Varianty_IDZ_po_TViMS_Grafov_2012
.pdfВариант № 04
1.Докажите, что число трехбуквенных слов, которые можно образовать из букв слова «гипотенуза», равно числу всевозможных перестановок букв слова «призма».
2.10 книг на одной полке расставлены наудачу. Определить вероят- ность того, что при этом три определенных книги окажутся поставленными рядом.
3.В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до
10.Наудачу извлекают по одному кубику три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются а) без возвращения, б) с возвращением.
4.У квадратного трехчлена х2+px+q коэффициенты p и q выбраны нау- дачу из отрезка [-1;2]. Какова вероятность того, что квадратный трехчлен имеет действительные корни?
5.На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция пер- вой фабрики составляет 20%, второй – 46%, третьей – 34%. Известно, что средний процент нестандартных деталей для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, для третьей – 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось не- стандартным.
6.Производится шесть выстрелов по цистерне с горючим. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Первое попадание дает про- боину и вызывает течь, а второе – воспламенение горючего. Найти веро- ятность того, что цистерна будет подожжена.
7.Вероятность выигрыша в лотерее на 1 билет равна 0,3. Куплено
11билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соот- ветствующую вероятность.
8.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна р=0,3. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,9624 от- клонение относительной частоты попадания от вероятности р по абсолют- ной величине не превзошло 0,01?
9.Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,006. Определить вероятность того, что среди 1000 поступивших вызовов имеется 7 сбоев.
10.Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, ко- торая может принимать только два значения х1 и х2, если известно, что
Р(Х=х1)=0,2, М(Х)=2,6, Д(Х)=0,64 и х1<х2.
11. Случайная величина Х задана своей плотностью распределения:
11
ì0, |
x < 0 |
ï |
0 £ x < π / 2 |
f (x) = íC cos x, |
|
ï |
x ³ π /2. |
î0, |
Найти параметр С, функцию распределения случайной величины F(х), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне- ние, вероятность попадания этой случайной величины в интервал (0;π/3). Построить графики функций f(x), F(x).
12. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими зако- нами:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
Р |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
|
|
|
|
|
У |
-1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
Р |
0,3 |
0,3 |
0,4 |
|
|
|
|
Составьте законы распределения случайных величин Х+У и Х-У и най- дите их математическое ожидание и дисперсию.
13.Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина с дисперсией 0,0372 отклонится от своего математи- ческого ожидания менее, чем на 0,12.
14.Двумерная дискретная случайная величина (Х, У) задана таблицей. Найти ее ковариацию, коэффициент корреляции и сделать вывод о зави- симости случайных величин Х и У.
х |
у |
3 |
4 |
5 |
|
||||
2 |
|
0,4 |
0,02 |
0,01 |
3 |
|
0,08 |
0,03 |
0,01 |
4 |
|
0,01 |
0,3 |
0,02 |
|
|
|
|
|
5 |
|
0,01 |
0,05 |
0,06 |
|
|
|
|
|
12
Вариант № 05
1.В автомашине семь мест. Сколькими способами можно разместить семь человек в этой машине, если занять место водителя могут только трое из них?
2.В лотерее 1000 билетов, из них на один билет выпадает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов – по 100 рублей, на 50 – по 20 рублей, осталь- ные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероят- ность выигрыша не менее 50 рублей.
3.Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятности попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7, для третьего 0,75. Найти вероятность по крайней мере одного попадания в цель, если каждый стрелок делает по одному выстрелу.
4.У квадратного трехчлена х2+px+q коэффициенты p и q выбраны нау- дачу из отрезка [0;3]. Какова вероятность того, что квадратный трехчлен имеет действительные корни?
5.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Ве- роятность выполнить квалификационную норму для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8, для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что взя- тый наудачу из этой группы спортсмен выполнит норму.
6.Вероятность того, что расход электроэнергии за сутки не превысит нормы равна 0,75. Найти вероятность того, что из ближайших 6 суток толь- ко 4 суток пройдут без перерасхода энергии.
7.Вероятность выигрыша в лотерее на один билет равна 0,3. Куплено 15 билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соот- ветствующую ему вероятность.
8.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна р=0,6. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,933 откло-
нение относительной частоты попадания от вероятности р по абсолютной величине не превзошло 0,04?
9.Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,007. Определить вероятность того, что среди 100 поступивших вызовов имеется 7 сбоев.
10.В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 рублей и десять – по 1 рублю. Найти закон распределения
суммы возможного выигрыша для владельца одного билета и найти его средний выигрыш.
11.Случайная величина Х задана своей плотностью распределения:
13
ì0, |
x £ 0 |
ï |
0 < x £1 |
f (x) = íCx, |
|
ï |
x > π / 4. |
î0, |
Найти параметр С, функцию распределения случайной величины F(х), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне- ние, вероятность попадания этой случайной величины в интервал (0,5;1). Построить графики функций f(x), F(x).
12. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими зако- нами:
Х |
-2 |
1 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
Р |
0,2 |
0,1 |
0,5 |
0,2 |
|
|
|
|
|
У |
-2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
Р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
|
|
|
|
Составьте законы распределения случайных величин Х+У и Х-У и най- дите их математическое ожидание и дисперсию.
