Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Орловский филиал РАНХиГС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

175. lim

2 − 3x − 8 − 2

;

x +1

x→−1

4x2 − 6x −1 −

176.

lim

;

x + 3

x → −3

3x2 +8x + 5 −

177.

lim

;

x − 2

x → 2

6x2

+ 3x − 4 −

178. lim

x − 2

x→2

3x2-3x + 4 −

179. lim

;

x − 2

x→2

4x2-5x + 4 −

180. lim

;

x − 2

x→2

(−4x−3)

2x2

− 2x − 7

(5x−7)

181. lim

;

x→∞

− x −1

(3x−7)

6x2

8x −

(−7x−4)

182. lim

;

x→∞

3x + 9

(−4x+7)

4x2

6x −

(−9x+1)

183. lim

;

9x −

x→∞

(5x−3)

8x2

+ 6x − 9

(7x−3)

184. lim

;

x→∞

− x + 9

(6x+6)

−

6x −

(x−1)

185. lim

;

x→∞

+ 8x − 6

(−6x−5)

6x2 + 6

(9x−1)

186.lim

;

x→∞

− 9x − 7

(3x−3)

4x2

−

3x −

(−9x−8)

187. lim

;

x→∞

− 7x − 5

(−8x−5)

4x2

4x +

(−5x−4)

188. lim

x→∞

+ 8x + 4

(x+8)

2x2

5x +

(2x+2)

189. lim

;

− 7

x→∞

(−4x−9)

7x2 + 6x − 5 190. lim x→∞ 2x2 − x − 7

5x + 5 − x+9 191. lim

x→∞ 5x + 9

5x + 3 −6x−4 192. lim

x→∞ 5x − 2

x + 4 −8x−4 193. lim

x→∞ x + 2

− 3 6x+2

194.

lim

x→∞

6x − 8

5x − 9 8x−4

195.

lim

x→∞

5x + 3

x −1 7x+8

196.

lim

x→∞ x + 7

− 7 2x−3

197.

lim

4x +

x→∞

+ 6 −2x−9

198.

lim

7x +

x→∞

8x − 9 −x−6

199.

lim

x→∞

8x + 7

6x −

2 −7x+6

200.

lim

6x −

x→∞

4x2 − 2x +

4 6x−8

201.

lim

− 6x +

x→∞

4x2 − 6x + 2

−5x+9

202.

lim

x→∞ 4x

+ 2x − 5

5x2 + 9x +

−8x+2

203.

lim

− 6x −

x→∞

7x2 + 9x +

3 −7x−1

204.

lim

+ 7x

x→∞

(7x+8)

;

3x2 + x + 2

−8x−9

205.

lim

− 4

x→∞

+ 5

8x−4

206.

lim

x→∞ x

+ 7x − 8

6x2 + 9x − 7

6x + 8

207.

lim

+ 4x −

x→∞

7x2 − 9x +

−8x−9

208.

lim

+ 7x

x→∞

3x2 + 9x −1

4x+5

209.

lim

x→∞

− 6x − 3

8x2 − 6x −9x−4

210.→∞ 2

x 8x

211.lim arctg4xlim

x→0 arcsin5x

212.	lim	arcsin9x

	x→0 arctg8x
213.	lim	arcsin7x

	x→0 tg5x
214.	lim	sin2x

	x→0 tg7x
215.	lim		tg2x

	x→0	sin 7x
216.	lim		sin 4x

	x→0		arctg9x
217.	lim	arcsin8x

	x→0 arctg3x
218.	lim		tg9x

	x→0	sin 4x
219.	lim		− 2x

	x→0 arcsin9x
220.	lim	arctg6x		;

	x→0 tg3x
221.	lim	arctg(6x − 24)			;

	x→4		x2 −16

222.

lim

sin(9x − 9)

;

x→1

x2 + 3x − 4

223.

lim

sin(7x + 7)

;

x→−1 3x2 − 4x − 7

224.

