04_Магнетизм

∫J dl = I′,

L

∫J dl = ∑Imi .

Циркуляция намагниченности по произвольному контуру равна алгебраической сумме молекулярных токов, охватываемых этим контуром.

Обозначим:

jm′ – вектор плотности молекулярного тока. Запишем:

I′ = ∫ jm′ dS ,

S

∫J dl =∫ jm′ dS,

L S

∫J dl =∫rotJ dS,

L S

∫rotJ dS =∫ jm′ dS.

S S

Поскольку поверхность S взята произвольно, то:

rotJ = jm′ .

Ротор намагниченности в некоторой точке равен вектору плотности молекулярных токов в этой же точке. Для однородной намагниченности можно записать:

J(x, y,z)= const ,

rotJ = 0 , jm′ = 0 .

Напряженность магнитного поля

Пусть магнетик находится в постоянном магнитном поле, создаваемом токами, текущими в проводниках.

61

Токи, текущие по проводникам, называются токами проводимости. Проведем контур L и запишем для циркуляции

Первое слагаемое есть алгебраическая сумма сил токов проводимости, второе – алгебраическая сумма сил молекулярных токов в магнетике.

Запишем для циркуляции намагниченности:

∫J dl = ∑Imi ,

Обозначим:

Hr = B − rJ . µ0

ВекторH называется напряженностью магнитного поля. Для него получено выражение:

∫H dl = ∑Ii .

62

Циркуляция напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме сил токов проводимости, охватываемых этим контуром.

Если ток распределен в среде с плотностью j , то:

∫H dl =∫ j dS.

L S

Запишем теорему Стокса для вектора H :

∫H dl = ∫rotH dS .

L S

Далее:

∫rotH dS = ∫ j dS ,

S S

rotH = j .

Ротор напряженности магнитного поля в некоторой точке равен вектору плотности тока проводимости в этой же точке.

Модуль вектора H имеет следующую единицу измере-

ния:

H, Ам .

Магнитная проницаемость

J = κH .

Величина κ называется магнитной восприимчивостью вещества.

Запишем:

Hr = B − rJ , µ0

63

B = µ0µH , B = µ0µH .

Величина µ называется магнитной проницаемостью ве-

щества.

Видно, что κ и µ не имеют размерности. В вакууме (воздухе):

κ = 0, µ =1,

B = µ0 H ,

B = µ0 H .

Магнетики, для которых κ и µ не зависят от напряженности магнитного поля, называются парамагнетиками, еслиκ > 0 и диамагнетиками, если κ < 0 .

При этом:

κ ≈ 0 , µ ≈1.

Кроме того, существуют магнетики, для которых величины κ и µ являются функцией напряженности магнитного

поля. Такие вещества называются ферромагнетиками. Для ферромагнетиков:

J = J(H),

B = µ0µ(H)H .

Для ферромагнетиков µ есть нелинейная функция H и величина µ может быть много больше единицы.

64

Значение µ можно найти из кривой зависимости

B = B(H):

B = µ0µH ,

65

Условия на границе двух магнетиков

1. Граничные условия для вектора B

Рассмотрим два магнетика, имеющих общую поверхность. Вблизи поверхности по обе стороны от нее построим прямой цилиндр с основаниями ∆S и высотой h , причем h → 0 .

Запишем теорему Гаусса для вектора B :

66

∫B dS = 0 ,

При h → 0 второй интеграл стремится к нулю: h → 0 ,

Sбок → 0 ,

rr

∫B dS = 0 ,

Sбок

− ∫B1n dS + ∫B2 n dS = 0 ,

∆S ∆S

− B1n ∆S + B2 n ∆S = 0 ,

B1n = B2 n .

При переходе через границу раздела двух магнетиков нормальная составляющая магнитной индукции не изменяется.

2. Граничные условия для вектора H

Построим контур L в виде прямоугольника со сторонами a и b , причем b → 0 . Сторона a параллельна границе раздела магнетиков.

67

Пусть вдоль границы раздела магнетиков в направлении, перпендикулярном плоскости контура, течет ток проводи-

мости с линейной плотностью i A .

м

Запишем теорему о циркуляции вектора H :

∫H dl = I ,

H2 dl2 = H2 rτ2dl = H2 (−rτ)dl = = −Hr2rτdl = −H2τdl.

Здесь:

68

H1τ , H2τ – проекции векторов H1 и H2 на направление вектора

rτ, проведенного, как показано на рисунке,

I = −(i a).

Знак минус обусловлен направлением тока i и направлением обхода контура L . Второй и четвертый интегралы вычисляются по сторонам контура длиной b . При b →0 эти интегралы также стремятся к нулю.

Запишем:

∫H1τdl − ∫H2τdl = −ia .

a a

При малом значении a можно полагать, что:

H1τ = const , H2τ = const ,

H1τ a - H2τ a = −i a , H1τ - H2τ = −i ,

H2τ - H1τ = i .

Если токи проводимости отсутствуют или не пересекают контур

L , то:

i = 0 ,

H2τ - H1τ = 0 .

H1τ = H2τ .

При переходе через границу раздела двух магнетиков тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля не изменяется.

3. Преломление линий вектора B

Рассмотрим векторы магнитной индукции вблизи поверхности раздела двух магнетиков.

69

Запишем:

tgα1 = BB1τ ,

1n

70