[1]

Теорія ймовірностей

1. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ

1.1. Класичне визначення ймовірності

1.1.1. Необхідність і випадковість

Теорія про причинно-наслідкові зв'язки стверджує, що в об'єктивній дійсності має місце причинно-наслідковий ланцюжок подій. Кожна наступна подія обумовлена й визначена попередніми подіями. Тому в кожний момент часу відбувається та і тільки та подія, яка повинна відбутися. Подія, що відбувається, є наслідком попередніх подій у ланцюжку. Подія, що відбулася, сама стає причиною наступних подій.

Зі сказаного випливає, що в об'єктивній дійсності випадково ніщо не відбувається і не може відбутися.

На перший погляд, це твердження ставить під сумнів право на існування теорії ймовірностей, предметом дослідження якої є випадкові події, явища, процеси та їх закономірності.

Щоб примирити обидві теорії, розглянемо два експерименти з киданням монети.

Для першого експерименту створимо ідеальні умови. Нехай монета багаторазово кидається:

–з наданням їй однакового моменту імпульсу сили, прикладеного до однієї і тієї ж точки монети;

–у безповітряному просторі;

–з однакової висоти;

–з того самого вихідного положення монети;

–на горизонтальну поверхню з однаковою пружністю в кожній її точці.

При багаторазовому повторенні описаного експерименту будемо одержувати той самий результат – або "орел", або "решку" (залежно від вихідного положення монети). Тобто результат експерименту не є випадковим.

Другий експеримент будемо проводити без дотримання будь-яких ідеальних умов: так, як це робиться в повсякденному побуті при киданні

10

Випадкові події

жереба. При багаторазовому повторенні такого експерименту в 50 відсотках результатом буде "орел" і 50 відсотках – " решка", причому передбачити заздалегідь результат будь-якого експерименту неможливо. Тобто результат будь-якого нового експерименту є випадковим.

Висновок. Якщо ми не можемо врахувати або свідомо зневажаємо будь-які суттєві чинники, що впливають на протікання експерименту (процесу, явища), то він автоматично стає випадковим. При багаторазовому повторенні випадкового експерименту він може протікати по-різному, і передбачити точний його хід неможливо.

1.1.2. Основні визначення

Знайомство з основами теорії ймовірностей починається з теми «Випадкові події».

Визначення 1.1. Подією називається усякий факт, який в результаті експерименту може відбутися або не відбутися.

Подія завжди пов'язана з експериментом.

Визначення 1.2. Під експериментом

(випробуванням) розуміють деяку сукупність умов, в яких спостерігається те або інше явище, фіксується той або інший результат.

Приклади: кидання монети – експеримент, випадіння "орла" або "решки" – подія; виймання карти з преферансної колоди – експеримент, поява червоної або чорної масті – подія; проведення лекції – експеримент, присутність студента на лекції – подія.

Примітка. У цьому підрозділі (в електронному варіанті підручника) теоретичний матеріал супроводжується експериментом, що полягає в однократному киданні гральної кістки і спостереженні за числом очок, що випадає на її верхній грані. Кістка має шість граней, на кожній з яких намальовані точки, що відповідають числу очок від одного до шести. Результатом такого експерименту може бути випадіння 1,2,3,4,5 або 6 очок. Експеримент можна повторювати необмежену кількість разів. Для виклику експерименту треба клацнути лівою кнопкою миші на позначці

11

Теорія ймовірностей

. Надалі будемо використовувати цю позначку як посилання на експеримент з киданням гральної кістки.

Коли людина аналізує випадкову подію, її насамперед цікавить, як часто подія може відбутися або не відбутися в результаті експерименту. З цією метою вводиться спеціальна характеристика – ймовірність події.

Визначення 1.3. Ймовірністю події

називається чисельна міра ступеня об'єктивної можливості появи події в результаті нового експерименту.