lim

sin(4x − 4)

;

− 8x2 + 4x + 4

x→1

225.

lim

arcsin(x − 4)

;

x→4

x2 + 3x − 28

226.lim

arcsin(5x −15)

;

x→3 9x2 − 21x −18

227.

lim

arctg(2x + 8)

;

x→−4 7x2 + 20x − 32

228.

lim

arcsin(5x − 20)

;

x→4

9x2 − 34x − 8

229.

lim

sin(9x − 9)

;

− 2x2 + 6x −

x→1

230.

lim

sin(3x − 6)

;

− 7x2 +11x +

x→2

(cos x − sin x)

;

231.

lim

x→π

arcsin(π / 4 − x)

232.

lim

cos2x

;

x→π

arctg(π / 4 − x)

2 −

233.

lim

8 sin x

;

x→π

2(cos x − sin x)

234.

lim

8 cos x − 2

;

x→π

cos2x

235.

lim

ctgx −1

;

x→π

2(cos x − sin x)

236.

2cos2 x − sin 2x

lim

;

1− tgx

x→π

237.

lim

1− tgx

2cos2 x − sin 2x

x→π

238.

lim

cos(x + π / 4)

tg(π

x→π

− x)

239.

lim

ctg(x + π / 4)

ctgx −1

x→π

240.

lim π / 4 − x

x→π

1− tgx

241.

lim

sin(π / 4 − x)

x→π

cos(x +

)

242.

lim

arcsin(π / 4 − x)

x→π

8 cos x − 2

243.

lim

tg(π / 4 − x)

x→π

8 cos x − 2

244.

lim

arctg(π / 4 − x)

x→π

2(cosx − sin x)

245.

lim

cos(3x −1) − cos(5 − 3x)

x→1

arctg(x −1)

246.

lim

sin(8x − 7) − sin(9 − 8x)

x→1

arctg(x −1)

247.

lim

tg(2x −1) − tg(7 − 2x)

x→2

arcsin(x − 2)

248.

lim

1+ sin8x −

1− sin8x

x − π

x→π

249.

lim

tg(4x − 3/ 4π ) − cos(8x)

x − π

x→π

tg 4x −

+ sin(6x)

250.

lim

x − π

x→π

251.

lim

cos(2 + 5x) − cos(2 − 5x)

;

x→0

252.

lim

sin(3 + 6x) − sin(3 − 6x)

x→0

253.

lim

tg(1+ 4x) − tg(1− 4x)

;

x→0

254.

lim

1+ sin x −

1− sin x

x→0

255.

lim

tg(π / 4 + 2x) − cos(8x)

;

x→0

1− 2sin

+ x

256.

lim

x→0

257.

lim

3 -2sin(π /3 + 6x)

;

x→0

258.

lim

1- 2cos (π /3 + 2x)

;

x→0

259.

lim

3 - 2cos(π / 6 + 4x)

;

x→0

260.

1+ tgx −

1− tgx

lim

;

x→0

261.

lim

1- tg(π / 4 + 5x)

;

x→0

262.

lim

1- cos5 x

;

x→0

263.

lim

1- cos3 4x

;

x→0

264.

lim

cos 7x − cos3 x

;

x→0

265.

lim

2 - 1+ cos4x

;

x→0

266.

lim

sin(1+10x) - 2sin(1+ 5x) + sin1

;

x→0

267.

lim

tg(4 +14x) − 2tg(4 + 7x) + tg4

;

x→0

268.

lim

1+ 8xsin3x − cos4x

;

x→0

269.

lim

1− cos9x

cos3x

x→0

270.

lim

sin 7x − 7sin x

x→0

271.

lim

tg6x − sin 6x

x→0

272.

