docx
#
02.03.20162 Мб427Теория Страхования часть 2, 5 курс.rtf