Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кванти - теорія та розвязки деяких задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Решение задач по теме 12:

«Атом водорода в магнитном поле. Спин»

Задачи

120. Определите уровни энергии и функции состояния

свободного электрона в магнитном поле с индукцией B , направленной по оси Oz .

Выберем координаты так, чтобы векторный потенциал магнитного поля имел компоненты

		Ax = −By ,		Ay = 0 , Az = 0 .
Уравнение Шредингера				r
				r
			(pr −eA)2		ψ = Eψ
приведем к виду			2m		ψ = Eψ
			2m

	h2	ih		∂ψ		e2		2	2
−		ψ − m eBy		∂x	+		B		y ψ = Eψ .
−	2m	ψ − m eBy		∂x	+	2m	B		y ψ = Eψ .

Так как коэффициенты его не зависят от x и z , то решение можно искать в виде

ψ = eiaxeibz f (y),

после подстановки и сокращения на экспоненты получим уравнение на f (y):

∂2 f

mω2

y2 f = εf

−

2m ∂y2

h2b2

где вводим обозначения

ω =

= y +

, ε = E −

Уравнение на f (y)

аналогично уравнению для квантового

гармонического осциллятора. Его решение

f (y )= Ce−

ξ2

(ξ),

2 H

где H

(ξ)

– полиномы Чебышева-Эрмита,

ξ =

mω0

y , собст-

венные значения этого уравнения

ε = n +

hω

. Функция элек-

трона в магнитном поле

ξ2

ψnab = Cneiaxeibze− 2 Hn (ξ),

h2b2

+ n +

hω .

Электрон свободно движется в магнитном поле вдоль его индукции, в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции, спектр энергий дискретен.

h2b2

Ответ: E

+ n +

hω , где ω =

ψnab = Cneiaxeibze

−

ξ2

ξ =

mω

2 Hn (ξ), при

123. Составьте вектор плотности тока для частицы в электромагнитном поле.

Запишем временное уравнение Шредингера

ih ∂ψ = (pr −eAr)2 ψ+eΦψ ,

∂t 2m

где A и Φ – скалярный и векторный потенциал электромагнитного поля. Раскроем скобки

∂ψ

ihe r

ihe

e2 r

= −

ψ +

A ψ +

div Aψ +

ψ + eΦψ .

∂t

Сопряженное ему уравнение:

∂ψ*

ihe

−ih

= −

−

A ψ

−

div Aψ

+ eΦψ

∂t

Составим

∂

= ψ*

∂ψ

∂ψ*

ψ. Домножим первое урав-

∂t

нение на ψ* , второе – на −ψ и сложим, разделим на ih.

∂

2 =

(ψ*

ψ −

ψ* ψ)+

(ψ* A ψ + ψ*

Aψ +ψ*ψdivA).

∂t

так как

div(ψ* ψ − ψ* ψ )=ψ*

ψ − ψ* ψ ,

div(Aψ*ψ)= ψ* A ψ + ψ* Aψ +div A ψ*ψ ,

то правую часть равенства можно записать как

∂

( ψ

ψ)−

= −div

ψ −ψ

∂t

Сравнивая с уравнением непрерывности

∂

2 +div rj = 0 ,

∂t

( ψ* ψ −ψ* ψ)−

делаем вывод, что

– плотность

тока.

( ψ* ψ −ψ* ψ)−

2 .

Ответ:

121. Вычислите магнитный момент атома водорода μL ,

обусловленный пространственным движением электрона.

Волновая функция электрона в атоме водорода

ψnlm (r, θ, ϕ).

Плотность тока

rj = −

ihe

(ψ* ψ −ψ ψ* )

в сферических координатах имеет проекции

= −

ihe

∂

−ψ

∂

nlm

∂r

nlm

nlm ∂r

nlm

= −

ihe

∂

−ψ

∂

nlm r∂θ

nlm

nlm r∂θ

nlm

jϕ = −	ihe	*	∂		∂	*
	2m	ψnlm r sin θ∂ϕ		ψnlm −ψnlm r sin θ∂ϕ
						ψnlm .
	e

Их средние значения:					eh
j		= 0 ,	j = 0 ,	j = −	eh	ψ	2 m .
	r		θ	ϕ	m r sin θ		nlm
					e

Равенство нулю первых двух средних значений – следствие действительности той части волновой функции, которая зависит от r и θ. При вычислении последней проекции был использован явный вид зависимости от угла ϕ волновой функции.

