Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

дут на 7 500 000 м больше, т. е. óÀ = 7 514 837,4 ì, óÂ = 7 293 631,3 м. Абсциссы точек на всей территории России положительны, их˝ оставляют без изменения.

11.2.МАСШТАБ ИЗОБРАЖЕНИЯ И ИСКАЖЕНИЯ ДЛИН ЛИНИЙ

ÂПРОЕКЦИИ ГАУССА—КРЮГЕРА. ИЗОБРАЖЕНИЕ КООРДИНАТ ГАУССА—КРЮГЕРА ЧЕРЕЗ СФЕРИЧЕСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ

Проекция Гаусса—Крюгера является равноугольной, так как˝ в ней не искажаются горизонтальные углы геометрических фи˝гур земной поверхности. Поэтому бесконечно малые фигуры в эти˝х

проекциях подобны соответствующим фигурам на эллипсоид˝е.

В проекции Гаусса—Крюгера, кроме того, не искажаются длины дуг осевых меридианов. Длины других линий и площади фигур˝ в

этой проекции получаются искаженными.

Значение искажения зависит от масштаба изображения линий в

проекции, т. е. отношения длины бесконечно малого отрезка˝ в проекции к длине соответствующего отрезка на сфероиде (ш˝аре).

Если длина малого отрезка на сфероиде (шаре) равна S, а длина его изображения в проекции Гаусса—Крюгера — Sã, то масштаб

изображения ò длины линии в этой проекции можно выразить приближенным равенством

которое будет тем точнее, чем меньше значение S.

Относительное искажение длин линий определяется отноше˝- нием

Масштаб изображения в пределах одной и той же зоны разли-

чен и зависит от удаленности отрезка от осевого меридиана˝. Для

установления этой зависимости дадим понятие о прямоугольных сферических координатах.

Представим Землю в виде шара (рис. 11.2, à). Примем осевой меридиан и экватор за оси координат õ è ó. Положение точки N можно определить при помощи дуги NîN = y большого круга, пер-

пендикулярного к осевому меридиану, и дуги ′ = осевого

меридиана. Эти дуги называют сферическими прямоугольными координатами точки N.

Проведем на шаре дугу N′N малого круга, параллельную осевому меридиану. И продолжим линию ON. В пересечении ее с линией NîN1, параллельной плоскости экватора, получим точку N1.

Аналогично получим и точку ′ Следовательно, дуга NN′ çàìå-

331

женной на осевом меридиане.

Äóãè ′ è NN′ мысленно разобьем на бесконечное число ча-

стей. Отношение длин этих дуг будет равно отношению длин б˝есконечно малых частей этих дуг, т. е. будет равно масштабу из˝обра-

m = R/r.

Из треугольника ONO′ (ðèñ. 11.2, á) найдем r = Rcos ε. Тогда

m = 1/cos ε = sec ε.

332

Из рисунка 11.2, à видно, что

ε = y/R.

Для точек, лежащих внутри шестиградусной (трехградусной)˝

зоны, по сравнению с радиусом Земли R ордината y — величина небольшая, поэтому и угол ε — величина малая.

Разложив sec ε в ряд Маклорена и ограничившись ввиду малости угла ε двумя членами разложения, получим

ò = 1 + ε2/2.

Подставив вместо ε его выражение ó/R, окончательно получим

Рассмотрен случай, когда отрезок дуги NN′ параллелен осевому меридиану. Но проекция Гаусса—Крюгера равноугольная, т. е˝. со-

храняет подобие бесконечно малых фигур, поэтому соответс˝твующие отрезки для точек на шаре и плоскости в проекции будут˝ про-

порциональны. Следовательно, отношение этих отрезков по л˝ю- бому направлению будет одно и то же. Значит, и масштаб изобр˝а-

жения в какой-либо точке проекции Гаусса—Крюгера будет од˝ин и тот же по всем направлениям, а поэтому формула для ò справед-

лива для отрезков любого направления.

Относительное искажение длин выразится формулой

На осевом меридиане ó = 0, поэтому искажение длин на нем

ò – 1 = 0, а масштаб изображения ò = 1.