lim

tg2 9x − sin2 9x

x→0


273.	lim		tg3 x − sin3 x
			x5
	x→0
274.	lim		cos(1+ 8x) − cos (1− 8x)

	x→0		sin x
275.	lim		sin(3 + 9x) − sin(3 − 9x)

	x→0		arcsin x
276.	lim	tg(1+ x) − tg(1− x)

	x→0		tgx

277. lim 1+ sin x − 1− sin x

x→0

sin x

+ 5x − cos(6x)

278.

lim

x→0

tgx

279.

lim

1− 2sin(π / 6 + 5x)

x→0

sin x

280.

lim

3 − 2sin(π /3 + 2x)

x→0

arcsin x

281.

lim

1− 2cos(π /3 + 6x)

x→0

sin x

282.

lim

3 − 2cos(π / 6 + 4x)

x→0

sin x

283.

1+ tg8x −

1− tg8x

lim

;

x→0

tgx

− tg

+ 8x

284.

lim

x→0

arctgx

285.

lim

1− cos9x

;

x→0

xarcsin x

286.

lim

1− cos3 9x

;

x→0

x sin x

287.

lim

cos 9x − соs 3x

;

x→0

x tgx

288.

lim

2 − 1+ cos8x

;

x→0

x arctg x

289.

lim

sin(3 + 8x) − 2 sin(3 + 4x) + sin 3

;

x→0

x tg x

290.

lim

tg(1+14x) − 2 tg(1+ 7x) + tg 1

;

x→0

x arctg x

291.

lim

1+ 8x sin

4x − cos 7x

;

x→0

x sin x

292.

lim

1− cos x cos 2x

;

x→0

xsin x

293.

lim

sin 3x - 3 sin x

;

x→0

294.

lim

tg 2x - sin

;

x→0

295.

tg2 6x − sin

2 6x

lim

;

x→0

296.

tg3 x − sin3

lim

sinx5

x→0

Исследовать непрерывность следующих функций:

297.y = 3 − 2x

3x + 5

298.y = sin (2x-1) 6x2 + x − 2

x +1, если х ≤ -1

299.y = х2 , если х > - 1

	x2			,	если х	[-1, 1]

300.	y =					[-1, 1]
		х	,		если х	[-1, 1]

		3x + 5,					если х < -1
301.	y =		х	3	+ 3х	2	+1, если	- 1 ≤ х ≤ 3
		2
		-4х + 2,если х > 3

		2x		+1,		если х < 3
302.	y =			2 − x,		если 3 ≤ x		< 4
		7х

			x	− 4,		если х ≥ 4
		2

3х-2,

если х ≤ 1 3

7x − 3,

если x

< -2

306.

y =

если -2

≤ x ≤ 2

2x + 4,

303.

y = log

3 x,

если

< x

≤ 3

, если x > 2

+ x

− 4 −1,

если х > 3.

x +1

если х < 0

x −1

если 0 ≤ x

≤ 2

304.

y = 2x,

+1,

если x

> 2

cos x,

если x

≤ 0

305.

если 0 < x

< 1

y = e

если

x ≥ 1

4.2 Производная

Пусть

функция

y = f (x)

определена

на

интервале

(a,b). Дадим

аргументу

x (a,b)

приращение

x ≠ 0

такое,

что x +

x (a,b) , тогда

функция y получит соответствующее приращение

y = f (x + x) − f (x) .

Если существует конечный предел

lim

= lim

f (x +

x) − f (x)

x→0

то он называется производной функции f (x) в точке x и обозначается

f ′(x) = lim

= lim

f (x +

x) − f (x)

x→0

Пример 1.

Найти, исходя из определения, производную функции y = x

( x ≥ 0).

Зададим приращение x , такое, что x +

x ≥ 0 .