Ток распределен по поверхности шара. Представим полный момент в виде суммы моментов от кольцевых трубок токов радиусов r sin θ и площадью ds . Каждая трубка эквивалентна

кольцевому току dI = jϕ ds , обтекающему круг площади S = πr2 sin2 θ, тогда этот ток создает магнитный момент

dμL =	1	SdI = −	πehr sin θ	ψnlm	2 mds .

	c		cme
Полный магнитный момент

μL = −	ehm	∫	ψnlm	2 dV = −	ehm	= gL Lz ,

	2m c				2m c

	e				e

где Lz = hm – проекция момента импульса на ось Oz , а множитель

gL = − 2meec .

Ответ: μL = − ehm = gL Lz . 2mec

122. Оцените минимальный размер электрона на основании наличия у него спина.

Будем считать электрон однородным шаром радиуса r . Мо-

мент инерции шара I = 52 mr 2 , следовательно, момент импульса

L равен

L = Iω = 52 mr 2ω = 52 mr v .

Собственный момент электрона (спин)

J = h2 .

Из равенства собственного и механического моментов:

2	mr v =	h	,	r =	5h	,
5					4m v
	2

где v – максимальная скорость поверхности электрона не может превышать скорость света v < c . Для предельного случая возьмем максимальное значение скорости v = c

r =	5h	=	5 1,1 10−34	= 5 10−13 м.
	4mc		3 108 9,1 10−31
		4
Заметим, что радиус r =10−11 см принято называть классиче-
ским радиусом электрона.
Ответ: r = 5 10−13 м.
111. Найдите собственные значения и собственные функ-
			ˆ	ˆ
ции операторов проекций спина Sx и				Sy , выраженных через

матрицы Паули.

Операторы спина связаны с матрицами Паули
					ˆ			h	σˆ x, y, z
					Sx, y, z =						,
где матрицы Паули					Sx, y, z =			2			,
								2
							0 −i
σˆ		0	1	,	σˆ		0 −i			,	σˆ			1	0
σˆ	x	=		,	σˆ	y	=			,	σˆ	z	=		.
	x		0			y						z		0
		1	0				i		0					0	−1

Будем искать собственные функции этих операторов в виде столбца

Ψ= ψ1 ,

ψ2

где ψ1 и ψ2 – произвольные функции.

σˆ x		0	1	ψ1			ψ1		,	ψ2	= σxψ1			,
σˆ x	Ψ =σxΨ ,	1		ψ		= σx	ψ		,			ψ		,
		1	0	ψ	2		ψ	2		ψ = σ		ψ	2
откуда σ2x					2			2		1	x		2
откуда σ2x	=1, σx = ±1.
При σx =1 ψ1 = ψ2 , тогда

																	Ψ		= a 1 .
Пронормируем функцию																	1x				1
Пронормируем функцию																																1
				*						a			2				1			=	a		2	(1		+1)= 2		a		2	, a =		.
				*									2				1						2							2
		1 = Ψ1xΨ1x =												(1 1)
																	1															2
C учетом нормировки																	1			1												2
C учетом нормировки
																	Ψ1x	=				1
																	Ψ1x	=				.
																				2 1
	При σx = −1							ψ1 = −iψ2 , тогда с учетом нормировки
																Ψ2 x		=		1		1
																Ψ2 x		=		2						.
	Аналогично для σˆz : при																			2			−1
	Аналогично для σˆz : при																	σy =1							ψ1 = iψ2 ,					с учетом норми-
ровки																				1
																	Ψ1y	=		1		1				,
																	Ψ1y	=								,
																				2 i
при σy = −1						ψ1 = −iψ2 , с учетом нормировки
																Ψ2 y		=		1		1
																Ψ2 y		=		2			−i			.
																				2			−i										ˆ		ˆ
																																	ˆ		ˆ	,
	Те же функции соответствуют и операторам спина Sx																																	и Sy		,
но с собственными значениями:
при		Sx		=	h			Ψ1x			=			1			1			Sx = −						h	Ψ2 x		=		1	1
																	,																,
					2										2		,									2							,
					2										2		1									2					2	−1
при		Sy				h		Ψ1y				=		1			1			Sy						h	Ψ2 y =				1	1
				=														,				= −										.
				=	2										2			,				= −				2						.
					2										2		i									2					2 −i
	Ответ:							Sx, y								h				Ψ1x			=			1 1					Ψ2 x =		1		1
											= ±						,										,									,
											= ±				2		,										,						2			,
															2											2 1							2		−1
Ψ	=	1	1		,		Ψ		=				1				1
Ψ	=	2			,		Ψ		=								.
1y		2	i				2 y							2 −i

112. Найдите σˆ xn , σˆ yn , σˆzn , где σˆx , σˆ y , σˆz – матрицы Пау-

ли.

n	σˆx	n = 2k +1;
Покажем, что σˆ x	= ˆ	n = 2k.
	Ι	n = 2k.

