03_Электричество
.pdf
U1 = U2 = ... = Ui = ... = UN .
R = |
R1 R 2 |
. |
|
||
|
R1 + R 2 |
|
3. Внутренне сопротивление источника э.д.с.
В общем случае источник э.д.с. имеет электрическое сопротивление, которое называется сопротивлением источника э.д.с.
4. Закон Ома для замкнутой цепи
Запишем для участка цепи для замкнутой цепи:
I = U12 ,
R12
∑εi
I = iR .
Здесь
R12 , R - суммарное сопротивление цепи с учетом внутреннего сопротивления источников э.д.с.
Например
∑εi
I = iR .
Выберем направление тока (произвольно)
∑εi = ε1 −ε2 ,
i
101
R = ∑R i = R 0 + r1 + r2 ,
i |
|
|
|
|
|
|
I = |
|
ε1 −ε2 |
. |
|||
R |
0 |
+ r |
+ r |
|||
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
||
5. Температурная зависимость сопротивления
Из опыта известно, что удельное сопротивление ρ зависит от температуры материала проводника
ρ = ρ0 (1+ αt),
ρ0 - удельное сопротивление при 00 C ,
t - температура в 00 C ,
α- температурный коэффициент сопротивления.
Разветвленные цепи
Точка, в которой сходится более чем два проводника, называется узлом.
Ток, текущий к узлу считается имеющим один знак (+ или -), ток текущий от узла считается имеющим другой знак (+ или -). Из закона сохранения заряда следует первое правило Кирхгофа.
Алгебраическая сумма сил, сходящихся в узле равна нулю
∑(±)Ik = 0 .
k
Например
I1 + I2 − I3 = 0 .
Рассмотрим выделенный в цепи замкнутый контур. Запишем для каждого участка закон Ома.
I1R1 =ϕ1 −ϕ2 −ε1 ,
I2 R 2 =ϕ2 −ϕ3 −ε2 ,
I3R3 =ϕ4 −ϕ3 −ε3 (−1)
I4 R 4 =ϕ4 −ϕ1 +ε4 .
102
Умножим 3 уравнение на (-1) и сложим вместе
I1R1 + I2 R 2 − I3R 3 + I4 R 4 = −ε1 −ε2 + ε3 + ε4 .
Уравнение выражает 2-е правило Кирхгофа
∑(±)Ik R k = ∑(±)εi .
k |
i |
Сумма произведений алгебраических значений сил токов на сопротивление соответствующих участков каждого из замкнутых контуров равна сумме алгебраических значений э.д.с. в каждом замкнутом контуре.
Сначала произвольно выбираем направление обхода контура, при этом
1.ток, текущий в направлении обхода считается положительным, ток текущий в направлении противоположном направлению обхода считается отрицательным.
2.э.д.с. считается положительной, если она действует в направлении, совпадающим с направлением обхода и отрицательной в противном случае. Итак, эд.с. считается положительной, если при движении по контуру в выбранном направлении первым встречается отрицательный полюс источника. Если же первым встречается положительный полюс источника, то э.д.с. считается отрицательной.
Закон Ома в дифференциальной форме
103
|
Рассмотрим электрический ток |
|
в однородном проводнике, в котором |
|||||||||||
создано электрическое поле напряженностью E . Носители упорядоченного |
||||||||||||||
движения в направлении поля E , следовательно, направление векторов E , ско- |
||||||||||||||
рости упорядоченного движения U и вектора плотности тока j совпадают. |
||||||||||||||
r |
Выделим объем проводника в виде цилиндра с образующей параллельной |
|||||||||||||
и E и основанием перпендикулярном этим векторам. Обозначим длину ци- |
||||||||||||||
j |
||||||||||||||
линдра dl , площадь основания dS . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Запишем закон Ома для выделенного участка |
|||||||||||||
|
|
dI = |
dU |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Далее |
|
dR |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dI = jdS, |
|
|||||||||||
|
dU = −dϕ + dε, dε = 0 , |
|
|
E = − |
dϕ |
|
, −dϕ = Edl , |
|||||||
|
|
|
|
dl |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dU = Edl , |
|
dR = ρ |
dl |
, |
|||||||||
|
|
dS |
||||||||||||
|
|
E dl dS |
|
|
|
|
||||||||
|
jdS = |
, j = |
1 |
E . |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ρdl |
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|||
|
С учетом направлений векторов j и E запишем |
|||||||||||||
|
|
r |
1 r |
|
||||||||||
|
|
j = |
|
|
E . |
|
||||||||
|
|
ρ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если на участке действуют и сторонние силы, то rj = ρ1 (Er + Erст ). ( )
Это закон Ома в дифференциальной форме.
