Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1331 вуз, 5514 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Университет таможенного дела и финансов
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Математика для економістів Заоч. 2010 ч.1

.pdf
Скачиваний:
28
Добавлен:
04.03.2016
Размер:
6 Мб
Скачать
☆

 

 

Теорема. Якщо un

vn при будь-якому n, то із збіжності ряду

vn

випливає

збіжність ряду un , а із розбіжності ряду

 

 

 

 

 

un випливає розбіжність ряду

vn .

 

 

 

Також використовується наступна ознака збіжності:

 

 

 

 

 

 

Теорема. Якщо un

0,

vn

0 і існує границя lim

un

h , де h – число, відмінне від

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

vn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нуля, то ряди

un

і

vn є або одночасно збіжними або одночасно розбіжними.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ознака Даламбера

 

 

 

 

 

 

 

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французький математик)

 

 

 

Якщо існує границя

lim

un

1

 

 

 

, то при

< 1 ряд збігається, а при

> 1 –

 

un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

розбігається. Якщо = 1, то ряд може бути як збіжним так і розбіжним.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ознака Коші

 

 

 

 

 

 

Якщо існує границя

 

 

 

 

 

, то при

<1 ряд збігається, а при

>1 ряд

 

 

lim n un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

розбігається.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Інтегральна ознака Коші

 

 

 

 

 

 

Якщо (х) – неперервна знакододатня функція, яка спадає на проміжку [1;

),

то ряд (1)+

(2)+ …+ (n)+ …=

 

 

 

(n)

 

і невласний інтеграл

(x)dx одинакові в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

характері збіжності.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклади

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Дослідити ряд на збіжність:

1

 

2

 

 

 

3

...

 

 

 

 

n

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

5

 

8

 

 

 

3n

1

 

 

 

 

 

Розв'язок. Знайдемо

lim

n

 

 

 

 

lim

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

-

 

необхідна ознака

збіжності

не

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3n

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

виконується, отже ряд є розбіжним.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Дослідити ряд на збіжність:

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

...

1

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 2

ln 3

 

ln n

 

 

 

 

Розв'язок. Так як

1

 

 

1

,

а гармонічний ряд

1

 

розбіжний, то розбіжним є і ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Дослідити ряд на збіжність:

 

 

1

 

.

 

 

n 1

n2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв'язок. Так як

1

 

1

, а ряд

1

 

є збіжним, то ряд

1

також збігається.

 

 

 

 

 

n2n

 

n2n

 

2n

2n

 

 

 

n 1

 

4. Дослідити ряд на збіжність:

 

 

n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

2n

 

 

 

Розв'язок. Застосуємо ознаку Даламбера:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

n

 

 

 

n 1

 

 

un 1

 

(n 1)2n

 

n 1

 

 

 

u

 

;

u

 

;

lim

lim

 

 

n

 

n

2

n

n 1

2

n 1

 

un

2

n 1

n

 

2n

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, ряд є збіжним.

5. Дослідити ряд на збіжність: 1

1

 

1

...

1

 

...

 

 

 

 

 

 

1!

2!

n!

 

 

 

Розв'язок. Застосуємо ознаку Даламбера:

u

 

1

 

; u

 

1

 

; lim

un 1

lim

 

n!

lim

1

 

0 1

n

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

(n 1)!

n

un

n

(n

1)!

n

n

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, ряд є збіжним.

 

2n 2

1

n

6. Дослідити ряд на збіжність:

 

 

.

3n 2

5

n 1

 

Розв'язок. Застосуємо ознаку Коші:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

2n2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

lim n u

n

lim

lim

 

 

 

3n

2

5

 

 

 

5

 

n

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

2

 

2

1

 

3

 

Висновок: ряд є збіжним.

7. Дослідити на збіжність ряд

1

2

3

4

...

 

 

 

 

 

 

 

2

22

23

24

 

І спосіб Для розв‟язання даного прикладу використовуємо ознаку Даламбера:

Lim

un

1

 

 

k , при k > 1 ряд розбіжний, при k < 1 ряд збіжний

un

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

un

 

n

 

 

;

un 1

n 1

 

2n

 

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1 * 2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Lim

1

 

Lim

 

2n 1

 

Lim

 

 

Lim

 

n n

, ряд збіжний.

un

 

 

 

 

n

n * 2

n 1

 

 

 

 

 

n

2

n

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ІІ спосіб

 

 

 

 

 

Для розв‟язування даного прикладу використовуємо радикальну ознаку Коші:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lim n u

n

k;

при k > 1 ряд розбіжний , при k < 1 ряд збіжний.

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

Lim

1

n

 

 

 

1

- ряд збіжний.