Воспользуемся методом математической индукции.

σˆ 2 =

0 1

1 0

= Ιˆ ,

1 0

0 1

1 0

σˆ 3 =σˆ 2σˆ

1 0 0 1

0 1

=σˆ

0 1 1 0

1 0

Пусть справедливо: σˆ xn

= Ιˆ , тогда

σˆ n+1 =σˆ nσˆ

1 0 0 1

0 1

=σˆ

0 1 1 0

1 0

σˆ n+2

=σˆ n+1σˆ

0 1 0 1

1 0

= Ιˆ , ч.т.д.

1 0 1 0

0 1

Пусть справедливо: σˆ xn

=σˆ x , тогда

σˆ n+1

=σˆ nσˆ

0 1 0 1

1 0

= Ιˆ ,

1 0 1 0

0 1

σˆ n+2

=σˆ n+1σˆ

1 0 0 1

0 1

=σˆ

,ч.т.д.

0 1

1 0

Аналогично σˆ yn

σˆ

n = 2k +1;

σˆ zn

σˆ

n = 2k +1;

ˆy

n = 2k.

ˆz

n = 2k.

σˆ

n =

2k +1;

σˆ x

Ответ: σˆ x

= 2k.

σˆ y

n = 2k.

σˆ

n = 2k +1;

σˆ zn = ˆz

n = 2k.

113. Рассматривая матрицы Паули как компоненты векторного оператора σrˆ , найдите скалярное (σrˆ;σrˆ ), векторное

[σrˆ;σrˆ ] и смешанное произведение (σrˆσrˆσrˆ ) матриц-операторов.

По определению скалярного произведения

(σrˆ;σrˆ )=σˆ xσˆ x +σˆ yσˆ y +σˆ zσˆ z =

0 1 0 1 0

−i 0

−i 1 0 1 0

1 0

=3Ι

1 0 1 0 i

−1 0

−1

0 1

где Ιˆ

– двумерная единичная матрица.

По определению векторного произведения

rˆ

=σˆ σˆ

−σˆ

σˆ

0 −i 1 0

1 0 0

−i

;

−

[

−1 0

−1 i

−

−i

0 1

2iσˆ

;

−i

1 0

rˆ

=σˆ

σˆ

−

σˆ

1 0 0 1

−

0 1 1 0

;

[

1 0

0 −1

1 0

−1

0 1 0 −1

−i

= 2iσˆ

;

−

−1 0 1 0

rˆ

=σˆ

σˆ

−

σˆ

0 1 0

−i

−

0 −i 0 1

;

[

1 0 i

0 i

1 0

−i

1 0

= 2iσˆ

;

−

−i

−1

rˆ

]

σˆ

z )

rˆ

;

[

;

2i(

По определению смешанного произведения

(σrˆσrˆσrˆ )= ([σrˆ;σrˆ ];σrˆ )= 2i(σrˆ;σrˆ )= 2i 3Ιˆ = 6iΙˆ .

Ответ: (σrˆ;σrˆ )= 3Ιˆ , [σrˆ;σrˆ ]= 2iσrˆ , (σrˆσrˆσrˆ )= 6iΙˆ .

114. Найдите коммутаторы операторов σˆx

и σˆ y .

Коммутатор матриц Паули

σˆ

y ]

0 1 0

−i

−i 0 1

[

x ;

1 0

i		0	−i		0	1		0	= 2iσˆ		.
=			−			= 2i			= 2iσˆ	z	.
	0			0	i		0			z
	0	−i		0	i		0	−1

σˆ

x ;

σˆ

y ]

σˆ

z .

Ответ: [

115.

Найдите операторы σˆ+ =

σˆ x +iσˆ y

и σˆ− =

σˆx

−iσˆ y

коммутатор операторовσˆ+2 и σˆ−2 ,

коммутатор этих операто-

ров с операторами σˆx ,

σˆ y

и σˆz .