Тогда

y =

x +

x −

x ;

Поэтому

y =

x +

x −

;

Переходим к пределу при

x → 0 и получаем

y′(x) = lim

y = lim

x + x

−

= lim

;

x( x + x +

x→0

x x→0

x→0

x) 2 x

т.е. (		)′ =	1		.
	x


2				x
Основные правила дифференцирования.
Пусть			f (x) , ϕ(x) - дифференцируемые функции, а с - некоторая

постоянная, тогда справедливы следующие правила дифференцирования:

1. c′ = 0 ;

2. ( f ± ϕ)′ = f ′ ± ϕ′ ; 3. (cf )′ = cf ′;

4. ( f ϕ)′ = f ′ ϕ + f ϕ′ ;

f ′			f ′ ϕ − f ϕ′
5.		=		; ϕ ≠ 0 .

	ϕ		ϕ 2

6.Производная сложной функции.

Если функции y = f (u) и u = ϕ(x) имеют конечные производные, то

y′x = fu′ u′x

Таблица производных основных элементарных функций:

(um )′ = mum−1u′;

11. (ctg u)′ = −

= − cosec2u u′ ;

sin2 u

(

)′

u′ ;

12. (arcsin u)′ =

u′ ;

1− u2

1 ′

= −

u′

13. (arccos u)′ = −

u′ ;

;

1−u 2

(eu )′ = euu′ ;

14. (arctg u)′ =

u′;

+ u2

(au )′ = auu′ln a;

15. (arcctg u)′ = −

u′ ;

1+ u2

(lnu)′ =

u′;

− e−u

′

16. (sh u)′

= chu u′ ;

u)′ =

u′;

17. (ch u)′ =

+ e

−u

′

(log

= shu u′ ;

ulna

(sin u)′ = cosu u′;

18. (th u)′ =

shu ′

u′;

ch2 u

chu

9. (cosu)′ = −sin u u′;

chu

′

u′.

19. (cth u)′ =

shu

sh2 u

Пример 2. Найти производную функции y = x2 arctgx +

cos x

cos x + sin x

y′ = (x2 )′arctgx + x2 (arctgx)′ +

(cos x)′(cos x + sin x) − cos x(cos x + sin x)′

(cos x + sin x)2

= 2x arctgx +

+ − sin xcos x − sin2x + cos xsin x − cos2 x

+ x2

(cos x + sin x)2

= 2x arctgx +

−

+ x2

(cos x + sin x)2

Пример 3. Найти производную y = lntg(2x + 3) .

Берем производную от y

как сложной функции

y = ln(u(v(x))), где u = tgv , v = 2x + 3.

y′

uυ′ v′x , где u(v(x)) = tg(2x + 3),

u(v(x))

u′ =

; v′ = 2.

cos2 v

Итак,

′

= tg(2x

+ 3)

cos2 (2x + 3)

Логарифмическое дифференцирование

В некоторых случаях для нахождения производной заданную функцию логарифмируют, а затем полученное выражение дифференцируют. Такая операция называется логарифмическим дифференцированием.

Пример 4. Найти производную функции y = (sin x)tgx

Прологарифмировав заданную функцию, получим ln y = tgxlnsin x . Находим производные от сложных функций в левой и правой частях равенства

f ′(x0 )

y′

ln(sin x) + tgx

cos x =

ln(sin x)

+1.

cos2

sin x

cos2

Отсюда выражаем производную

y′

ln(sin x)

tgx ln(sin x)

= y

+1 = (sin x)

+1 .

cos2 x

cos2

Производная неявной функции.

Для нахождения производной от y

по x неявно заданной функции

F(x, y) = 0 , нужно продифференцировать это уравнение по x , рассматривая y как функцию x . Затем полученное уравнение разрешается относительно y′ .

Пример 5. Найти производную функции y , заданную уравнением

õ5 + y5 − 5xy = 0 .