 

 

Lim n u

n

Lim n

n

 

 

2n

 

 

 

 

n

 

 

 

n

n 2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання

1. Дослідити на збіжність ряди:

В. 1

 

 

 

n n 1

 

n

 

 

 

 

3n 1

 

 

 

 

5n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1.

4

 

 

 

 

 

 

;

2.

 

 

 

 

 

 

; 3.

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

n

4n 1

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 2 n

 

ln n

 

 

 

 

B. 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

(n

1)!

 

3.

 

 

2n2

1

n

; 4.

 

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

;

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

3

 

 

 

 

 

n 1 2n 5

 

n 1

 

3n

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B. 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

;

2.

 

 

 

 

nn

 

; 3.

 

 

 

 

arctg

n 1

; 4.

 

 

2n 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

(n 1) ln3 (n 1)

 

n 1 2n 1

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n 1 3n 1

 

 

 

 

B. 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12n 1

 

 

 

 

 

 

e

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; 2.

 

; 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; 4.

 

 

 

 

.

 

 

(n

1)tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1 arccos

 

 

 

2n

1

 

3n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n 1

n 1

 

n 1

 

 

n

 

B. 5

 

 

 

 

2n

1

 

 

; 2.

 

arctg n n; 3.

 

 

1

 

; 4.

1

1

n

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 11 3 5

(2n 1)

n 1

 

 

 

n 2 n ln2 n

n 1

n

 

 

 

 

B. 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

n

 

 

2 4 2n

 

 

 

n

1

 

 

 

 

1

 

1.

 

 

; 2.

 

 

 

 

; 3.

n 1 arcsin

 

 

; 4.

n 1 ln e

 

 

.

n 1 5

n3

n 1 n

1

 

 

2n

 

n

Питання для самоконтролю

17.Що називається числовим рядом? Що називається загальним членом ряду?

Навести приклади.

18.Який ряд називається збіжним? Що називається його сумою? Який ряд називається розбіжним? Навести приклади.

19.Сформулювати та довести необхідну ознаку збіжності ряду. У чому полягає найпростіша достатня ознака розбіжності. Навести приклади.

Тема 14. Ряди та їх застосування

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати знакозмінні ряди, умови абсолютної та умовної збіжності рядів. Також вивчити поняття степеневих рядів, визначати радіус та інтервал збіжності степеневого ряду. А

також застосування степеневих рядів до наближених обчислень.

План заняття

1.Знакозмінні ряди. Ознака Лейбниця.

2.Абсолютна і умовна збіжність рядів.

3.Ознаки Даламбера і Коші для знакозмінних рядів.

4.Функціональні ряди. Степеневі ряди.

5.Розвинення функції в степеневий ряд.

Методичні рекомендації до практичного заняття

 

 

 

 

 

 

 

Знакозмінні ряди

 

 

Нехай маємо ряд

 

 

un ,

в якого є як додатні, так і від‟ємні члени. Такі ряди

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

називаються знакозмінними.

 

 

 

 

 

 

 

 

Серед знакозмінних рядів відокремлюють знакопочережні ряди, тобто ряди, в

яких додатні та від‟ємні члени чергуються.

 

 

 

 

Знакопочережний ряд можна записати у вигляді:

 

 

u

u

2

u

3

u

4

... ( 1)n 1 u

n

... , де u

n

0, n 1,2,3,... .

1

 

 

 

 

 

 

Ознака Лейбниця

Якщо

у знакопочережного

ряду u

u

2

u

3

u

4

... ( 1)n 1 u

n

...

абсолютні

 

 

1

 

 

 

 

 

 

величини ui

спадають u1 u2 u3 ...

і загальний член прямує до нуля un

 

0 , то ряд є

збіжним.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Абсолютна і умовна збіжність рядів

 

 

 

 

 

 

Розглянемо деякий знакозмінний ряд u1

u2

...

un ...

un

(1) і ряд, складений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

із абсолютних величин членів цього ряду

u1

 

u2

...

 

un

...

 

un

 

(2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

Теорема. Із збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1).

 

 

 

 

 

Означення. Ряд un називається абсолютно збіжним,

якщо збігається ряд

 

un

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Означення. Ряд un називається умовно збіжним, якщо він збігається, а ряд

un розбігається.

Ознаки Даламбера і Коші для знакозмінних рядів

Ознака Даламбера. Нехай un - знакозмінний ряд. Якщо існує границя

lim

 

un 1

 

 

, то при

<1 ряд

un буде абсолютно збіжним,

а при >1 ряд буде

un

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

розбіжним. При =1 ознака не дає відповіді щодо збіжності ряду.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ознака Коші.