Найдем коммутатор операторов:

[

− ]

σˆ x

+iσˆ y

;

σˆ x −iσˆ y

([

x ;(

y )]

y ;(

y )])

σˆ

−

σˆ

−

σˆ

= 14 ([σˆ x ;σˆ x ]−i[σˆ x ;σˆ y ]+i[σˆ y ;σˆ x ]+[σˆ y ;σˆ y ])= 4i ([σˆ y ;σˆ x ]−[σˆ x ;σˆ y ])=

= − 2i [σˆ x ;σˆ y ]= − 2i 2iσˆ z =σˆ z .

σˆ

x ]

σˆ x +iσˆ y

;

σˆ

x ;

σˆ

]

σˆ

y ;

σˆ

x ])

= −

σˆ

=σˆ

[

2 ([

σˆ

y ]

σˆ x +iσˆ y

;

σˆ

x ;

σˆ

]

σˆ

y ;

σˆ

y ])

σˆ

[

2 ([

σˆ x

+iσˆ y

[

z ]

;

([

x ;

z ]

y ;

])

σˆ

= 12 (−2iσˆ y +i2iσˆ x )= −σˆ+ .

Аналогично

σˆ

−;

σˆ

]

σˆ x −iσˆ y

;

σˆ

x ;

σˆ

x ]

−

σˆ

y ;

σˆ

x ])

σˆ

= −σˆ

[

([

σˆ

−;

σˆ

]

σˆ x −iσˆ y

;

σˆ

x ;

σˆ

y ]

−

σˆ

y ;

σˆ

y ])

= −

σˆ

= −

σˆ

[

([

σˆ x

−iσˆ y

[

−;

z ]

;

([

x ;

z ]

y ;

])

σˆ

−

σˆ

(−2iσˆ y −i2iσˆ x )=σˆ− .

σˆx +iσˆ y

σˆ

σˆ σˆ

σˆ

−σˆ

y )

4 (

= 14 (σˆ x2 +iσˆ xσˆ y +iσˆ yσˆ x −σˆ y2 ).

Найдем произведение матриц:

σˆ σˆ

0 1

0 −i i

= iσˆ

= i

1 0

−i

−1

σˆ

0 −i

0 1 −i

= −iσˆ

= −i

1 0

−1

σˆ+2 =

(Iˆ

−σˆ z +σˆ z − Iˆ)= 0 .

σˆ

σˆ x −iσˆ y

σˆ

−

σˆ

−

σˆ

−σˆ

)

−

(

σˆ

−

σˆ

−

σˆ σˆ

−σˆ

+σˆ

−σˆ

−

y )

I )

0 .

4 (

Ответ:

σˆ

− ]

=σˆ

σˆ

x ]

=σˆ

z ,

σˆ

;

σˆ

]

σˆ

z ,

[

σˆ

]

= −σˆ

+ ,

σˆ

−;

σˆ

]

= −σˆ

z ,

σˆ

−;

σˆ

]

= −

σˆ

z ,

σˆ

−;

σˆ

z ]

=σˆ

− ,

[

σˆ+2 = 0 , σˆ−2 = 0 .

116. Для операторов σˆ+

σˆ x +iσˆ y

и σˆ− =

σˆ x

−iσˆ y

пока-

жите, что для любых целых n справедливо (σˆ+σˆ− )n =σˆ+σˆ− .

Воспользуемся методом математической индукции. Для n =1

σˆ+σˆ− ≡σˆ+σˆ− – тождество.

Вычислим

y )(

y )

(

y )

−

(

σˆ σˆ

= 1

σˆ

−

σˆ

= 1

σˆ 2

σˆ

−

σˆ

+σˆ 2

= 1

(2Iˆ

−i2iσˆ z )=

(Iˆ

+σˆ z ).

Проверим для n = 2

(

z )

ˆ2

)

− )

2 (I

+σˆ

σˆ

+σˆ

z I

+σˆ

σˆ σˆ

(2Iˆ + 2σˆ z )

(Iˆ

+σˆ z )=σˆ+σˆ

− .

Пусть для n справедливо

(σˆ+σˆ− )n =σˆ+σˆ− ,

покажем,

что это

верно для n +1 :

(σˆ+σˆ− )n+1 = (σˆ+σˆ− )n (σˆ+σˆ− )= (σˆ+σˆ− )(σˆ+σˆ− )=σˆ+σˆ− ,

это верно для любых n , что требовалось доказать.

