int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012
.pdf
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Очевидно, что решить это уравнение, т.е. однозначно найти скорость v2 шара массой M после удара мы не можем, так как это уравнение содержит две неизвестных величины v1 и v2. Поэтому нам необходимо записать еще одно уравнение, в которое вошли бы эти же величины, и тогда решить два уравнения с двумя неизвестными мы смогли бы. Такое уравнение нам дает закон сохранения импульса, согласно которому импульс mv0 шарика массой m до удара равен сумме импульса этого же шарика mv1 и импульса Mv2 шара массой M после удара. По закону сохранения импульса:
mv0 = mv1 + Mv2. |
(3) |
Теперь нам предстоит решить систему уравнений (2) и (3) с двумя неизвестными v1 и v2. С первого взгляда кажется, что ничего сложного в этом решении нет, достаточно выразить ненужную нам неизвестную скорость v1 из уравнения (3) и подставить ее в уравнение (2). Тогда в нем останется только одна неизвестная скорость v2, которую мы и найдем. Но на самом деле этот путь приведет к громоздкому решению, поэтому мы пойдем другим путем. Действия, которые мы проделаем, стоит запомнить, чтобы потом решать подобные задачи, не испытывая особых затруднений.
Перенесем слагаемые mv12 и mv1 в обоих уравнениях влево (сократив в уравнении (2) двойки в знаменателях):
mv 2 |
– mv |
2 = Mv 2, |
m(v 2 |
– v |
2) = Mv 2, |
(4) |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
mv0 – mv1 = Mv2, |
|
|
(5) |
||
|
m(v0 – v1) = Mv2. |
|
|
(6) |
||
Теперь разделим левые и правые части уравнений (4) и (6) друг на друга:
m (v02 − v12 ) |
Mv2 |
|
v2 |
− v2 |
|
v2 |
||
|
= |
2 |
, |
0 |
1 |
= |
2 |
. |
m (v0 − v1 ) |
Mv2 |
|
v0 − v1 |
v2 |
||||
Поскольку v02 – v12 = (v0 – v1) (v0 + v1), то, выполнив сокращения, получим:
v0 + v1 = v2.
Умножим каждый член этого уравнения на m, а затем сложим полученное выражение с уравнением (5). При этом
180
Раздел I. Механика
член, содержащий mv1, «уйдет» и мы легко найдем нужную нам скорость v2:
mv0 + mv1 = mv2
+
mv0 − mv1 = Mv2
2mv0 = v2 (m + M)
откуда
v2 |
= |
2mv0 |
. |
|
|||
|
|
m + M |
|
Нам осталось подставить полученное выражение в уравнение (1), и задача будет решена:
|
1 |
|
|
2mv0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
mv0 |
|
2 |
|||||||
cos α = 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 − |
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2gl m + M |
|
|
|
|
2gl m + M |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
mv0 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
cos α = 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
gl |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m + M |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
mv0 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: α = arc cos |
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
gl m |
M |
|
|
|
|
|
|
||||||||
С17. Ядро атома, имевшее кинетическую энергию Ek0, распалось на два осколка равной массы, которые разлетелись со скоростями v1 и v2. Под каким углом Dдруг к другу разлетелись осколки, если их общая кинетическая энергия после распада стала равна Ek?
Дано: |
|
Решение |
|
||
Ek0 |
|
Ядерные реакции, к которым относится и рас- |
v1 |
|
пад ядра, сопровождаются излучением или погло- |
v2 |
|
щением энергии. Поэтому здесь закон сохранения |
Ek |
|
механической (точнее, кинетической) энергии не |
|
|
выполняется, т.е. кинетическая энергия ядра до |
D — ? |
|
|
|
распада Ek0 не равна сумме кинетических энергий |
|
|
|
|
|
|
его осколков после распада. |
Но всегда выполняется другой закон сохранения — закон |
||
сохранения импульса, согласно которому импульс ядра до |
||
распада равен сумме импульсов и его осколков после рас- |
||
пада. Поскольку импульс — величина векторная, то этот закон в векторной записи примет вид:
181
Физика для старшеклассников и абитуриентов
|
|
|
p0 = |
p1 |
+ p2. |
Чтобы записать его в ска- |
|
|
лярном виде, рассмотрим па- |
|
|
раллелограмм со сторонами |
|
m |
и (рис. 135). Диагональ этого |
|
|
параллелограмма по правилу |
m |
|
векторного сложения является |
||
векторной суммой векторов |
|
|
и . |
|
|
По теореме косинусов
|
p1 |
α |
p0 |
|
180°–α |
p2
Рис. 135
p02 = p12 + p22 – 2p1p2 cos(180° – D) = = p12 + p22 + 2p1p2 cos D.
По определению импульса как произведения массы тела и его скорости имеем:
p0 = 2mv0, p1 = mv1, p2 = mv2. |
|
С учетом этого |
|
4m2v02 = m2v12 + m2v22 + 2mv1mv2 cos D, |
|
откуда, сократив m2, получим: |
|
4v02 = v12 + v22 + 2v1v2 cos D. |
(1) |
Здесь v0 — скорость ядра атома до разрыва нам не известна, но зато нам известна кинетическая энергия Ek0 ядра до распада. По формуле кинетической энергии
|
2mv2 |
|
2 |
= |
EÊ0 |
|
|
k = |
0 |
= |
2, откуда v0 |
|
. |
||
m |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
Правда, здесь есть не известная нам величина — масса осколка m. Но ее мы можем легко найти, зная общую кинетическую энергию осколков Ek после распада ядра и то, что эта общая кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий осколков
|
|
|
E = |
mv2 |
|
E = |
mv2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
и |
2 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ek = |
mv12 |
+ |
mv22 |
= |
m |
(v12 |
+ v22 ), |
откуда m = |
2Ek |
|
. |
|||||
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
v1 |
+ v2 |
||||
182
Раздел I. Механика
Тогда
|
|
|
|
|
v02 = |
|
Ek |
|
(v12 + v22 ). |
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2E |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставив (2) в (1), мы сможем найти искомый угол: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
Ek |
|
(v12 + v22 ) = v12 + v22 + 2v1v2 cos α, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2E |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k |
|
|
|
|
|
Ek |
|
(v12 + v22 )− (v12 + v22 ), |
|||||||||||||||||||||||||
2v1v2 cos α = 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
E |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2v1v2 cos α = (v12 + v22 ) 2 |
|
|
k |
|
|
− |
1 , |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
E |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 + v2 |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
cos α = |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
k |
|
− |
1 , |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2v v |
|
|
|
|
Ek |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
arc |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача решена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
|
arc |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
С18. Небольшое тело соскальзывает с вершины полусферы радиусом R (рис. 136). На какой высоте h тело сорвется с поверхности полусферы и полетит вниз? Трение не учитывать.
Ep0
|
mg cosα |
Ep+ Ek |
|
|
mg sinα |
||
|
α |
||
h |
α |
||
α |
|||
|
|||
|
|
||
|
mg |
||
R
Рис. 136
Обозначим g ускорение свободного падения, v0 – начальную скорость тела на вершине полусферы, Ep0 — потенциальную энергию тела на вершине полусферы, Ep — потенциальную энергию тела на высоте h, Ek — кинетическую энергию тела на высоте h, v – линейную скорость тела в момент отрыва
183
Физика для старшеклассников и абитуриентов
от поверхности, m — массу тела, D — угол между радиусом, соединяющим тело с центром полусферы, и вертикалью, aц — центростремительное ускорение тела.
Дано: Решение
RПо закону сохранения механической энергии
gпотенциальная энергия тела Ep0 на вершине полу-
v0 = 0 |
сферы, т.е. на высоте, равной радиусу полусферы |
||||||||
h — ? |
R, равна сумме его потенциальной Ep и кинетиче- |
||||||||
|
ской Ek энергий в любой другой точке, и значит, |
||||||||
D — ? |
|||||||||
и в момент отрыва тела на высоте h: |
|
||||||||
|
|
||||||||
|
Ep0 = Ep + Ek. |
|
|
|
|
|
|||
Здесь |
Ep0 = mgR, Ep = mgh |
и |
E = |
mv2 |
. |
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
k |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
mgR = mgh + mv2 , |
|
|
v2 |
|
|
|
||
|
gR = gh + |
. |
(1) |
||||||
|
2 |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
Для нахождения высоты h нам требуется определить линейную скорость тела v. Для этого воспользуемся вторым законом
Ньютона. В момент отрыва тела от поверхности полусферы на
него действует только сила тяжести mg, а сила реакции опоры становится равной нулю. Тело еще движется по окружности, поэтому центростремительное ускорение в каждой точке направлено по радиусу к центру полусферы. Спроецируем силу тяжести на радиус, соединяющий тело с центром полусферы в момент отрыва. Проекция mg cos D по второму закону Ньютона равна:
|
|
|
maц = mg cos D, |
aц = g cos D. |
|||
Поскольку |
|
|
|
|
|||
aö = |
v2 |
, |
то |
v2 |
= g cos D, |
откуда v2 = gR cos D. |
|
R |
R |
||||||
|
|
|
|
|
|||
Но угол D нам тоже не известен. Однако, если вниматель-
но посмотреть на чертеж, то можно заметить такой же угол
между вектором силы тяжести mg и радиусом, проведенным к телу в момент отрыва. Эти углы равны как накрест лежащие при параллельных и секущей. Из линейного прямоугольного треугольника с гипотенузой R и прилежащим к углу Dкатетом h следует, что
184
Раздел I. Механика |
|
|
|
cos α = h . |
|
|
|
R |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
v2 = gR h = gh. |
|
(2) |
|
R |
|
|
|
Подставив (2) в (1), получим: |
|
|
|
gR = gh + gh, |
gR = |
3 gh, |
|
2 |
|
2 |
|
откуда |
|
|
|
h = 2 R. |
|
|
|
3 |
|
|
|
Ответ: h = 32 R. |
|
|
|
С19. К концам двух вертикальных пружин одинаковой дли- |
|||
ны с жесткостями 10 Н/м и 30 Н/м подвешен стержень массой |
|||
3 кг длиной 2 м (рис. 137). На каком |
|
|
|
расстоянии от конца стержня, к ко- |
|
|
l |
торому прикреплена пружина с |
|
|
|
жесткостью 10 Н/м, надо подвесить |
k1 |
|
k2 |
груз, чтобы стержень остался в го- |
|
||
ризонтальномположенииипри этом |
|
F1 |
F2 |
|
|
||
пружины удлинились на 20 см? |
a |
|
О |
Обозначим k1 жесткость левой |
l |
b |
|
пружины, k2 — жесткость правой |
|
|
|
пружины, m — массу стержня, |
|
2 |
mg |
|
|
||
х — деформацию пружин, l — |
|
|
l1 |
длину стержня, l1 — расстояние |
|
|
|
от левого конца стержня до точки |
|
|
Рис. 137 |
подвеса груза, F1 —силу, вращающую стержень против часовой |
|||
стрелки, F2 — силу, вращающую стержень по часовой стрелке, |
|||
g — ускорение свободного падения, М — момент силы тяжести, |
|||
М1 — момент силы F1, М2 — момент силы F2. |
|
||
Дано:
k1 = 10 Н/м k2 = 30 Н/м m = 3 кг
l = 2 м
х = 20 см
l1 — ?
Решение
Пусть слева будет пружина с меньшей жесткостью, а справа — с большей. К пружинам снизу прикреплен горизонтальный стержень, к центру которого приложена сила тяжести mg, и подвешен груз на расстоянии l1 от левого конца. Чтобы стержень принял горизонтальное положение, надо к нему подвесить груз. Равно-
185
Физика для старшеклассников и абитуриентов
весие наступит, когда сумма моментов, вращающих стержень вокруг точки подвеса О груза по часовой стрелке, будет равна сумме моментов сил, вращающих его вокруг этой же точки против часовой стрелки. Против часовой стрелки вращают стержень вокруг точки О сила тяжести и сила F2, равная по модулю силе упругости, возникающей в правой пружине при ее деформации. А по часовой стрелке вращает стержень сила F1, тоже равная силе упругости в левой пружине. Согласно правилу моментов сил момент М силы тяжести mg плюс момент М2 силы F2 равен моменту М1 силы F1:
М + М2 = М1. |
(1) |
Момент силы равен произведению этой силы и ее плеча. Плечом силы тяжести mg является расстояние от точки ее приложения к стержню С до точки О, т.е. длина отрезка СО,
равная, как это следует из чертежа, l1− 2l , поэтому момент силы тяжести
|
|
l |
|
|
M = mg l1 |
− |
|
. |
(2) |
|
||||
|
|
2 |
|
|
Момент силы F2, которая, согласно закону Гука, равна по модулю k2x, где х — одинаковое удлинение обеих пружин (ведь стержень остался горизонтальным), равен произведению этой силы и ее плеча. А плечом силы F2 является отрезок Оb, равный l – l1. Поэтому момент силы F2
Ì2 = F2 (l−l1)= k2x(l−l2 ). |
(3) |
Момент силы F1, которая по модулю равна k1x, равен произведению этой силы и ее плеча. А плечом силы F1 является отрезок аО = l1. Поэтому момент силы F1
M1 = F1l1 = k1xl1 . |
(4) |
Подставим правые части равенств (2), (3) и (4) в правило моментов (1), после чего, раскрыв скобки, найдем искомое расстояние l1:
mg l1 − 2l + k2x(l−l1)= k1xl1.
Раскрываем скобки и находим l1:
mgl1 − mg 2l + k2xl − k2xl1 = k1xl1,
186
Раздел I. Механика
|
mgl1 |
− xl1 (k1 + k2 )= mg |
l |
|
− k2xl, |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|||||
откуда |
l = |
l(mg−2k2x) |
|
. |
|||||
2(mg− x(k1 + k2 )) |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
||||
Задача в общем виде решена. Произведем вычисления. 20 см = 0,2 м.
м = 0,8 м.
Ответ: l1 = 0,8 м.
С20. С края полусферы радиусом R, вершина которой лежит на горизонтальной плоскости, по внутренней поверхности полусферы скатывается без трения маленький кубик массой m и ударяется о другой маленький кубик вдвое большей массы, лежащий в самом низу полусферы. Какое количество теплоты выделится в результате неупругого удара?
Обозначим Ер — потенциальную энергию кубика массой m на краю полусферы, Еk — кинетическую энергию этого кубика в нижней точке полусферы перед ударом, Еk общ — общую кинетическую энергию кубиков сразу после удара, Q — количество теплоты, выделившееся в результате удара, g — ускорение свободного падения, v — скорость скатившегося кубика непосредственно перед ударом, vобщ — общую скорость кубиков сразу после удара.
Дано: Решение
RПо закону сохранения энергии количество
m |
теплоты, выделившейся в результате неупру- |
2m |
гого соударения кубиков, равно разности их |
gобщей кинетической энергии сразу после удара и потенциальной энергии кубика на краю полу-
Q — ? |
сферы: |
|
Q = Еk общ – Ер.
Общую кинетическую энергию и потенциальную энергию определим по формулам
|
|
(m + 2m)vîáù2 |
|
3mvîáù2 |
2 |
|
|
Еk общ |
= |
|
= |
|
= 1,5mvîáù |
и Ер = mgR. |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
187
Физика для старшеклассников и абитуриентов
С учетом этих равенств |
|
|
|
Q = 1,5mv2 |
– mgR = m(1,5v2 |
– gR). |
(1) |
îáù |
îáù |
|
|
Общую скорость кубиков сразу после удара найдем по закону сохранения импульса. Согласно этому закону импульс скатившегося кубика непосредственно перед ударом равен суммарному импульсу обоих кубиков сразу после удара:
mv = (m + 2m)vобщ, откуда vобщ = |
v |
. |
(2) |
|
3 |
||||
|
|
|
Скорость скатившегося кубика перед ударом найдем по закону сохранения механической энергии, согласно которому потенциальная энергия кубика на краю полусферы равна его кинетической энергии перед ударом:
Еk = Ер или |
mv2 |
= mgR, откуда v = 2gR. |
|
2 |
|||
|
|
Подставим правую часть этого равенства в выражение (2):
vобщ = |
2gR |
. |
(3) |
|
3 |
||||
|
|
|
Нам осталось подставить правую часть равенства (3) в формулу (1).
Q = m(1,5 |
2gR |
– gR) = mgR |
1 |
− 1 |
= – |
2 |
mgR. |
|
9 |
3 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
Знак «минус» свидетельствует о том, что механическая энергия кубиков уменьшилась.
Ответ: Q = 32 mgR.
188
Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика
Раздел II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Формулы молекулярной физики
Формула концентрации молекул
n = N V
Здесь n — концентрация (м–3), N — количество молекул (безразмерное), V — объем (м3).
Формула плотности
ρ= m V
Здесь U— плотность вещества (кг/м3), m — масса вещества (кг), V – объем (м3).
Формула относительной молекулярной массы
Мr = 1mo
12 mC
Здесь Мr — относительная молекулярная масса (безразмерная), mo — масса одной молекулы (кг), mC — масса атома углерода (кг).
Формула количества вещества (количества молей)
Q = m M
Здесь Q— количество вещества (количество молей) (моль), m — масса вещества (кг), М — молярная масса (кг/моль).
Формулы массы одной молекулы
m0 = |
m |
m0 = |
M |
m0 = ρ |
|
||||
|
N |
|
NA |
n |
Здесь m0 — масса одной молекулы (кг), m — масса вещества (кг), N — количество молекул (безразмерное), M — молярная
189