Якщо існує границя lim n

 

un

 

, то при

<1

ряд

un буде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

абсолютно збіжним, а при >1 ряд буде розбіжним. При

=1 ознака не дає відповіді

щодо збіжності ряду.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функціональні ряди

 

 

 

 

 

 

Означення. Якщо членами ряду будуть не числа, а функції від х, то ряд

називається функціональним.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дослідження на збіжність функціональних рядів складніше ніж дослідження

числових

рядів. Один і той

самий функціональний

ряд може

при

однакових

значеннях змінної x збігається, а при інших – розбігається. Тому питання збіжності

функціональних рядів зводиться до визначення тих значень змінної x , за яких ряд збігається.

Сукупність таких значень називається областю збіжності.

Степеневі ряди

Означення. Степеневим рядом називається ряд вигляду

 

 

 

 

 

 

 

a

0

a x

 

a

x2

... a

n

xn ...

a

n

xn .

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Абеля

 

 

 

 

 

 

(Нільс Хенрік Абель (1802 – 1829) – норвезький математик)

Теорема. Якщо степеневий ряд

 

 

 

 

 

 

 

a

0

a x

a

x2

... a

n

xn ...

a

n

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

збігається при x = x1 , то він збігається і д отого абсолютно для всіх xx1 .

Наслідок. Якщо при х = х1 ряд розбігається, то він розбігається для всіх xx1 .

Таким чином, для кожного степеневого ряду існує таке додатне число R, що при всіх х таких, що x R ряд абсолютно збігається, а при всіх x R ряд розбігається. При цьому число R називається радіусом збіжності. Інтервал (-R, R)

називається інтервалом збіжності.

Радіус збіжності може бути знайдено за формулами:

R lim

an 1

 

або R

lim

 

1

 

.

an

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розвинення функцій в степеневі ряди Розвинення функцій в степеневий ряд має велике значення для розв‟язку різних

задач дослідження функцій, диференціювання, інтегрування і т.д. Задача відшукання за заданою функцією f степеневого ряду, для якого f є його сумою, називається задачею розвинення функції в степеневий ряд.

Припустимо, що функція f у точці x0

має похідні всіх порядків. Тоді можна

побудувати степеневий ряд

 

an (x

x0 )n ,

n 1

 

 

 

де a

 

 

f (n) (x0 )

.

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Такий ряд називається рядом Тейлора функції f . Уразі, коли x0 0 , ряд

 

 

 

 

 

 

 

a

n

xn ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

де a

 

 

f (n) (0)

 

називають рядом Маклорена.

 

 

n

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У разі розвинення функції в степеневий ряд коефіцієнти ряду Тейлора відшукують, використовуючи п‟ять основних розвинень:

1)

e x

 

 

x n

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1 n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

cos x

(

 

1)n

 

 

x 2n

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

(2n)!

 

 

 

 

 

 

3)

sin x

(

 

1)n

1

x 2n 1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

(2n

1)!

 

 

 

 

4)

ln(1

x)

 

(

1)n 1

 

x n

;

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

(1

x)

1

 

 

C n xn , C n

(

1)...(

(n 1))

.

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклади

1. Знайти радіус збіжності степеневого ряду та дослідити його поведінку на границі інтервалу збіжності:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3x 32 x 2 33 x3 ...

 

 

3n 1 x n 1 ...

Розв’язок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lim

 

 

an 1

 

Lim

3n

 

 

3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

3

n

1

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

1

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд збіжний абсолютно для усіх значень

1

x

1

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дослідити поведінку ряду на границі інтервалу збіжності x 13 .

Підставимо в поданий ряд x 13 , маємо: 1-1+1-1+… цей ряд розбіжний, тому

що не виконується необхідна умова збіжності ряду lim un 0.

n

Тепер підставимо в поданий ряд x 13 , маємо: 1+1+1+1+… оскільки не виконується необхідна умова збіжності, цей ряд також розбіжний.

Завдання

Визначити, які знакозмінні ряди збігаються абсолютно, умовно або розбігаються:

 

 

 

 

 

 

(

 

1)n

 

 

 

 

 

 

 

(

1)n

 

 

В. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (n

1)!

 

 

 

 

 

n

1 2n

1

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

(

1)n n

;

 

 

 

 

 

(

1)n

 

 

В. 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

n 2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

n 1 2n3

1

 

 

n ln n

 

 

B. 3

 

 

 

 

 

(

 

 

1)n tg

 

 

;

2.

 

 

(

1)n

.

 

 

 

 

 

 

 

n

2

n

1 (n

1)3

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

1)n n2

 

 

 

 

 

 

 

( 1)n 3n

B. 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

2.

n 1

 

 

 

 

.

 

 

 

 

n 1

 

 

3n

 

 

 

 

4n 1

 

 

 

 

(

1)n

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

1)n

 

 

B. 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

n 2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n ln4 n

n 1

 

4n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

1)n

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin n

 

 

B. 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. n

1

 

.