117. Найдите собственные значения скалярного произве-

дения (σrˆ1;σrˆ2 ) двух электронов, пользуясь тем, что σrˆ1 и σrˆ2

перестановочны.

Так как σrˆ1 и σrˆ2 перестановочны, то

(σrˆ1 +σrˆ2 )2 =σˆ12 +σˆ22 + 2σrˆ1σrˆ2 .

Сумма двух моментов изменяется от их суммы до разности,

так что суммарный спин принимает значения 1 и 0. Так как σrˆ – удвоенный оператор спинового момента, то соответствующие

максимальные проекции вдвое больше. Поэтому, когда спины

складываются как параллельные векторы, собственное значение

квадрата (σrˆ1 +σrˆ2 )2 в четыре раза больше,

чем соответствующего

квадрата момента, т.е. равно

4 1 2 =8 ,

когда же спины антипа-

раллельны, оно равно 0.

Итак, собственное значение (σrˆ1;σrˆ2 )

при параллельных спи-

нах равно 8 −6 =1 и при антипараллельных спинах 0 −6 = −3 .

Ответ: 1, –3.

118. Докажите справедливость равенства:

)

а) sin(σxψ)= σx sin

ψ , б) cos(σzψ )= cosψ .

а) Разложим в ряд

)

(σ

ψ)

(σ

ψ)

sin σ

ψ =

ψ +

+... =

)

σ3ψ3

σ5ψ5

ψ +

...

= σ

sin ψ , ч.т.д.

б) Аналогично

)

(σxψ)

€

cos σzψ = 1

−

−...

= Ιcos ψ, ч.т.д.

119.

равенства

Докажите

справедливость

)

ψ .

eiσz ψ =cosψ+iσz sin

Аналогично решению задачи 85 разложением в ряд экспонен-

ты.

)

eiσz ψ =1

iσzψ

(iσz

ψ)

(iσz

ψ)

(iσz

ψ)

(iσzψ)

+... =

)

=1 +i

σzψ

−

(σzψ)

−i

(σzψ)

+... =

)

(σ

ψ)

(σ

ψ)

(σ

ψ)

(σ

ψ)

1 −

+... +i

−

+... .

Так как

)

(σ

ψ)

(σ

ψ)

sin σ

ψ =

ψ +

+...

= σ

sin ψ ,

)

(σ) ψ )2

(σ)

ψ )4

= Ιˆ cosψ ,

cosσ ψ = 1−

−...

то eiσ)z ψ =cosψ+iσ)z sin ψ, ч. т. д.

124. Проверьте, являются ли матрицы Дирака эрмитовыми.

Матрицы Дирака связаны с матрицами Паули соотношением:

γˆ	=		0							−iσˆk		k =1,2,3;					γˆ	=	Iˆ	0	,
γˆ	=										,	k =1,2,3;					γˆ	=			,
k										0								4
			iσˆk							0									0	− Iˆ
где матрицы Паули										0	1							0	−i
		σˆ					=σˆ			0	1	, σˆ			=σˆ		=	0	−i
		σˆ			1		=σˆ		x	=		, σˆ		2	=σˆ	y	=			,
					1				x					2		y			0
										1	0							i	0
	σˆ					=σˆ				1	0		ˆ		1		0
	σˆ		3			=σˆ		z		=			, I	=			.
			3					z
Тогда										0	−1				0		1
Тогда
		0 0 0									−i						0 0 0 −1
				0 0						−i	0						0 0 1 0
γˆ	=			0 0						−i	0	,	γˆ		=		0 0 1 0				,
γˆ	=											,	γˆ		=						,
1				0			i			0 0				2			0 1 0 0
				0			i			0 0							0 1 0 0
							0 0 0									−1 0 0 0
		i					0 0 0									−1 0 0 0
		0 0								−i	0					1 0 0 0
				0 0 0							i					0 1 0 0
γˆ	=			0 0 0							i	,	γˆ		=	0 1 0 0					.
γˆ	=											,	γˆ		=						.
3							0 0 0							4		0 0 −1 0
		i					0 0 0									0 0 −1 0
				0			−i			0 0
				0			−i			0 0						0 0 0 −1
Условие эрмитовости:

						(ψ;γˆ1ϕ)= (γˆ1ψ;ϕ),
	ψ			ϕ
	ψ	1		ϕ	1
где ψ =	ψ		, ϕ =	ϕ		,
где ψ =	ψ2		, ϕ =	ϕ2		,
		3			3
	ψ4			ϕ4
	ψ4			ϕ4

первый множитель в скалярном произведении – транспонированный и комплексно сопряженный вектор.

