emph_f

Из леммы 4.5 вытекает следующий результат.

Лемма 4.6. Пусть при выполнении условий (i), (ii), (iv) излученное поле принадлежит Hloc1 ( e; ) и L = 0 в e. Если, кроме того,

то = 0 в e.

Легко проверить, что для слабых решений, введенных в определении 4.1, также справедливы (с соответствующими изменениями) леммы 4.3 и 4.4. Следствиями их являются следующие теоремы единственности.

Теорема 4.3. При выполнении условий (i), (ii), (iv) решение2 Hloc1 ( e; ) задачи Дирихле (4.2) или задачи Неймана (4.3) единственно. То же самое справедливо для третьей краевой задачи (4.4), если

сопряжения (4.6), (4.7) единственно.

По еще более простой схеме доказывается единственность решений внутренних краевых задач для уравнения Гельмгольца, но только в случае, когда Imk > 0. Действительно, пусть 2 H1( ; ) – решение однородного уравнения Гельмгольца (2.4). Применим формулу Грина (4.16) к функциям

u = и v = . Учитывая, чтобы = k2 , будем иметь

ZZ

Если является решением однородной задачи Дирихле, так что j = 0, либо однородной задачи Неймана, так что @ =@nj = 0, то правая часть (4.20) обращается в нуль. В силу условия Imk > 0 это возможно тогда и

R

только тогда, когда j j2dx = 0. Следовательно, = 0. Отсюда вытекает следующая теорема единственности.

Теорема 4.5. Пусть выполняется условие (iv), причем Imk > 0. Тогда внутренняя задача Дирихле или Неймана имеет не более одного решения из пространства H1( ; ).

Аналогичный результат можно получить и для третьей краевой задачи. Отметим, что условие Imk > 0, входящее в теорему 4.5, является существенным. Действительно, решение внутренней задачи может быть не единственным. Это будет всегда, когда число k2 является собственным значением задачи Дирихле или Неймана для оператора Лапласа. Более подробно об этом можно прочитать в [3,46,65,66].

431

/home/users/ULIANA/3_3_312-eps-converted-to.pdf

432

Рис. 3.4

T

K

X

433

/home/users/ULIA

/home/users/ULIA

434

/home/users/ULIANA/4441-eps-converted-to.pdf

Рис. 4.1

435

Рис. 1.1

Рис. 1.3

436

Литература

[1]Адамар Ж. Задачи Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978. 352 с.

[2]Алексеев Г.В. Обратные задачи излучения волн и теории сигналов. Ч. 1, 2. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 1991. 276 с.

[3]Алексеев Г.В. Метод нормальных волн в подводной акустике. Владивосток: Дальнаука, 2006. 360 с.

[4]Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 365 с.

[5]Алексеев Г.В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнитной гидродинамики. М.: Науч. мир, 2010. 412 c.

[6]Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 432 с.

[7]Бабич В.М., Григорьева Н.С. Ортогональные разложения и метод Фурье. Л.: Издво Ленингр. ун-та, 1983. 240 с.

[8]Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. 352 с.

[9]Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 296 с.

[10]Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1965. 608 с.

[11]Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.

[12]Галанин М.П., Попов Ю.П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах (математическое моделирование). М.: Наука, Физматлит, 1995. 300 с.

[13]Гильбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 464 с.

[14]Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 416 с.

[15]Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 640 с.

[16]Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 2. М.: МЦНМО, 1998. 788 с.

[17]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974. 296 с.

[18]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1. М.: Наука, 1971. 600 с.

438

[19]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.2. М.: Наука, 1980. 448 с.

[20]Коробейников В.П. Принципы математического моделирования. Владивосток: Дальнаука, 1997. 240 с.

[21]Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов И.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматиздат, 1962. 712 с.

[22]Крикунов Ю.М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1970. 210 с.

[23]Курант Р. Уравнения с частными производными: пер. с англ. М.: Мир, 1964. 832 с.

[24]Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления: пер. с нем. Т. 1. М.; Л.: Гостехиздат, 1967. 704 с.

[25]Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления: пер. с нем. Т. 2. М.; Л.: Гостехиздат, 1970. 672 с.

[26]Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики: пер. с нем. Т. 1, 2. М.; Л.: Гостехиздат, 1951.

[27]Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СОАН СССР, 1962. 92 с.

[28]Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

[29]Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1988. 215 c. (Теоретическая физика; Т. 1).

[30]Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 c. (Теоретическая физика; Т. 4).

[31]Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука, 1989. 768 c. (Теоретическая физика; Т. 3).

[32]Мизохата. Теория уравнений с частными производными. М: Мир, 1977. 504 с.

[33]Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957.

[34]Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392 с.

[35]Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 432 с.

[36]Михлин С.Н. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. 232 с.

[37]Никифоров А.Ф., Уваров В.В. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978.

[38]Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1978. 544 с.

439

[39]Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 2. М.: Наука, 1973. 392 с.

[40]Овсянников Л.В. Введение в механику сплошных сред. Т. 2. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1977. 140 с.

[41]Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматиздат, 1961. 400 с.

[42]Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. 128 с.

[43]Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1979. 336 c.

[44]Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.

[45]Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука, 2005. 320 с.

[46]Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. 416 c.

[47]Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. М.: Наука, 1974. 656 c.

[48]Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 4. Ч. 1. М.: Наука, 1981. 552 c.

[49]Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1974. 208 с.

[50]Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

[51]Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959. 468 с.

[52]Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39, N 5. С. 195–198.

[53]Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.

[54]Тихонов А.Н., Васильева А.В., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 232 с.

[55]Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984. 190 с.

[56]Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. 800 с.

[57]Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. М.: Гидрометеоиздат, 1980. 320 с.

[58]Шишмарев И.А. Введение в теорию эллиптических уравнений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. 184 с.

[59]Dautray R., Lions J.-L. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Vol.1. Physical Origins and Classical Methods. Berlin; Heidelberg: SpringerVerlag, 1988. 720 p.

440