Наибольшее искажение получают длины отрезков, находящих˝- ся на краю шестиградусной зоны на широте экватора, где ó ≈ 330 êì, è

ò – 1 = 3302/2 · 64002 ≈ 1/800.

На территории б. СССР наибольшее относительное искажение˝

длин в шестиградусной зоне достигает 1/1200, что практически н˝е

имеет значения при съемках в мелких масштабах и заметно п˝ри

съемках в крупных масштабах (1 : 5000 и крупнее). По этой причи-

не при крупномасштабных съемках применяют трехградусны˝е зоны, в которых искажения достигают меньших размеров, чем˝ в шестиградусных зонах.

Найдем зависимость между координатами Гаусса—Крюгера и˝ сферическими прямоугольными координатами соответствую˝щих

точек на плоскости и на шаре.

333

Абсцисса Гаусса—Крюгера для любой точки в проекции равна˝

прямоугольной сферической абсциссе соответствующей точ˝ки на шаре, т. е.

так как длины линий, расположенных на осевом меридиане, пр˝и изображении их в проекции Гаусса—Крюгера не искажаются.

Выведем зависимость между ординатой точки N1 в проекции Гаусса—Крюгера и сферической прямоугольной ординатой с˝оот-

ветствующей точки N на шаре. Возьмем на шаре отрезок dy (дифференциал ординаты точки N), а в проекции отрезок dyã (диффе-

ренциал ординаты точки N1). Так как в проекции Гаусса—Крюге-

ра масштаб изображения одинаков по всем направлениям, мас˝- штаб изображения отрезка dyã будет равен масштабу изображения

отрезка ¢, т. е. будет определяться по формуле (11.5). Поэтому

можно написать

dyã/dy = 1 + ó2/2R2,

откуда dyã = (1 + ó 2/2R2)dy.

Проинтегрируем обе части этого равенства

В результате интегрирования получим

èëè

Равенства (11.7) и (11.8) дают возможность по сферическим прямоугольным координатам на шаре вычислить координаты˝ соответствующей точки на плоскости в проекции Гаусса—Кр˝ю- гера.

11.3.РЕДУЦИРОВАНИЕ ЛИНИЙ НА ПЛОСКОСТЬ

ÂПРОЕКЦИИ ГАУССА—КРЮГЕРА

Редуцированием линии называют приведение (вычисление) длины линии на шаре (местности) к длине линии на плоскости в пр˝о- екции.

В разделе 11.2 было показано, что масштаб изображения в проекции Гаусса—Крюгера равен

Sã/S = m = 1 + y2/2R2.

334

Из этого равенства следует, что

Величину S называют поправкой за редуцирование линии при

переходе с эллипсоида (шара) на плоскость в проекции Гаусс˝а— Крюгера.

Как следует из формулы (11.9), эта поправка всегда положи-

тельна, т. е. длина линий в проекции Гаусса—Крюгера всегда˝ больше длины соответствующих линий на земной поверхност˝и.

При вычислении поправки S ординату берут для середины ре-

дуцируемого отрезка (достаточно знать приближенное знач˝ение

этой ординаты).

П р и м е р. Измеренное значение длины линии S = 1800,50 м. Вычислить длину соответствующей линии на плоскости в проекции Гаусса—˝Крюгера, если ó = 6 301 000,0.

Sã = S + S(m – 1) = S + Sy2/2R2 = 1800,50 + + 1800 · 1992/2 · 63702 = 1801,38 ì.

Данные таблицы 11.1 показывают, что значения поправок S в зависимости от удаленности от осевого меридиана ó и длины из-

меряемых линий S изменяются от нескольких миллиметров до десятков дециметров.

11.1. Поправки S (м) за редуцирование измеренных линий на плоскость в проекции Гаусса—Крюгера

Поправки за редуцирование линий в проекции Гаусса—Крюге˝- ра вводят в измеренные линии в том случае, когда в создавае˝мых

геодезических сетях (полигонометрия, трилатерация) в кач˝естве исходных используют пункты государственной геодезическ˝ой

сети. Эти поправки можно не вводить в измеренные линии, есл˝и их значение пренебрегаемо мало по сравнению с точностью л˝и- нейных измерений.