0 0 0 −i ϕ

−iϕ

0 0

−i

γˆ ϕ =

ϕ2

−iϕ3

0 0

ϕ3

iϕ2

0 0 0

iϕ

−iϕ

−iϕ34

(ψ; γ1ϕ)= (ψ1

ψ2

ψ3

iϕ2

ψ4 )

iϕ

= −iψ*ϕ

−iψ*

ϕ +iψ*ϕ

+iψ*ϕ .

(1)

Теперь найдем

0 0 0 −i

−iψ

γˆψ =

0 0

−i

−iψ3

0 0

iψ2

0 0 0

iψ1

транспонируем и возьмем комплексное сопряжение:

γˆψ

T* =

−

ψ*

−

(

)

1 ),

найдем скалярное произведение:

γˆψ

−

ϕ2

)

1 )

( 1 ;

ϕ4

= iψ *4 ϕ1 + iψ *3 ϕ2 − iψ *2 ϕ3 − iψ1* ϕ4 ,

что совпадает с (1).

Аналогично можно доказать эрмитовость остальных матриц

Дирака: (ψ;γˆ

ϕ)

= (γˆ ψ;ϕ)

= −ψ*ϕ +ψ

*ϕ

+ψ

*ϕ

−ψ

*ϕ

(ψ;γˆ

ϕ)

= (γˆ ψ;ϕ)

= −ψ

*ϕ +ψ

*ϕ

+ψ

*ϕ

−ψ

*ϕ

(ψ;γˆ

ϕ)

= (γˆ ψ;ϕ)

= −ψ*ϕ +ψ

*ϕ

+ψ

*ϕ

−ψ

*ϕ

125. Найдите произведения матриц Дирака:

γˆ1γˆ4 , γˆ2γˆ4 , γˆ3γˆ4 , γˆ1γˆ2 , γˆ1γˆ3 , γˆ2γˆ3 .

Матрицы Дирака:

Iˆ

γˆ

−iσˆk

k =1,2,3;

γˆ =

iσˆk

− Iˆ

Найдем для k =1,2,3 :

−iσˆ

γˆ

= γˆ .

− Iˆ

iσˆk

Найдем для k, n =1,2,3 :

γˆ γˆ

−iσˆ

σˆ

iσˆk

iσˆn

σˆkσˆn

Учитывая, что σˆkσˆn

= iσˆm

для (knm)

= (123

)= (231)= (312), и

σˆkσˆn = −iσˆm

для (knm)=

(321)= (213)= (132),

γˆ

iσˆ

для

(knm)= (123)= (231)= (312),

iσˆm

γˆ

−iσˆ

для (knm)= (321)= (213)= (132).

−iσˆm

γˆ3γˆ4

= γˆ3 ,

Ответ: γˆ1γˆ4 = γˆ1 , γˆ2γˆ4

= γˆ2 ,

γˆ γˆ

iσˆ

γˆ γˆ

−iσˆ

iσˆ

1 3

−iσˆ

γˆ

iσˆ

iσˆ1

126. Покажите, что матрицы Дирака антикоммутируют.

Найдем произведение матриц для k, n ≠ 4 :

γˆ	γˆ			0
γˆ	γˆ		=
k		n
			iσˆk
γˆ	γˆ			0
γˆ	γˆ	k	=
n		k
			iσˆn

−iσˆ	0		−iσˆ		σˆ		σˆ		0
	k			n		k		n			,
0			0		=	0					,
0	iσˆn		0			0			σˆkσˆn
−iσˆ	0		−iσˆ		σˆ		σˆ		0
0	n		0	k		n		k	σˆ σˆ
0	iσˆ	k	0		=	0			σˆ σˆ	.
		k							n	k

Найдем сумму произведений, учитывая, что матрицы Паули антикоммутируют, т.е. σˆnσˆk +σˆkσˆn = 0 ,

γˆ γˆ

+γˆ

γˆ

σˆ σˆ

σˆ

σˆ σˆ

σˆ

n k

k n

σˆ

+σˆ

σˆ

+σˆ

σˆ

= 0 .