Дифференцируем по x равенство õ5 + y5 − 5xy = 0 . Из полученного

соотношения

+ 5y

′

следует, что

′

− x y

′

= y − x

− 5(1 y + x y ) = 0

или y

′

y − x4

y4 − x

Производная функции, заданной параметрически

Если зависимость между x и функцией y задана параметрически в виде двух уравнений

x = x(t),=

y y(t),

где t -вспомогательная переменная, называемая параметром, то производные y′x и y′x′ функции определяются по правилу

y′	=	yt′	и	y′′ =	xt′yt′′− yt′xt′′	.
x		xt′		x	(xt′)3

Пример 6. Найти y′ = dy , если x = acost , y = bsint .

					dx
			dy
	dy				+ acost	= −	a	ctgt .
Имеем	dy	=	dt	=	+ acost		a
Имеем		=	dx	=	− bsint
	dx		dx		− bsint		b

Производная обратной функции.

Пусть функция y = f (x) строго монотонна в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема, в точке x0 причем её производная

отлична от нуля. Тогда обратная функция x = g (y) определена в некоторой окрестности соответствующей точки y0 = f (x0 ) , дифференцируема в этой точке и имеет в этой точке производную,

равную g′(y) =

f ′(x )

Пример 7. Найти производную ax .

Показательная функция y = ax , является обратной для

логарифмической функции x = loga

y . Для ее производной справедлива

′

формула (a

)

= (log

y)′

log

e = log

e = a

ln a .

Итак, (ax )′ = ax ln a .

Дифференциал функции.

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x , тогда ее приращение можно записать в виде

y = f ′(x) x + α(	x) x,	где limα( x) = 0.
		x→0
Главная, линейная относительно	x часть f ′(x) x приращения

функции называется дифференциалом функции и обозначается dy:

				dy = f ′(x)	x.
При f (x) = x, получим dx = x′ x =					x , поэтому дифференциал
функции y = f (x) примет вид
				dy = f ′(x)dx .
	Основные свойства дифференциала.
1.	dC = 0, где C = const,
2.	d(Cu) = Cdu
3. d(u ± v) = du ± dv ,
4.	d(uv) = udv + vdu,
	u		vdu − udv
5.	d	=		, (v ≠ 0)

	v		v2

6. df (u) = f ′(u)du .

Пример 8. Найти дифференциал функции y=ln(cosx).

dy = (ln(cos x))′dx = − sin x dx = −tgxdx . cos x

Задачи для самостоятельного решения.

1.Используя определение производной, найти производные функции

вточке x = x0.

1. f(x) = 3x + 1

2. f(x) = 7x + 2

3. f(x) = 4x2 + 1

4. f(x) = 2x2 + x – 3

5. f(x) = x3 + 2x – 4

6. f(x) = 2 x2 – 3x + 4

7. f(x) =

8. f(x) = 2x + 3

9. f(x) =

10. f(x) =

x2 + 4

11. f(x) =

12. f(x) =

x −1

13. f(x) = sin 2x

14. f(x) = cos

15. f(x) = sin(3x − 2 )

16. f(x) =

cos

17. f(x) = 2

18. f(x) = 10x

19. f(x)= log2x

20. f(x)=lgx

2. Найти производные у′ функций:

21. у = x3 – 3x2 + 2x – 1

22. у =

+ x3 + 2x – 3

3x5

− 7x2 + 4

−

23. у =

24. у = 3 x − x2

x + 3x2 − 2

25. у =

+ x5 +

− 4 x

26. у =

x3 − 3x5

27. у =

−

28. у =

+ 2x2 + x

2 x3 − 5x + 7 x2 + 2

30. у =

29. у =

(x +1)2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025222 Кб4Марков.doc
#
01.03.2025139 Кб5Массовые коммуникации.doc
#
01.07.2025103 Кб1Мат. Анализ.doc
#
01.04.20257 Мб14Математика в печать исправленная1.doc
#
04.03.2016621 Кб125Математика.doc
#
04.03.20163 Мб80МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ.pdf
#
04.03.2016956 Кб32материал по социологии.doc
#
01.03.2025301 Кб2матод ворд.doc
#
01.05.2025532 Кб5матричные биоситезы и энергетический обмен.doc
#
27.11.2019380 Кб15Матричные игры.docx
#
01.07.20254 Мб3МДК 01.03 НАП. мет. ук.кп1.doc