335

11.4. ИСКАЖЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ В ПРОЕКЦИИ ГАУССА—КРЮГЕРА

В проекции Гаусса—Крюгера сохраняется подобие бесконеч˝но малых фигур. Известно, что площади подобных фигур относят˝ся

как квадраты сходственных сторон, т. е.

=

Но ранее было получено

Sã = S(1 + y2/2R2).

Подставив это выражение для Sã в предыдущее равенство, бу-

дем иметь

Ðã/Ð = (1 + y2/2R2)2,

èëè

Ðã = Ð(1 + y2/R2 + y4/R4).

Имея в виду, что последний член в скобках мал по сравнению с˝ предыдущим, его можно отбросить. Тогда

ãäå Ð — поправка в площадь за переход с поверхности шара на пло˝скость в проекции Гаусса—Крюгера; Ð = Ðó2/R2 = 2Ð(ò – 1).

П р и м е р. Вычислить поправку в площадь за переход с поверхности шар˝а (местности) на плоскость в проекции Гаусса—Крюгера, если Ð = 1000,00 ãà, ïðè ó = 200 êì.

Ð = Ðó2/R2 = 1000 · 2002/63702 = 0,87 ãà.

Обычно специалистов интересует площадь не в проекции Гау˝с-

са—Крюгера, а на местности, поэтому величину Ð называют абсолютным искажением площади.

Относительное искажение площади будет выражаться форму˝-

ëîé

Ð/Ð = ó2/R2.

Если площадь землепользования (колхоза, совхоза) определ˝ена по координатам на плоскости в проекции Гаусса—Крюгера Ðã, то для получения фактической площади землепользования на м˝естности Ð необходимо вычесть поправку Ð, ò. å.

Ð = Ðã – Ð.

336

Для упрощения выводов формул земная поверхность была при˝- нята за поверхность шара. Если принять Землю за эллипсоид˝ вра-

щения (сфероид), что ближе к действительному ее виду, то выв˝од

формул, относящихся к проекции Гаусса—Крюгера, будет знач˝и- тельно сложнее. Полученные формулы приближенные, но они обеспечивают необходимую точность при построении (разре˝зной)

геодезической сети сгущения и съемочной сети.

11.5. СБЛИЖЕНИЕ МЕРИДИАНОВ. ПЕРЕХОД ОТ АЗИМУТА К ДИРЕКЦИОННОМУ УГЛУ

Обработку геодезических измерений выполняют с использо˝ва-

нием дирекционных углов. Однако азимуты измеряют непосре˝д-

ственно (астрономическими или гироскопическим способом˝). Для перехода к дирекционным углам надо знать сближение ме˝ри-

дианов.

Выведем формулу для сближения меридианов. Представим, что˝ Земля имеет форму шара. Проведем через точку À меридиан, дугу

малого круга (параллельно осевому меридиану) и дугу парал˝лели

ÀÑ (ðèñ. 11.3, à). Через точку Ñ проведем касательную ÑÒ к осево-

Рис. 11.3. Схемы для вычисления сближения меридианов (à) и дирекционного угла (á):

MN — линия местности; À — истинный азимут; α — дирекционный угол; γ — сближение меридианов; δ — поправка в направление за кривизну изображения линии местности в проекции

337

му меридиану, а через точку À — касательную ÀÒ к меридиану и касательную AD к малому кругу. Так как при переходе с поверхности шара на плоскость в проекции Гаусса—Крюгера углы не и˝ска-

жаются, а угол между кривыми — угол между касательными к ˝этим кривым, то РDAT изобразится в проекции без искажений и будет равен g. Предположим, что точка À находится недалеко от осевого

меридиана (внутри шестиградусной зоны). Тогда прямая AD почти параллельна прямой ÑÒ. В этом случае РÑÒÀ = ÐTAD = g, а дугу окружности ÀÑ, проведенную из центра Î1 радиусом r, можно

принять за дугу окружности радиуса ÒÀ.