У теорії ймовірностей прийнято події позначати заголовними латинськими літерами А, B і т.д., а ймовірності подій – відповідно P(A),

P(B) і т.д.

Ймовірність довільної події (позначимо її через А) лежить у межах від нуля до одиниці: 0 ≤ P(A) ≤ 1. Останнє співвідношення часто називають шкалою ймовірностей.

При вирішенні будь-яких задач необхідно стежити за тим, щоб ні в яких кінцевих або проміжних результатах не з'явилися значення ймовірності якоїсь події, що перевищує межі зазначеної шкали.

Усі події діляться на достовірні, неможливі й власне випадкові.

Визначення 1.4. Достовірною називається подія, яка в результаті експерименту неодмінно повинна відбутися (позначається: U).

Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці: Р(U) = 1.

Визначення 1.5. Неможливою називається подія, яка в результаті експерименту не може відбутися (позначається: Ø).

Ймовірність неможливої події дорівнює нулю: Р(Ø) = 0.

Визначення 1.6. Випадковою називається подія, яка при багаторазовому повторенні експерименту в одних виходах відбувається, а в інших – ні.

12

Випадкові події

Ймовірність випадкової події (позначимо її через А) більше нуля і менше одиниці: 0 < Р(A) < 1 .

Як приклади розглянемо експерименти з киданням гральної кістки. Так, при однократному киданні гральної кістки випадіння:

–не більше шести очок є достовірною подією;

–десятьох очок – неможливою подією;

–трьох очок – випадковою подією.

Одним з ключових завдань розділу "Випадкові події" є чисельне визначення ймовірності випадкових подій. Перед тим як перейти до визначення ймовірності найпростіших подій, введемо ще ряд визначень.

Визначення 1.7. Декілька подій в експерименті називаються рівноможливими, якщо за умовами симетрії експерименту немає підстави вважати появу якоїсь з них більш можливою, ніж появи інших.

Рівноможливі події мають рівний ступінь об'єктивної можливості відбутися в результаті експерименту.

В умовах експерименту як приклади рівноможливих подій можуть виступати події, що полягають у випадінні:

–1, 2, 3, 4, 5, 6 очок;

–парного і непарного числа очок.

Прикладом нерівноможливих подій є випадіння двох очок і непарного числа очок.

Визначення 1.8. Декілька подій називаються несумісними, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися одночасно в одному експерименті.

Звертаючись знову до експерименту як приклади несумісних подій можна відзначити випадіння:

–1, 2, 3, 4, 5, 6 очок;

–парного і непарного числа очок.

Прикладом сумісних подій є випадіння одного і непарного числа очок.

13

Теорія ймовірностей

Визначення 1.9. Повною групою подій називаються декілька попарно несумісних подій таких, що в результаті експерименту одна з них неодмінно повинна відбутися.

В експерименті повною групою подій є випадіння:

–1, 2, 3, 4, 5, 6 очок;

–парного і непарного числа очок.

Визначення 1.10. Якщо виходи експерименту утворюють повну групу несумісних рівноможливих подій, то вони називаються випадками.

В умовах експерименту випадками є виходи, що полягають у випадінні:

–1, 2, 3, 4, 5, 6 очок;

–парного і непарного числа очок.

Визначення 1.11. Випадок називається сприятливим до події, якщо його поява тягне за собою появу цієї події.

Приклад. Нехай подія А полягає у випадінні непарного числа очок в

експерименті . Тоді серед шести випадків, що полягають у випадінні 1, 2, 3, 4, 5 або 6 очок, сприятливими до події А будуть тільки три – випадіння 1, 2 або 3 очок.

1.1.3. Класичне визначення ймовірності

Ймовірність події А як можливого виходу деякого експерименту визначається відношенням кількості випадків, що сприятливі для події А, до загальної кількості випадків у даному експерименті.