 

 

n 1 ln(n

1)

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

Степеневі ряди

1. Знайти область збіжності степеневих рядів

В 1.

10x 100x2

 

...

10n xn ....

В 2.

x

 

 

x2

 

 

x3

 

...

 

xn

 

....

 

 

 

 

 

20

 

30

 

n 10n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 3.

1

 

x

 

2!x2

 

 

...

n!xn ... .

В 4. 1

 

2x2

4x4 ...

2n 1 x2(n 1) ....

 

 

 

В 5.

1

1

 

x

2

 

x

2

...

 

n

x

n

... .

В 6. x

1

 

 

x

3 1

 

x

5

...

 

( 1)n 1

x

2n 1

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

 

2!

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

3 3!

 

5 5!

 

 

 

(2n 1) (2n 1)!

 

 

 

 

 

2. Розкласти задані функції по степенях х за допомогою формули Маклорена:

 

 

В 1.

f (x)

 

 

ex

1

,

 

 

В 2.

f (x)

sin

x

,

 

В 3.

f (x)

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 4. f (x) x ln(1 x2 ) , В 5. f (x)

1 x2 , В 6. f (x) 3 8 x3

Питання для самоконтролю

1. Сформулювати та довести такі достатні ознаки збіжності: ознаки порівняння,

граничну ознаку порівняння; ознаки Д‟Аламбера і Коші; інтегральну ознаку Коші.

Для яких рядів застосовані ці ознаки?

2.Сформулювати та довести ознаку Лейбниця. Для якого ряду застосована ця ознака?

3.Чому не можна досліджувати за ознакою Лейбниця на збіжність ряд.

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

un

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1 * 2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Lim

1

Lim

 

2n 1

Lim

Lim

 

n n

un

 

 

 

n

n * 2

n 1

 

 

 

n

2

n

 

n

 

n

n

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

4.У чому полягає наслідок із ознаки Лейбниця?

5.Сформулювати та довести достатню ознаку збіжності знакозмінного ряду.

6.Дайте визначення степеневого ряду.

7.Сформулюйте теорему збіжності степеневого ряду (теорема Абеля)

8.Як знайти радіус збіжності степеневого ряду.

9.Які властивості степеневого ряду?

10.Теорема про єдиність розкладу функцій в степеневі ряди.

11.Запишіть формулу Маклорена.

12.Запишіть формулу Тейлора.

13.Розкладання елементарних функцій в ряди Маклорена.

Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість опанувати прості і складні відсотки у фінансових розрахунках, вивчити поняття необхідної відсоткової ставки, дисконтування, неперервних відсотків. Зокрема, еквівалентність простих і складних відсотків, розрахунок номінальної ставки і ставки ефективності.

План заняття

1.Формула нарощування за простими процентами.

2.Формула нарощування за складними відсотками.

3.Дисконтування та облік.

4.Номінальна і ефективна ставки процентів.

5.Нарахування процентів в умовах інфляції.

6.Фінансові ренти.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Формула нарощування за простими процентами Під нарощеною сумою суди 9боргу, депозиту) розуміють її початкову суму

разом із нарахованими на неї відсотками к кінцю строку. Нехай P - початкова сума грошей, i - ставка простих процентів, тоді формула нарощування за простими процентами за n періодів запишеться у вигляді:

S P(1 ni) .

Процентні ставки не залишаються незмінними в часі, тому в кредитних угодах іноді передбачають дискретно змінні в часі процентні ставки. В цьому випадку формула розрахунку нарощеної суми має вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

S

P(1

ntit ) ,

 

 

 

 

 

 

t 1

де

 

P -

початкова сума грошей, it

- ставка простих процентів в періоді з номером

 

 

n - тривалість t періоду нарахування за ставкою it .

t

 

1, m

,

 

 

 

 

Дисконтування та облік

 

 

 

На практиці часто доводиться розв‟язувати задачу, обернену нарощуванню

відсотків, коли по заданій сумі S ,

що відповідає кінцю фінансової операції, потрібно

знайти

початкову суму P , цей

розрахунок

називають дисконтуванням суми S .

Проценти у вигляді різниці D S

P називаються дисконтом, або знижкою. Процес

нарахування або утримання процентів наперед називають обліком.

 

 

 

Формула дисконтування:

 

 

 

 

 

 

 

 

P

S (1

in) ,

де вираз 1 (1 in) називається дисконтним множником.

 

 

 

При розрахунку процентів при обліку векселів застосовується облікова ставка,

яку позначають d .

 

 

 

 

 

 

Проста річна облікова ставка знаходиться за формулою

 

 

 

 

 

d

(S

P)Sn .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности