01_Физические_основы_механики

Обозначим

n

Iz = ∑mi ri 2 , кг м2 .

i=1

Суммирование идет по всем частицам тела.

Скалярная величина, равная сумме произведений масс частиц системы на квадрат расстояний этих частиц до некоторой оси, называется моментом инерции системы относительно этой оси

Если ось вращения неподвижна в пространстве, то

I z = const .

Продифференцируем по t

Момент внешних сил относительно некоторой оси равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на проекцию углового ускорения вращения тела на ту же ось

100

M = Iε .

Это основное уравнение динамики вращения твердого тела

вокруг неподвижной оси.

6.2. Вычисление моментов инерции

По определению

Вычислим момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню.

а)

б)

Рис. 6.2 (а, б). Вычисление момента инерции стержня

101

I = ml3 2 .

Рассмотрим еще несколько случаев. Ось проходит через середину стержня перпендикулярно ему. Длина стержня l, масса m. В этом случае

I = ml 2 .

12

Ось z проходит через центр диска радиуса R и массой m перпендикулярно плоскости диска. Момент инерции диска равен

I = mR2 2 .

Отметим, что момент инерции не зависит от толщины диска b.

Рис. 6.3. Вычисление момента инерции диска

Ось z проходит через центр шара радиуса R и массой m. Момент инерции шара равен

I = 52 mR2 .

102

Рис. 6.4. Вычисление момента инерции шара

6.4. Теорема Штейнера

Пусть О1 и А1 две параллельные друг другу оси, расстояние между которыми равно a. Возьмем элементарную массу тела dm и из точек О и А проведем в нее радиус-векторы r,r′.

Рис. 6.5. Вывод теоремы Штейнера

103

Построим вектор a

ar+rr′ = rr, rr′ = rr−ar, (rr′)2 = r 2 −2rrar+a2 .

Умножим равенство на dm и проинтегрируем

∫(r′)2 dm = ∫r 2 dm − 2∫arrrdm + ∫a2 dm .

∫(r′)2 dm = I A , ∫r 2 dm = IO , ∫a2 dm = a2 ∫dm = ma2 ,

Пусть ось О проходит через центр масс, тогда получим

RrC = 0, IO = 0, I A = IC + ma2 .

Момент инерции тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями

I A = IC + ma2 .

Рис. 6.6. Применение теоремы Штейнера

104

6.4. Кинетическая энергия вращательного движения

Кинетическая энергия i-й частицы твердого тела равна

Кинетическая энергия всего тела равна

Следовательно,

T= Iω2 2 .

6.5.Работа внешних сил при вращении твердого тела

Следовательно,

dT = Mdϕ .

Здесь М – момент сил (относительно оси вращения), действующих на твердое тело, dϕ – элементарный угол поворота тела.

Работа внешних сил при повороте на конечный угол равна

ϕ

A = ∫Mdϕ , Дж.

0

Работа, совершаемая в единицу времени (мощность), равна

P = dAdt = M ddtϕ = Mε,Вт.

105

6.6. Условия равновесия твердого тела

Движение твердого тела в общем случае определяется двумя уравнениями:

Тело будет находиться в состоянии покоя, если нет причин, приводящих к возникновению поступательного и вращательного движения. Такими причинами являются внешние силы и моменты внешних сил.

Условия равновесия твердого тела имеют вид

Глава 7. Движение в неинерциальных системах отсчета

Неинерциальными системами отсчета называются системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальной системы отсчета.

7.1. Силы инерции

Обозначим K – инерциальная система отсчета, K ′– неинерциальнаяr система отсчета, движущаяся относительноK с ускорением a0 поступательно.

Пусть в инерциальной системе К на частицу массой m дейст-

вует сила F . Запишем второй закон Ньютона F = mar . Из рисунка следует

частицы в неинерциальной системе отсчета K′, rr0 – радиус-вектор

начала системы координат K′ в инерциальной системе К. Продифференцируем дважды по времени и получим

106

ar = ar′+ ar0 , mar = mar′+ mar, F = mar′+ mar0 , F −mar0 = mar′.

Рис. 7.1. Движение систем отсчета

Из последнего уравнения видно, что при переходе в неинерциальную систему отсчета уравнение второго закона Ньютона изменяется. Введем обозначение

r Fи = −mar0 .

Вектор Fи называется силой инерции, которая учитывает ус-

коренное движение системы отсчета K ′ относительно К. Можно записать

F+ Fи = mar′.

Внеинерциальной системе отсчета, произведение массы час-

тицы на ее ускорение равно векторной сумме сил F , обусловленных взаимодействием тел, и силы инерции Fи , действующей на тело в неинерциальной системе.

107

Введение силы инерции Fи позволяет сохранить математиче-

скую формулировку второго закона Ньютона для описания движения в неинерциальной системе отсчета. В то же время силы инерции нельзя рассматривать как результат взаимодействия между телами.

7.2.Силы инерции в произвольно движущейся неинерциальной системе отсчета

Пусть неинерциальная система отсчета K′ совершает относительно системы отсчета K как поступательное, так и вращатель-

ное движение. Запишем для некоторой точки M r = r ′+ r0 .

скоростью ω вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через начало координат системы отсчета.

Продифференцируем по времени

108

r

При dtr → 0, dϕ → 0 и векторdi ′оказывается перпендику-

лярным к i ′ и ω . Запишем

ddti ′ =ωr ×ir′.

Это выражение правильно дает как модуль, так и направление вектора. Аналогично,

После подстановки получим

109