Ток в среде
Электрический ток может существовать не только в проводах, но и в среде: почве, массивной металлической пластинке. Сопротивлением среды называется величина, равная отношению разности потенциалов между подводящим ток проводниками к силе тока в проводниках.
R = UI .
104
Рассмотрим однородную среду с погруженными в нее электродами, между которыми течет ток. Запишем
rj = ρ1 Er .
Проведем замкнутую поверхность S , окружающую один из электродов и запишем для силы тока.
|
r |
r |
= ∫ |
1 r |
r |
|
I = ∫ jdS |
ρ |
E dS, |
||||
S |
|
|
S |
|
|
|
|
ρ = const , |
|
||||
I = |
1 |
r |
r |
|
( ) |
|
∫E dS. |
||||||
|
ρ |
S |
|
|
|
|
Теперь предположим, что среда удалена, а электроды образуют обкладки конденсатора с разностью потенциалов равной U . Запишем
q = CU ,
где C -электроемкость конденсатора. По теореме Гаусса
r |
r |
q |
∫E dS = |
ε0 |
|
S |
|
|
Из теоремы единственности следует, что заданная разность потенциалов между заданными электродами однозначно определяет напряженность поля.
Следовательно, напряженность поля в среде с током ( ) совпадает с напряженностью поля в вакууме между теми же электродами при той же разности потенциалов ( )
I = 1 q = CU .
ρ ε0 ρε0
Отсюда
R = UI = ρεC0 ,
R = ρεC0 .
105
Заземление
Пусть электроды A и B погружены в землю и представляют сферы радиусами r0 . Расстояние между электродами равно d .
Пусть ось x проходит через центры шаров и начало оси совпадает с электродом A . Пусть электроды представляют конденсатор с зарядом q . Напряженность поля в точке x равна
E = E+ + E− |
|
= |
|
|
|
q |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
4πε0 x 2 |
|
|
4πε0 (d − x)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Разность потенциалов между электродами равна |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫B dϕ = −∫Edx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(ϕB −ϕA ) |
= −∫Edx , |
U =ϕA −ϕB , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
d−r |
dx |
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
d−r |
dx |
|
|
|||||||||||||
U = ∫Edx = |
|
|
|
|
|
∫0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
0 |
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(d |
− x) |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
4πε0 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πε0 r |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
d−r0 |
= |
|
|
|
|
|||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4πε0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(d − x) r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4πε |
|
|
|
|
d − r |
|
|
|
r |
r |
|
|
d − r |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
U = 4πε |
|
|
|
|
|
|
− d |
− r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
r |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
U = 2πε |
|
|
|
|
|
|
− d |
− r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
r |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть выполняется условие d >> r0 .
106
Тогда
|
|
U = |
|
|
q |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
2πε |
0 |
r |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть S - поверхность, охватывающая электрод A , тогда |
|||||||||||||||||
r |
r |
1 r |
|
r |
= |
1 |
|
|
r |
r |
q |
, |
|||||
I = ∫ jdS = ∫ |
ρ |
E dS |
ρ |
∫E |
dS = |
ρε |
|||||||||||
S |
S |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
q = Iρε0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
U = |
|
Iρε0 |
|
|
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
2πε |
0 |
r |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = |
U |
= |
|
|
|
ρ |
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
2π r |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
Для уменьшения R при заземлении нужно увеличивать r0 и уменьшать удельное сопротивление ρ среды. Для этой цели используют электрод большого размера и погружают его глубоко в землю, где ρ значительно меньше.
Мощность тока
Пусть на некотором участке цепи падение напряжения равно U . Пусть за время dt через этот участок переносится заряд dq .
При этом над зарядом совершается работа dA = dqU .
Запишем
dq = Idt ,
dA = IUdt ,
где I - сила тока на участке цепи.
Работа, совершаемая за время t , находится интегрированием
A = ∫dA =∫t IUdt ,
0
A = ∫t IUdt .
0
Работа, совершаемая в единицу времени или мощность равна
P = dAdt ,
P = UI , Джс = Вт.
107
Величина P называется мощностью тока. Запишем
dA = Pdt ,
A = ∫t Pdt .
0
Для постоянного тока
I = const , U = const , A = IUt , P = IU , A = Pt .
Закон Джоуля – Ленца
Пусть вся работа, совершаемая током, идет на увеличение внутренней энергии проводника, по которому течет ток
A = Q ,
где Q - количество теплоты, выделяющееся в проводнике при протекании по нему тока
Q = ∫t IUdt .
0
Для постоянного тока
I = const , Q = IUt ,
U = IR ,
I = UR ,
Q = I2 Rt , Q = U2 t . (*) R
Выражение ( ) представляет закон Джоуля - Ленца.
Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме
Выделим элемент проводника по которому течет ток, в виде цилиндра с основаниями dS и длиной dl . Основание dS перпендикулярно направлению векторов j и E .
108
Запишем для элемента выражение, определяющее количество теплоты dQ , выделяющееся за время dt , при протекании тока dI
dQ = (dI)2 dRdt ,
где dR -сопротивление элемента проводника. dI = jdS,
dR = ρdSdl ,
dQ = (jdS)2 ρdSdl dt = j2 (dS)2 ρdSdl dt = j2ρdSdldt = ρj2dVdt , dQ = ρj2 dVdt , Дж
где ρ -удельное электрическое сопротивление проводника, dV -объем элемента проводника.
Разделим на dt
dQdt = ρj2 dV , Джс = Вт, dQdt - это энергия, выделяющаяся в объеме dV за 1 с.
Разделим обе части на dV
dtdVdQ = ρj2 , мВт3 .
Обозначим
dtdVdQ = QV ,
QV = ρj2 , сДжм3 = мВт3 ,
QV - энергия, выделяющаяся в единицу времени в единице объема проводника
или тепловая мощность в единице объема проводника. Запишем
|
2 |
rr r |
1 r |
r r |
|
QV = ρj |
|
= ρjj = ρj j = ρj |
|
E = |
j E , |
|
ρ |
||||
|
|
|
|
|
|
QV = j E ,
109
rj = ρ1 Er ,
QV = ρ1 Er Er = ρ1 E2 , QV = ρ1 E2 .
Выражение для QV есть закон Джоуля – Ленца в дифференциальной
форме.
Если на участке действуют и сторонние силы, то
QV = j(E + Eст ).
Подвижность носителей тока
Запишем для плотности тока
j = q0+n + U+ + q0− n −U− , j = ρ1 E ,
ρ1 E = q0+n +U+ + q-0 n- U- ,
1 |
= q0+n + |
U+ |
+ |
|
q0− |
|
n − |
U− |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||
ρ |
|
E |
|
|
|
|
|
E |
||
Отношение скорости упорядоченного движения носителей тока к напряженности электрического поля называется подвижностью носителей.
µ = |
U |
, |
м |
= |
м2 |
. |
|
E |
|
с В м |
|
В с |
|
Для положительных и отрицательных носителей:
µ+ = |
U+ |
, |
µ- = |
U- |
, |
|
E |
E |
|||||
|
|
|
|
ρ1 = q0+n +µ+ + q0− n −µ− .
Запишем также
U+ = µ+E ,
U− = µ−E ,
j = (q0+n +µ+ + q0− n −µ− )E .
110