sopromat_1_mu511

1.2. Расчет на прочность статически неопределимой стержневой системы

Задача 2

Абсолютно жесткая балка (показана двойной линией) поддерживается стальными стержнями заданной площади поперечного сечения (рис. 1.4). Подобрать до-

пускаемую нагрузку, приняв допускаемое напряжение [σ]= 160 МПа. Данные взять из табл. 1.2.

Порядок выполнения задачи аналогичен решению примера 2.

10

Пример 2. Произвести указанный в задаче 2, расчет статически неопределимой стержневой системы (рис. 1.4) при следующих исходных данных: F1 = F = = 10см2,

F2= 0,8F = 8 см2, F3 = 0,5F = 5 см2, a = 0,4 м, b = 0,6 м.

Решение

Допускаемая интенсивность распределенной нагрузки q или сила P определя-

ются из условия прочности при растяжении σ = NF ≤[σ], где наибольшее напряже-

ние σ должно быть выражено через нагрузку в общем виде.

Так как абсолютно жесткий стержень ABCD опирается на шарнирно неподвижную опору, где возникают две составляющие реакции Cx и Cy , и поддерживает-

ся тремя стальными стержнями, в которых при действии нагрузки возникают усилия N1 , N 2 и N 3 , то рассматриваемая стержневая система имеет 5 неизвестных, а неза-

висимых уравнений статики для плоской системы можно составить только три. Разность количества неизвестных величин и числа независимых уравнений (5 - 3 = 2)

12

определяет степень статической неопределимости системы. Для нахождения неизвестных надо составить 2 дополнительных уравнения - уравнения совместности деформаций.

Рассмотрим заданную систему в деформированном состоянии под действием нагрузки q (рис. 1.5). Каждая точка абсолютно жесткого стержня перемещается по дуге соответствующего радиуса поворота. Из-за малости углов поворота перемещение по дуге можно заменить перемещением по перпендикуляру к радиусу поворота. Так, точка A перемещается по перпендикуляру к радиусу поворота CA, т.е. перемещается вниз. Упругий стержень, мысленно отсоединенный от жесткой балки, удлиняется на l3 и поворачивается вокруг точки подвески, т.е. точка A′ при повороте перемещается по перпендикуляру к стержню 3 до пересечения с линией AA′, в точке A1 , представляющей положение узла A в деформированном состоянии.

Рис. 1.5

13

Таким же путем находятся положения точек B и D. Проведя прямую A1C (но-

вое положения части ABC абсолютно жесткого стержня), получим деформацию стержня 1 - укорочение BB1 = l1 . Так как левая часть стержня ABCD повернулась против часовой стрелки на угол Δβ, то и правая ее часть повернется на такой же угол. Проводим перпендикуляр DD1 к неизменной по длине части CD. Из точки D1

(новое положение узла D) проводим перпендикуляр на стержень 2 - получаем деформацию стержня 2 - укорочение l2 .

Усилия в стержнях направляем в соответствии с изображенными деформациями: N1 и N 2 - на сжатие, N 3 - на растяжение. Направление реакций Cx и Cy -

произвольно.

Составим уравнения равновесия:

14

Решая совместно уравнения (1.1), (1.2) и (1.3), т.е. подставляя (1.2) и (1.3) в уравнение (1.1), получим

0,6N1 + 0,8 1,422 N1 + 0,866 0,417 N1 = 0,5q, т.е. 2,1N1 = 0,5q , откуда N1 = 0,24q , а

Задача 3

Для заданной стальной (модуль упругости E = 2 105 МПа, температурный коэффициент линейного расширения α =1,25 10−5 град-1) статически неопредели-

мой системы требуется определить температурные напряжения при нагревании (ох-

лаждении) одного из стержней на t 0 C (стержень, указанный двойной линией, -

абсолютно жесткий). Данные взять из табл. 1.3.

15

Рис. 1.7

Рис. 1.8.

Точки A и B абсолютно жесткой балки ACB перемещаются по дугам, радиусы которых AC и BC. Так как перемещение намного меньше по сравнению с длиной радиуса поворота, то дуги заменяем перпендикулярами, проведенными к первоначальному положению радиуса поворота. Проведя перпендикуляр к деформированному

18

стрежню 2 до пересечения с перпендикуляром к левой части AC абсолютно жесткого стержня, получим точку A1 , т.е. новое положение узла A. Затем изображаем новое положение A1CB1 абсолютно жесткого стержня ACB. Тогда BB1 = l1 .

Усилия в стержнях направляем в соответствии с изображенными деформациями: N 2 - на сжатие, а N1 - на растяжение. Реакции Cx и Cy направляем произ-

вольно.

Составляем одно уравнение равновесия:

Уравнение (1.4) содержит два неизвестных, поэтому задача один раз статически неопределима, и, следовательно, надо составить дополнительно одно уравнение совместности деформаций стержней системы.

19