13.Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина с дисперсией 0,001 отклонится от своего математиче- ского ожидания менее, чем на 0,2.
14.Двумерная дискретная случайная величина (Х,У) задана таблицей. Найти ее ковариацию, коэффициент корреляции и сделать вывод о зави- симости случайных величин Х и У.
у |
1 |
2 |
3 |
х |
|||
0,3 |
0,4 |
0,01 |
0,01 |
2,25 |
0,09 |
0,2 |
0,01 |
4,1 |
0,06 |
0,08 |
0,1 |
|
|
|
|
6,5 |
0,01 |
0,02 |
0,01 |
|
|
|
|
14
Вариант № 06
1.Номер автомашины состоит из трех букв и трех цифр, причем среди букв используются только двенадцать. Сколько существует различных ав- томобильных номеров? Сколько таких номеров, в которых цифры не по- вторяются?
2.В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрыша. Чему равна вероятность выигры- ша (безразлично какого, денежного или вещевого) для владельца одного билета?
3.Из урны, содержащей три белых и два черных шара, взяли наугад два шара и положили в другую урну, содержащую четыре белых и четыре черных шара. Затем, из последней урны наугад взяли один шар. Найти ве- роятность того, что этот шар белый.
4.У квадратного трехчлена х2+px+q коэффициенты p и q выбраны нау- дачу из отрезка [0;2,5]. Какова вероятность того, что квадратный трехчлен имеет действительные корни?
5. |
В читальном зале имеется |
одиннадцать книг, из которых пять – |
1960 |
года издания, четыре – 1970 |
года издания, две – 1980 года издания. |
Вероятность ого, что нужная формула есть в книге 1980 года равна 0,7, в книге 1970 года – 0,8, в книге 1980 года – 0,9. Найти вероятность того, что в наудачу взятой книге нужной формулы нет.
6.Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что при ста выстрелах стрелок поразит ми- шень не менее 75 раз.
7.Вероятность выигрыша в лотерее на 1 билет равна 0,5. Куплено 11 билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соот- ветствующую вероятность.
8.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна р=0,6. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,993 откло-
нение относительной частоты попадания от вероятности р по абсолютной величине не превзошло 0,03?
9.Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,08. Определить вероятность того, что среди 1000 поступивших вызовов имеется 7 сбоев.
10.Вероятность наличия нужной специалисту книги в каждом из четы- рех магазинов равна 0,1. Составить закон распределения числа магази- нов, которые пришлось посетить с целью покупки нужной книги. Найти ма- тематическое ожидание, дисперсию этой случайной величины.
11.Случайная величина Х задана своей плотностью распределения:
15
ì0, |
|
x < 0 |
||
ï |
Cx |
|
|
|
f (x) = íï |
, |
0 £ x < 8 |
||
|
||||
ï 32 |
|
x ³ 8. |
||
ï0, |
|
|||
î |
|
|
|
|
Найти параметр С, функцию распределения случайной величины F(х), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне- ние, вероятность попадания этой случайной величины в интервал (2;10). Построить графики функций f(x), F(x).
12. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими зако- нами:
Х |
-1 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
Р |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
|
|
|
|
|
У |
-3 |
0 |
1 |
|
|
|
|
Р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
|
|
|
|
Составьте законы распределения случайных величин Х+У и Х-У и най- дите их математическое ожидание и дисперсию.
13.Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина с дисперсией 0,159 отклонится от своего математиче- ского ожидания менее, чем на 0,3.
14.Двумерная дискретная случайная величина (Х,У) задана таблицей. Найти ее ковариацию, коэффициент корреляции и сделать вывод о зави- симости случайных величин Х и У.
х |
у |
1 |
3 |
5 |
|
||||
1,2 |
|
0,4 |
0,01 |
0,01 |
8,8 |
|
0,06 |
0,08 |
0,01 |
|
|
|
|
|
14 |
|
0,04 |
0,03 |
0,02 |
|
|
|
|
|
20 |
|
0,03 |
0,01 |
0,3 |
|
|
|
|
|
16
Вариант № 07
1.Сколько нужно издать словарей, чтобы можно было непосредственно переводить с одного из пяти языков на другой?
2.В группе 17 юношей и 8 девушек. Какова вероятность того, что сту- дент, фамилия которого первая в списке окажется девушкой?
3.Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует наладки, равна 0,8 для первого станка, 0,3 – для вто- рого станка, 0,9 – для третьего станка. Найти вероятность того, что в тече- ние часа только один станок потребует наладки.
4.У квадратного трехчлена х2+px+q коэффициенты p и q выбраны нау- дачу из отрезка [-1;3]. Какова вероятность того, что квадратный трехчлен имеет действительные корни?
5.В ящик, содержащий три одинаковые детали, брошена стандартная деталь, а затем из него наудачу извлечена деталь. Найти вероятность то- го, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возмож- ные предположения о числе стандартных деталей, первоначально нахо- дящихся в ящике.
6.Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет пора- жена не менее 50 и не более 80 раз.