Тогда

Íî ÈÀÑ — дуга параллели с радиусом r и центральным углом l,

поэтому

На основании теоремы о равенстве углов со взаимно перпенд˝и-

кулярными сторонами можно написать, что

ÐÀÒÎ1 = ÐÀÎÅ = Â,

ãäå Â — широта точки À.

Из прямоугольного треугольника ÀÎ1Ò

Подставив выражения для ИÀÑ è ÀÒ в равенство (11.11), после

сокращений получим

ãäå L — долгота меридиана, проходящего через данную точку; L0 — долгота осевого меридиана.

На основании этого формулу (11.14) можно записать в виде

Отсюда следует, что сближение меридианов в восточной части зоны положительно, а в западной — отрицательно. Для точек˝,

находящихся на одной параллели, значение g тем больше по абсолютной величине, чем дальше точка находится от осевого ˝ме-

338

ридиана. Во всех точках, расположенных внутри шестиградус˝- ной зоны, абсолютная величина сближения меридианов меньш˝е

3°, а на осевом меридиане и на экваторе сближение меридиано˝в

равно 0°.

Зависимость между азимутом и дирекционным углом какоголибо направления легко установить на основании рисунка 11˝.3,á. Для удобства математической обработки результатов изме˝рений

изображение линии местности в виде кривой MN заменяют прямой MN. Искомая зависимость в соответствии с рисунком 11.3, á

выражается формулой

ãäå δ ≈ 0,0025(xN – xM)yñð; óñð = (óÌ + óN)/2.

Для съемочного обоснования топографических съемок попр˝ав-

êîé δ по малости пренебрегают и пользуются формулой

11.6. ПЕРЕКРЫТИЕ ЗОН

При геодезических работах вблизи границы двух зон вслед-

ствие обособленности систем координат этих зон могут воз˝ник-

нуть трудности при математической обработке сетей, напри˝мер, полигонометрического хода, проложенного между пунктами˝À è Â

(рис. 11.4), расположенными в разных зонах.

Чтобы избежать в таких случаях перевычисления координат˝ ис-

ходных пунктов из одной зоны в смежную с ней, условились о п˝е-

рекрытии координатных систем смежных шестиградусных зо˝н в некоторой полосе шириной в 1°; при этом западная зона перек˝рывает восточную, а восточная — за-

падную на 30′. В полосе перекры-

тия зон координаты геодезических

пунктов вычисляют в двух систе-

мах координат смежных зон, а на листах топографических карт показывают выходы линий обеих координатных сеток.

Рис. 11.4. Перекрытие зон

339

11.7.НОМЕНКЛАТУРА ЛИСТОВ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ КАРТ

ÈПЛАНОВ

Для удобства пользования топографической картой на боль˝- шую территорию земной поверхности ее издают отдельными л˝ис-

тами, объединенными единой системой разграфки и номенкла˝ту-

ры. Это позволяет подобрать карты друг к другу на определе˝нный район. Иначе в картографическом хозяйстве трудно будет ор˝иен-

тироваться. Единая система разграфки состоит в том, что для изображения на отдельных листах всю земную поверхность д˝елят

на части меридианами и параллелями, проведенными по опред˝е- ленным правилам. Номенклатурой топографических карт называ-

ют систему обозначений отдельных ее листов (трапеций).

В основу номенклатуры карт различных масштабов положена˝

Международная карта масштаба 1:1 000 000. Листы этой карты получают следующим образом. Всю земную поверхность делят ме˝ри-

дианами через 6° на 60 колонн. Колонны нумеруют арабскими

цифрами с запада на восток, начиная от меридиана с долгото˝й 180°, противоположного Гринвичскому (рис. 11.5). Колонны, в свою очередь, делят параллелями на ряды через 4°. Ряды обозн˝ача-

ют заглавными буквами латинского алфавита, начиная от экв˝атора

к Северному и Южному полюсу. Проведенные таким образом ме˝- ридианы и параллели служат рамками отдельных листов карт˝ы

этого масштаба.

Номенклатуру листа карты масштаба 1:1 000 000 составляют из

буквы, обозначающей пояс, и числа — номера колонны, на пер˝е-

Рис. 11.5. Номенклатура карт масштаба 1:1 000 000

340