Аналогично

−iσˆ

γˆ

0 − Iˆ

iσˆk

−iσˆ

γˆ γˆ

−iσˆk

4 k

0 − Iˆ iσˆk

Найдем сумму произведений

iσˆ

−iσˆ 0 k .k

γˆ	γˆ	+γˆ	γˆ	0	iσˆ		0		−iσˆ		= 0 .
γˆ	γˆ	+γˆ	γˆ	=		k	+			k	= 0 .
k	4	4	k		0			−iσˆk	0
				iσˆk	0			−iσˆk	0

Вывод: матрицы Дирака антикоммутируют.

127. Найдите собственные значения матриц Дирака.

Матрицы Дирака:

		0		0 0		− i						0	0	0	−1
			0	0	− i		0					0	0	1	0
γˆ	=		0	0	− i		0	,	γˆ	2	=	0	0	1	0	,
1			0	i	0		0			2		0	1	0	0
			0	i	0		0					0	1	0	0
				0 0			0					−1 0		0	0
		i		0 0			0					−1 0		0	0

	0 0 − i										0										1 0 0								0
		0 0							0		i											0 1 0							0
γˆ	=	0 0							0		i		,			γˆ		4		=		0 1 0							0	.
3					0				0 0									4				0 0					−1 0
	i				0				0 0													0 0					−1 0
		0			− i				0 0													0 0 0
		0			− i				0 0													0 0 0						−1
Уравнение на собственные функции и собственные значения
										γˆ1ψ = λψ
	0 0 0										− i ψ										− iψ							λψ
			0 0					− i			0						1								4					1
			0 0					− i			0		ψ2							=	− iψ3							λψ 2
γˆ1ψ =			0		i			0			0									=			iψ2				=	λψ			.
			0		i			0			0		ψ3										iψ2					λψ		3
					0 0						0												iψ1					λψ
	i				0 0						0		ψ				4			λ			iψ1					λψ		4
Получаем систему уравнений на																				λ	:
	−iψ4 = λψ1 ,											−iψ3 = λψ2 ,
	−iψ = λψ ,											iψ				2			= λψ				,
				3				2								2						3			λ2			=1 .
				3				2												= λψ1,					λ2			=1 .
	iψ2			= λψ3 ,								−iψ4								= λψ1,
			= λψ4				,																,
	iψ1		= λψ4				,						iψ = λψ									4	,
															1							4
При λ =1 ψ3 = iψ2 ,										ψ4	= iψ1 , волновая функция:
																ψ			1
										ψ			=		ψ				1
										ψ			=		ψ				2	.
												+		iψ2

														iψ1
При λ = −1 ψ3 = −iψ2 ,											ψ4 = −iψ1 , волновая функция:
																ψ			1
															ψ				1
										ψ			=		ψ				2	.
											−			− iψ						2

														− iψ1
						0 0 0 −1 ψ																				−ψ		λψ
																							1					4					1
Для γˆ	:	γˆ		ψ	=			0		0			1					0		ψ2				=			ψ3		=			λψ	2 .
2		γˆ		ψ	=																			=					=
			2					0 1 0 0																			ψ2					λψ
								0 1 0 0												ψ			3				ψ2					λψ	3
							−1 0 0 0																				−ψ					λψ
							−1 0 0 0													ψ			4				−ψ	1				λψ	4
Получаем систему уравнений на λ																					:

−ψ4 = λψ1 ,

ψ3 = λψ2 ,

= λψ

ψ2 = λψ3 ,

= λψ3 ,

λ =1 .

ψ2

− ψ4

= λψ1,

− ψ = λψ

−ψ1 = λψ4 ,

При λ =1 ψ3 = ψ2 ,

ψ4

= −ψ1 , волновая функция:

ψ1

− ψ1

При λ = −1

ψ3 = −ψ2 , ψ4 = ψ1 , волновая функция:

−

− ψ2

ψ1

0 0

− i

0 ψ

− iψ

λψ

iψ4

Для γˆ3 : γˆ ψ =

λψ

2 .