Таким чином, якщо m – кількість випадків, що сприятливі для події А, а n – загальна кількість випадків у даному експерименті, то ймовірність події А

14

n

Співвідношення (1.1) є класичною формулою обчислення ймовірності подій, які можуть виникати в результаті експерименту з виходами, що підпадають під визначення 1.9. Обчислення ймовірності події за класичною формулою (1.1) обумовлює наступну послідовність дій (алгоритм):

1.Визначення загальної кількості випадків в експерименті, запропонованому за умовами задачі.

2.Визначення кількості випадків, що сприятливі для події, ймовірність якої необхідно знайти за умовами задачі.

3.Обчислення шуканої ймовірності події як відношення чисел, знайдених у п. 1 і 2.

Наведену методику визначення ймовірності події називають схемою випадків.

Приклад 1.1. Нехай в умовах експерименту слід визначити ймовірність випадіння парного числа очок.

Розв’язання першим способом. Як випадки при киданні гральної кістки розглядаємо групу подій: випадіння 1, 2, 3, 4, 5 і 6 очок. Тоді:

∙загальна кількість випадків в експерименті – шість;

∙кількість випадків, що сприятливі для події “ парне число очок”, – три: випадіння 2, 4 і 6 очок;

∙шукана ймовірність – 3/6, або 1/2.

Розв’язання другим способом. Як випадки при киданні гральної кістки розглядаємо групу подій: випадіння “ парного” і “ непарного” числа очок:

∙загальна кількість випадків в експерименті – два;

∙кількість випадків, що сприятливі для події “ парне число очок”, – один (випадок “ парне”);

∙шукана ймовірність – 1/2.

Як бачимо, результат вирішення не залежить від того, яку повну групу подій експерименту вважати випадками. Бажано тільки, щоб через випадки цієї групи можна було визначити шукану ймовірність події.

15

Теорія ймовірностей

Слід зауважити, що не завжди всі можливі або сприятливі випадки в експерименті знаходяться так просто, як у прикладі 1.1. На підтвердження сказаного розглянемо ще два приклади.

Приклад 1.2. В ящику знаходиться 100 деталей, з них 10 бракованих. Навмання витягують 4 деталі. Знайти ймовірність події А – наявність рівно трьох стандартних деталей серед витягнутих.

Як бачимо, тут усі можливі виходи експерименту являють собою комбінації 4 деталей, серед яких можуть бути групи, що складаються з деталей:

–тільки бракованих;

–трьох бракованих і однієї стандартної;

–двох бракованих і двох стандартних;

–однієї бракованої і трьох стандартних;

–тільки стандартних.

Сприятливі виходи являють собою одну групу комбінацій, що складаються з трьох стандартних і однієї бракованої деталей.

Цілком очевидно, що визначення кількості комбінацій у кожній групі методом прямого перебору являє собою досить складне завдання.

Приклад 1.3. З п'ятьох літер розрізної абетки складене слово “КНИГА”. Дитина, яка не вміє читати, розсипала літери, а потім зібрала їх у довільному порядку. Знайти ймовірність того, що знову утворилося слово “КНИГА”.

У цьому прикладі загальна кількість випадків визначається кількістю можливих перестановок літер, з яких складається слово “ КНИГА”, і ця кількість досить значна.

Задачами на відшукання кількості комбінацій елементів, подібними наведеним у прикладах 1.2 – 1.3 , займається розділ математики, відомий як комбінаторика. У наступному підрозділі наведені найбільш важливі комбінаторні співвідношення. Після ознайомлення з цим підрозділом ми повернемося до розв’язання прикладів 1.2 – 1.3.

16

Випадкові події

1.2. Елементи комбінаторики

1.2.1. Основні принципи комбінаторики

Основні принципи комбінаторики дозволяють визначати загальну кількість різних способів виконання певної роботи залежно від способів виконання окремих її операцій і їх відношень між собою.