7.Вероятность выигрыша в лотерее на один билет равна 0,4. Куплено 13 билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соот- ветствующую ему вероятность.
8.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна р=0,3. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,996 откло-
нение относительной частоты попадания от вероятности р по абсолютной величине не превзошло 0,04?
9.Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,009. Определить вероятность того, что среди 1000 поступивших вызовов имеется 7 сбоев.
10.Монета брошена 3 раза. Найти закон распределения числа выпадения «герба», математическое ожидание, дисперсию этой случайной величины.
11.Случайная величина Х задана своей плотностью распределения:
ì0, |
|
x < 0 |
||
ï |
Cx |
|
|
|
f (x) = íï |
, |
0 £ x < 10 |
||
|
||||
ï 50 |
|
x ³ 10. |
||
ï0, |
|
|||
î |
|
|
|
|
Найти параметр С, функцию распределения случайной величины F(х), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне-
17
ние, вероятность попадания этой случайной величины в интервал (2;10). Построить графики функций f(x), F(x).
12. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими зако- нами:
Х |
3 |
5 |
7 |
|
|
|
|
Р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
|
|
|
|
У |
2 |
6 |
|
|
|
Р |
0,6 |
0,4 |
|
|
|
Составьте законы распределения случайных величин Х+У и Х-У и най- дите их математическое ожидание и дисперсию.
13.Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина с дисперсией 0,168 отклонится от своего математиче- ского ожидания менее, чем на 0,4.
14.Двумерная дискретная случайная величина (Х,У) задана таблицей. Найти ее ковариацию, коэффициент корреляции и сделать вывод о зави- симости случайных величин Х и У.
у |
1 |
2 |
3 |
х |
|||
0,8 |
0,15 |
0,04 |
0,11 |
|
|
|
|
2,9 |
0,07 |
0,43 |
0,02 |
|
|
|
|
5,1 |
0,04 |
0,04 |
0,04 |
|
|
|
|
8 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
|
|
|
|
18
Вариант № 08
1.Сколькими способами можно взять из колоды (в 36 карт) пять так, чтобы среди них было два туза?
2.Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до
100.Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного же- тона не содержит цифры 5.
3.Вероятность хотя бы одного появления события А при четырех неза- висимых испытаниях равна 0,59. Какова вероятность появления события А при одном испытании, если при каждом испытании эта вероятность одина- кова?
4.У квадратного трехчлена х2+px+q коэффициенты p и q выбраны нау- дачу из отрезка [0,5;2,5]. Какова вероятность того, что квадратный трех- член имеет действительные корни?
5.Сборщик получил три ящика деталей: в первом – 40 деталей, из них
20окрашенных, во втором – 50 деталей, из них 10 окрашенных, в третьем –
30деталей, из них 15 окрашенных. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, оказавшаяся окрашенной, извлечена из второго ящика.
6.Каждый моряк из экипажа, прибывшего в порт судна, может с веро- ятностью, равной 1/3 осматривать город, оставаться на корабле или нахо- диться в ресторане. Найти вероятность того, что из 203 членов экипажа в данный момент 71 моряк осматривает город.
7.Вероятность выигрыша в лотерее на 1 билет равна 0,4. Куплено
14билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соот- ветствующую вероятность.
8.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна р=0,3. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,9973 от- клонение относительной частоты попадания от вероятности р по абсолют- ной величине не превзошло 0,1?
9.Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,003. Определить вероятность того, что среди 1000 поступивших вызовов имеется 7 сбоев.
10.Составить закон распределения числа появления некоторого собы- тия при четырех неизвестных испытаниях, если в каждом испытании веро- ятность наступления этого события равна 1/3. Найти математическое ожи- дание и дисперсию этой случайной величины.
11.Случайная величина Х задана своей плотностью распределения:
f (x) = |
|
2C |
, -∞ < x < ∞. |
|
+ x2 |
||
1 |
|
||
19
Найти параметр С, функцию распределения случайной величины F(х), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне- ние, вероятность попадания этой случайной величины в интервал (0;1). Построить графики функций f(x), F(x).
12. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими зако- нами:
Х |
7 |
8 |
9 |
12 |
14 |
|
|
|
|
|
|
Р |
1/5 |
1/5 |
1/5 |
1/5 |
1/5 |
|
|
|
|
|
|
У |
4 |
5 |
12 |
17 |
|
|
|
|
|
Р |
1/5 |
1/5 |
2/5 |
1/5 |
|
|
|
|
|
Составьте законы распределения случайных величин Х+У и Х-У и най- дите их математическое ожидание и дисперсию.
13.Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина с дисперсией 0,004 отклонится от своего математиче- ского ожидания менее, чем на 0,16.
14.Двумерная дискретная случайная величина (Х,У) задана таблицей. Найти ее ковариацию, коэффициент корреляции и сделать вывод о зави- симости случайных величин Х и У.
х |
у |
2 |
3 |
4 |
|
||||
1 |
|
0,25 |
0,02 |
0,01 |
6 |
|
0,08 |
0,18 |
0,03 |
11 |
|
0,04 |
0,04 |
0,17 |
13 |
|
0,01 |
0,01 |
0,16 |
|
|
|
|
|
20