0 0

λψ

iψ1

− i

0 0

− iψ

λψ

Получаем систему уравнений на λ :

−iψ3 = λψ1 ,

= λψ2 ,

iψ4

iψ1 = λψ3 ,

= λψ3 ,

λ =1 .

iψ1

iψ4 = λψ2 ,

= λψ4 ,

−iψ2 = λψ4 ,

−iψ2

При λ =1 ψ3 = iψ1 ,

ψ4

= −iψ2 , волновая функция:

ψ1

iψ1

− iψ

При λ = −1 ψ3 = −iψ1 ,

ψ4 = iψ2 , волновая функция:

										ψ	1
										ψ	1
						ψ		=		ψ	2	.
							−			− iψ1
										iψ2
			1		0		0			0 ψ			1
													1
Для γˆ4	: γˆ ψ	=		0	1		0			0	ψ		2	=
	4			0	0	−1				0
				0	0	−1				0	ψ		3
				0	0		0
				0	0		0			−1 ψ			4
Получаем систему уравнений на												λ :
						ψ1 = λψ1 ,
									= λψ2 ,
						ψ2			= λψ2 ,
										= λψ3 ,
						−ψ3				= λψ3 ,
										= λψ4 .
						−ψ4				= λψ4 .

ψ	1			λψ	1
	1				1
ψ2				λψ 2
−ψ			=	λψ	3	.
		3			3
−ψ				λψ 4
−ψ		4		λψ 4

ψ1

При λ =1 ψ4 = ψ3 = 0 , волновая функция: ψ+ = ψ2 .

							0
При λ = −1 ψ		= ψ		= 0 , волновая функция: ψ			0
При λ = −1 ψ	2	= ψ	1	= 0 , волновая функция: ψ	−	=	ψ3	.
	2		1		−		ψ3
Ответ: λ = ±1 .							ψ4
Ответ: λ = ±1 .

128. Найдите коммутаторы матриц Дирака.

Найдем произведение матриц для k, n ≠ 4 :

γˆ	γˆ			0
γˆ	γˆ	k	=
n		k
			iσˆn
γˆ	γˆ			0
γˆ	γˆ		=
k		n
			iσˆk

−iσˆ	0		−iσˆ		σˆ		σˆ		0
0	n		0	k		n		k	σˆ σˆ		,
0	iσˆ	k	0		=	0			σˆ σˆ		,
		k							n	k
−iσˆ	0		−iσˆ		σˆ		σˆ		0
	k			n		k		n
0			0		=	0				.
0	iσˆn		0			0			σˆkσˆn

Найдем разность произведений, учитывая, что коммутаторы

матриц Паули σˆkσˆn = iσˆm для (knm)= (123)= (231)= (312), и

σˆkσˆn = −iσˆm для (knm)= (321)= (213)= (132),

γˆ

−

γˆ

σˆ σˆ

0 σˆ

σˆ

σˆ σˆ

−

σˆ

n k

k n

σˆ σˆ

−

σˆ

−σˆ

σˆ

−iσˆm

для

(knm)= (123)= (231)= (312),

−iσˆm

iσˆ

для

(knm)= (321)= (213)= (132).

iσˆ

Аналогично

−iσˆ

iσˆ

γˆ

0 − Iˆ

iσˆk

−iσˆ

γˆ γˆ =

0 − Iˆ iσˆk

−iσˆk

Найдем сумму произведений

γˆ

γˆ −γˆ

γˆ

iσˆ

−

−iσˆ

2iσˆ

k .

iσˆk

−iσˆk

2iσˆk

Ответ:

−iσˆm0

γˆnγˆk −γˆkγˆn == iσˆm0

γˆkγˆ4 −γˆ4γˆk = 2i0σˆk

0		для (knm)= (123)= (231)= (312),


−iσˆm
0		для (knm)= (321)= (213)= (132).
		для (knm)= (321)= (213)= (132).
iσˆm
2iσˆ
	k
0	.
0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2019346 Кб2Камбоджа.docx
#
01.07.2025289 Кб1Кастельс М. Информационная эпоха экономика, общество и культура Гл. 6.doc
#
01.07.202512 Мб1КАСТОМ-СЛОВАРЬ www.livetoride.org.ua.doc
#
01.07.2025316 Кб0Каталог анотацій авторефератів дисертацій_1.doc
#
03.08.2019167 Кб2КАТЕГОРИИ.docx
#
07.03.20163 Мб25Кванти - теорія та розвязки деяких задач.pdf
#
01.03.202531 Кб0КЗ1.docx
#
01.05.202528 Кб0Київська Русь.docx
#
01.07.202546 Кб0Київський національний університет імені Тараса Шевченка.docx
#
01.07.202534 Кб0Київський національний університет імені Тараса Шевченка.docx
#
09.12.201848 Кб24Київський національний університет імені Тараса....docx