1.2.1.1. Правило додавання

Нехай деяку роботу можна виконати за допомогою k взаємовиключних операцій. При цьому перша операція може бути реалізована n1 способами, друга – n2 способами, ... , k-а – nk способами. Тоді роботу можна виконати n1 + n2 + ... + nk способами.

1.2.1.2. Правило множення

Нехай деяку роботу можна виконати за допомогою k послідовних операцій. При цьому перша операція може бути реалізована n1 способами, друга – n2 способами, ... , k-а – nk способами. Тоді всю роботу можна виконати n1* n2* ... * nk способами.

Приклад 1.4. Скільки сигналів можна подати з корабля за допомогою чотирьох прапорів різного кольору, розміщуючи їх на щоглі, якщо кожний сигнал повинний складатися не менше ніж з двох прапорів?

Розв’язання. Сигнали можна подавати двома, трьома і чотирма прапорами.

Першим для сигналу з двох прапорів може бути будь-який з наявних 4 прапорів (4 способи), після чого другим – будь-який з трьох що залишилися (3 способи). Тоді, відповідно до правила множення, кількість можливих способів подачі сигналу з 2 прапорів складе 4*3=12.

Аналогічно для сигналу з трьох прапорів маємо: 4*3*2=24 способи. Нарешті, для сигналу з 4 прапорів одержимо 4*3*2*1=24 способи.

Усі розглянуті вище варіанти припускають виконання послідовних операцій на вибір прапора для сигналу і тому розраховуються за правилом множення. Однак подачі сигналів 2, 3 і 4 прапорами є взаємовиключними операціями, тому загальну кількість сигналів можна одержати як суму

17

Теорія ймовірностей

способів для сигналів з 2, 3 і 4 прапорів, тобто 24+24+12=60 способами. Таким чином, для визначення загальної кількості сигналів використовується правило додавання.

1.2.2. Основні види комбінаторних з'єднань

В комбінаториці розрізняють три види різних з'єднань (комбінацій) елементів довільної множини:

–перестановки;

–розміщення;

–сполучення.

При вирішенні багатьох задач теорії ймовірностей часто доводиться звертатися до формул комбінаторики, що дозволяють без здійснення повного перебору можливих з'єднань визначати їх загальну кількість.

Розглянемо послідовно всі види з'єднань і відповідні формули підрахунку їх кількості.

1.2.2.1. Перестановки

Визначення 1.12. Перестановками з m

елементів називають такі їх з'єднання, що відрізняються одне від одного порядком входження елементів.

Загальна кількість можливих перестановок з m елементів позначається Pm і визначається виразом

Приклад 1.5. Скількома способами можна розташувати на полиці в ряд три різні книги?

Розв’язання. Загальна кількість можливих способів розташування книг визначається відповідно до виразу (1.2): Р3 = 3! = 6.

Легко помітити, що такий же результат можна одержати, застосовуючи правило множення. На перше місце на полицю можна поставити будь-яку з 3 книг (3 способи), після чого на друге місце – будьяку з двох, що залишилися (2 способи), після чого на третьому місці буде

18

Випадкові події

стояти остання не розміщена книга (1 спосіб), що за правилом множення дає 3*2*1=6 способів. Таким чином, правило множення можна вважати логічним обґрунтуванням формули (1.2).

1.2.2.2. Розміщення

Приклад 1.6. Скількома способами можна вибрати дві книги з трьох і розташувати їх у ряд на полиці.

Розв’язання. Загальна кількість можливих способів розташування

Знову ж, підставою для застосування формули (1.3) є правило множення. На перше місце на полицю можна поставити будь-яку з 3 книг (3 способи), після чого на друге – будь-яку з двох, що залишилися (2 способи). За правилом множення це складає 3*2=6 способів.

1.2.2.3. Сполучення

Визначення 1.14. Сполученнями з n елементів по m називають такі з'єднання m елементів, що відрізняються одне від одного принаймні одним новим елементом (m ≤ n).

19